Unimodalidad

Property of having a unique mode or maximum value

En matemáticas , unimodalidad significa poseer un modo único . De manera más general, la unimodalidad significa que solo hay un valor máximo, definido de alguna manera, de algún objeto matemático . ^[1]

Distribución de probabilidad unimodal

Figura 1. Función de densidad de probabilidad de distribuciones normales, un ejemplo de distribución unimodal.

Figura 2. Una distribución bimodal simple.

Figura 3. Una distribución bimodal. Obsérvese que sólo el pico más grande correspondería a una moda en el sentido estricto de la definición de moda.

En estadística , una distribución de probabilidad unimodal o distribución unimodal es una distribución de probabilidad que tiene un solo pico. El término "moda" en este contexto se refiere a cualquier pico de la distribución, no sólo a la definición estricta de moda que es habitual en estadística.

Si hay un solo modo, la función de distribución se llama "unimodal". Si tiene más modos es "bimodal" (2), "trimodal" (3), etc., o en general, "multimodal". ^[2] La Figura 1 ilustra distribuciones normales , que son unimodales. Otros ejemplos de distribuciones unimodales incluyen la distribución de Cauchy , la distribución t de Student , la distribución chi-cuadrado y la distribución exponencial . Entre las distribuciones discretas, la distribución binomial y la distribución de Poisson pueden considerarse unimodales, aunque para algunos parámetros pueden tener dos valores adyacentes con la misma probabilidad.

La Figura 2 y la Figura 3 ilustran distribuciones bimodales.

Otras definiciones

También existen otras definiciones de unimodalidad en funciones de distribución.

En distribuciones continuas, la unimodalidad se puede definir mediante el comportamiento de la función de distribución acumulativa (cdf). ^[3] Si la CDF es convexa para x  <  my cóncava para x  >  m , entonces la distribución es unimodal, siendo m la moda. Tenga en cuenta que según esta definición la distribución uniforme es unimodal, ^[4] así como cualquier otra distribución en la que se logre la distribución máxima para un rango de valores, por ejemplo, la distribución trapezoidal. Generalmente esta definición permite una discontinuidad en el modo; normalmente en una distribución continua la probabilidad de cualquier valor único es cero, mientras que esta definición permite una probabilidad distinta de cero, o un "átomo de probabilidad", en la moda.

Los criterios de unimodalidad también se pueden definir mediante la función característica de la distribución ^[3] o mediante su transformada de Laplace-Stieltjes . ^[5]

Otra forma de definir una distribución discreta unimodal es mediante la aparición de cambios de signo en la secuencia de diferencias de probabilidades. ^[6] Una distribución discreta con una función de masa de probabilidad , , se llama unimodal si la secuencia tiene exactamente un cambio de signo (cuando los ceros no cuentan). ${\displaystyle \{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}}$ ${\displaystyle \dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots }$

Usos y resultados

Una razón de la importancia de la unimodalidad de distribución es que permite obtener varios resultados importantes. A continuación se dan varias desigualdades que solo son válidas para distribuciones unimodales. Por tanto, es importante evaluar si un conjunto de datos determinado proviene o no de una distribución unimodal. En el artículo sobre distribución multimodal se ofrecen varias pruebas de unimodalidad .

Desigualdades

La desigualdad de Gauss

Un primer resultado importante es la desigualdad de Gauss . ^[7] La ​​desigualdad de Gauss da un límite superior a la probabilidad de que un valor se encuentre a más de cualquier distancia dada de su moda. Esta desigualdad depende de la unimodalidad.

Desigualdad de Vysochanskiï-Petunin

Una segunda es la desigualdad de Vysochanskiï-Petunin , ^[8] un refinamiento de la desigualdad de Chebyshev . La desigualdad de Chebyshev garantiza que en cualquier distribución de probabilidad, "casi todos" los valores están "cercanos" al valor medio. La desigualdad de Vysochanskiï-Petunin refina esto a valores aún más cercanos, siempre que la función de distribución sea continua y unimodal. Sellke y Sellke mostraron más resultados. ^[9]

Moda, mediana y media

Gauss también demostró en 1823 que para una distribución unimodal ^[10]

${\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }$

y

${\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,}$

donde la mediana es ν , la media es μ y ω es la desviación cuadrática media de la moda.

