Mapa de la tienda

Gráfico de la función del mapa de la tienda.

Ejemplo de iteración de la condición inicial x ₀  = 0,4 sobre el mapa de la tienda con μ = 1,9.

En matemáticas , el mapa de tiendas con parámetro μ es la función de valor real f _μ definida por

${\displaystyle f_{\mu }(x):=\mu \min\{x,\,1-x\},}$

el nombre se debe a la forma de tienda de campaña de la gráfica de f _μ . Para los valores del parámetro μ dentro de 0 y 2, f _μ asigna el intervalo unitario [0, 1] a sí mismo, definiendo así un sistema dinámico de tiempo discreto en él (equivalentemente, una relación de recurrencia ). En particular, iterar un punto x ₀ en [0, 1] da lugar a una secuencia : ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}<{\frac {1}{2}}\\\mu (1-x_{n})&\mathrm {for} ~~{\frac {1}{2}}\leq x_{n}\end{cases}}}$

donde μ es una constante real positiva. Eligiendo, por ejemplo, el parámetro μ = 2, el efecto de la función f _μ puede verse como el resultado de la operación de doblar el intervalo unitario en dos y luego estirar el intervalo resultante [0, 1/2] para obtener nuevamente el intervalo. [0, 1]. Al iterar el procedimiento, cualquier punto x ₀ del intervalo asume nuevas posiciones posteriores como se describió anteriormente, generando una secuencia x _n en [0, 1].

El caso del mapa de tienda es una transformación no lineal tanto del mapa de desplazamiento de bits como del caso r = 4 del mapa logístico . ${\displaystyle \mu =2}$

Comportamiento

Órbitas del mapa de tiendas de campaña de altura unitaria

Diagrama de bifurcación del mapa de la tienda. Una densidad más alta indica una mayor probabilidad de que la variable x adquiera ese valor para el valor dado del parámetro μ.

El mapa de tienda con parámetro μ = 2 y el mapa logístico con parámetro r = 4 son topológicamente conjugados , ^[1] y, por lo tanto, los comportamientos de los dos mapas son, en este sentido, idénticos bajo iteración.

Dependiendo del valor de μ, el mapa de la tienda demuestra una variedad de comportamiento dinámico que va desde lo predecible hasta lo caótico.

• Si μ es menor que 1, el punto x = 0 es un punto fijo atractivo del sistema para todos los valores iniciales de x , es decir, el sistema convergerá hacia x = 0 desde cualquier valor inicial de x .
• Si μ es 1, todos los valores de x menores o iguales a 1/2 son puntos fijos del sistema.
• Si μ es mayor que 1, el sistema tiene dos puntos fijos, uno en 0 y el otro en μ/(μ + 1). Ambos puntos fijos son inestables, es decir, un valor de x cercano a cualquiera de los puntos fijos se alejará de él, en lugar de acercarse a él. Por ejemplo, cuando μ es 1,5 hay un punto fijo en x = 0,6 (ya que 1,5(1 − 0,6) = 0,6) pero comenzando en x = 0,61 obtenemos

${\displaystyle 0.61\to 0.585\to 0.6225\to 0.56625\to 0.650625\ldots }$

• Si μ está entre 1 y la raíz cuadrada de 2, el sistema asigna un conjunto de intervalos entre μ − μ ² /2 y μ/2 a sí mismos. Este conjunto de intervalos es el conjunto de Julia del mapa, es decir, es el subconjunto invariante más pequeño de la recta real bajo este mapa. Si μ es mayor que la raíz cuadrada de 2, estos intervalos se fusionan y el conjunto de Julia es el intervalo completo desde μ − μ ² /2 hasta μ/2 (ver diagrama de bifurcación).
• Si μ está entre 1 y 2, el intervalo [μ − μ ² /2, μ/2] contiene puntos periódicos y no periódicos, aunque todas las órbitas son inestables (es decir, los puntos cercanos se alejan de las órbitas en lugar de acercarse a ellas). ). Las órbitas con longitudes más largas aparecen a medida que μ aumenta. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu =1}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{4}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu \approx 1.8393}$

• Si μ es igual a 2, el sistema asigna el intervalo [0, 1] a sí mismo. Ahora hay puntos periódicos con cada longitud de órbita dentro de este intervalo, así como puntos no periódicos. Los puntos periódicos son densos en [0, 1], por lo que el mapa se ha vuelto caótico . De hecho, la dinámica será no periódica si y sólo si es irracional . Esto se puede ver observando lo que hace el mapa cuando se expresa en notación binaria : desplaza el punto binario un lugar hacia la derecha; luego, si lo que aparece a la izquierda del punto binario es un "uno", cambia todos los unos a ceros y viceversa (con la excepción del bit final "uno" en el caso de una expansión binaria finita); A partir de un número irracional, este proceso continúa para siempre sin repetirse. La medida invariante para x es la densidad uniforme en el intervalo unitario. ^[2] La función de autocorrelación para una secuencia suficientemente larga { } mostrará autocorrelación cero en todos los retrasos distintos de cero. ^[3] Por lo tanto, no se puede distinguir del ruido blanco utilizando la función de autocorrelación. Tenga en cuenta que el caso r = 4 del mapa logístico y el caso del mapa de tiendas de campaña son homeomorfos entre sí: denotando la variable que evoluciona logísticamente como , el homeomorfismo es ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \mu =2}$ ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle x_{n}={\tfrac {2}{\pi }}\sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).}$

• Si μ es mayor que 2, el conjunto de Julia del mapa se desconecta y se divide en un conjunto de Cantor dentro del intervalo [0, 1]. El conjunto de Julia todavía contiene un número infinito de puntos periódicos y no periódicos (incluidas órbitas para cualquier longitud de órbita), pero casi todos los puntos dentro de [0, 1] ahora eventualmente divergirán hacia el infinito. El conjunto canónico de Cantor (obtenido eliminando sucesivamente los tercios medios de los subconjuntos de la línea unitaria) es el conjunto de Julia del mapa de tiendas para μ = 3.

Errores numéricos

Serie de tiempo del mapa Tent para el parámetro m = 2.0 que muestra error numérico: "el gráfico de la serie de tiempo (gráfico de x variable con respecto al número de iteraciones) deja de fluctuar y no se observan valores después de n = 50". Parámetro m = 2,0, el punto inicial es aleatorio.

Ampliando el diagrama de órbita

La ampliación cerca de la punta muestra más detalles.

• Una mirada más cercana al diagrama de órbita muestra que hay 4 regiones separadas en μ ≈ 1. Para una mayor ampliación, se dibujan 2 líneas de referencia (rojas) desde la punta hasta la x adecuada en cierto μ (por ejemplo, 1,10), como se muestra.

Una