Se puede demostrar para una distribución unimodal que la mediana ν y la media μ se encuentran dentro de (3/5) ^1/2 ≈ 0,7746 desviaciones estándar entre sí. ^[11] En símbolos,

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$

donde | . | es el valor absoluto .

En 2020, Bernard, Kazzi y Vanduffel generalizaron la desigualdad anterior al derivar la distancia máxima entre el promedio cuantil simétrico y la media, ^[12] ${\displaystyle {\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.}$

Vale la pena señalar que la distancia máxima se minimiza en (es decir, cuando el promedio cuantil simétrico es igual a ), lo que de hecho motiva la elección común de la mediana como estimador robusto de la media. Además, cuando , el límite es igual a , que es la distancia máxima entre la mediana y la media de una distribución unimodal. ${\displaystyle \alpha =0.5}$ ${\displaystyle q_{0.5}=\nu }$ ${\displaystyle \alpha =0.5}$ ${\displaystyle {\sqrt {3/5}}}$

Se mantiene una relación similar entre la mediana y la moda θ : se encuentran a una distancia de 3 ^1/2 ≈ 1,732 desviaciones estándar entre sí:

${\displaystyle {\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

También se puede demostrar que la media y la moda se encuentran a una distancia de 3 ^1/2 entre sí:

${\displaystyle {\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

Asimetría y curtosis

Rohatgi y Szekely afirmaron que la asimetría y la curtosis de una distribución unimodal están relacionadas por la desigualdad: ^[13]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2}$

donde κ es la curtosis y γ es la asimetría. Klaassen, Mokveld y van Es demostraron que esto sólo se aplica en ciertos entornos, como el conjunto de distribuciones unimodales donde la moda y la media coinciden. ^[14]

Derivaron una desigualdad más débil que se aplica a todas las distribuciones unimodales: ^[14]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488}$

Este límite es definido, ya que se alcanza mediante la mezcla de pesos iguales de la distribución uniforme en [0,1] y la distribución discreta en {0}.

función unimodal

Como el término "modal" se aplica a conjuntos de datos y distribución de probabilidad, y no en general a funciones , las definiciones anteriores no se aplican. La definición de "unimodal" también se extendió a funciones de números reales .

Una definición común es la siguiente: una función f ( x ) es una función unimodal si para algún valor m , aumenta monótonamente para x  ≤  my decrece monótonamente para x  ≥  m . En ese caso, el valor máximo de f ( x ) es f ( m ) y no hay otros máximos locales.

Demostrar la unimodalidad suele ser difícil. Una forma consiste en utilizar la definición de esa propiedad, pero resulta adecuada sólo para funciones simples. Existe un método general basado en derivadas ^[15] , pero no funciona para todas las funciones a pesar de su simplicidad.

Ejemplos de funciones unimodales incluyen funciones polinómicas cuadráticas con un coeficiente cuadrático negativo, funciones de mapa de tiendas y más.

Lo anterior a veces se relaciona confuerte unimodalidad , por el hecho de que la monotonicidad implícita esuna fuerte monotonicidad. Una funciónf(x) es unafunción débilmente unimodalsi existe un valormpara el cual aumenta débilmente monótonamente parax ≤ mydisminuye débilmente monótonamente parax ≥ m. En ese caso, el valor máximof(m) se puede alcanzar para un rango continuo de valores dex. Un ejemplo de una función débilmente unimodal que no es fuertemente unimodal es cada dos filas deltriángulo de Pascal.

Dependiendo del contexto, la función unimodal también puede referirse a una función que tiene solo un mínimo local, en lugar de un máximo. ^[16] Por ejemplo, el muestreo unimodal local , un método para realizar optimización numérica, a menudo se demuestra con dicha función. Se puede decir que una función unimodal bajo esta extensión es una función con un único extremo local .

Una propiedad importante de las funciones unimodales es que el extremo se puede encontrar utilizando algoritmos de búsqueda como la búsqueda de sección áurea , la búsqueda ternaria o la interpolación parabólica sucesiva . ^[17]

Otras extensiones

Una función f ( x ) es "S-unimodal" (a menudo denominada "mapa S-unimodal") si su derivada schwarziana es negativa para todos , donde está el punto crítico. ^[18] ${\displaystyle x\neq c}$ ${\displaystyle c}$

En geometría computacional, si una función es unimodal, permite el diseño de algoritmos eficientes para encontrar los extremos de la función. ^[19]

Una definición más general, aplicable a una función f ( X ) de una variable vectorial X es que f es unimodal si existe una aplicación diferenciable uno a uno X = G ( Z ) tal que f ( G ( Z )) es convexo. Por lo general, uno querría que G ( Z ) fuera continuamente diferenciable con una matriz jacobiana no singular.

Las funciones cuasiconvexas y las funciones cuasicóncavas extienden el concepto de unimodalidad a funciones cuyos argumentos pertenecen a espacios euclidianos de dimensiones superiores .

Ver también

• Distribución bimodal
• La conjetura de Read.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Unimodal". MundoMatemático .
2. Weisstein, Eric W. "Modo". MundoMatemático .
3. A.Ya. Khinchin (1938). "Sobre distribuciones unimodales". Tranvías. Res. Inst. Matemáticas. Mec. (en ruso). Universidad de Tomsk. 2 (2): 1–7.
4. Ushakov, NG (2001) [1994], "Distribución unimodal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
5. Vladimirovich Gnedenko y Victor Yu Korolev (1996). Suma aleatoria: teoremas de límite y aplicaciones . CRC-Prensa. ISBN 0-8493-2875-6.pag. 31
6. Medgyessy, P. (marzo de 1972). "Sobre la unimodalidad de distribuciones discretas". Periodica Mathematica Hungarica . 2 (1–4): 245–257. doi :10.1007/bf02018665. S2CID  119817256.
7. Gauss, CF (1823). "Theoria Combinaciónis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores . 5 .
8. DF Vysochanskij, YI Petunin (1980). "Justificación de la regla 3σ para distribuciones unimodales". Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática . 21 : 25–36.
9. Sellke, TM; Sellke, SH (1997). "Desigualdades de Chebyshev para distribuciones unimodales". Estadístico estadounidense . Asociación Estadounidense de Estadística. 51 (1): 34–40. doi :10.2307/2684690. JSTOR  2684690.
10. Gauss CF Theoria Combinaciónis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae. Pars Prior. Parte posterior. Suplemento. Teoría de la combinación de observaciones menos sujetas a errores. Parte uno. La segunda parte. Suplemento. 1995. Traducido por GW Stewart. Serie Clásicos de Matemáticas Aplicadas, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia
11. Basu, S.; Dasgupta, A. (1997). "La media, la mediana y la moda de las distribuciones unimodales: una caracterización". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 41 (2): 210–223. doi :10.1137/S0040585X97975447.
12. Bernardo, Carole; Kazzi, Rodríguez; Vanduffel, Steven (2020). "Rango de límites de valor en riesgo para distribuciones unimodales con información parcial". Seguros: Matemáticas y Economía . 94 : 9–24. doi : 10.1016/j.insmatheco.2020.05.013 .
13. Rohatgi, Vijay K.; Székely, Gábor J. (1989). "Agudas desigualdades entre asimetría y curtosis". Cartas de estadística y probabilidad . 8 (4): 297–299. doi :10.1016/0167-7152(89)90035-7.
14. Klaassen, Chris AJ; Mokveld, Philip J.; Van Es, Bert (2000). "Asimetría cuadrada menos curtosis limitada por 186/125 para distribuciones unimodales". Cartas de estadística y probabilidad . 50 (2): 131-135. doi :10.1016/S0167-7152(00)00090-0.
15. "Sobre la unimodalidad de la Aproximación MÉTRICA sujeta a demandas normalmente distribuidas" (PDF) . Método en el apéndice D, ejemplo en el teorema 2, página 5 . Consultado el 28 de agosto de 2013 .
16. "Glosario de programación matemática" . Consultado el 29 de marzo de 2020 .
17. Demaine, Erik D.; Langerman, Stefan (2005). "Optimización de una función 2D que satisface propiedades de unimodalidad". En Brodal, Gerth Stølting; Leonardi, Stefano (eds.). Algoritmos – ESA 2005 . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 3669. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 887–898. doi :10.1007/11561071_78. ISBN 978-3-540-31951-1.
18. Véase, por ejemplo, John Guckenheimer; Stewart Johnson (julio de 1990). "Distorsión de mapas S-unimodales". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 132 (1): 71-130. doi :10.2307/1971501. JSTOR  1971501.
19. Godfried T. Toussaint (junio de 1984). "Complejidad, convexidad y unimodalidad". Revista Internacional de Ciencias de la Información y la Computación . 13 (3): 197–217. doi :10.1007/bf00979872. S2CID  11577312.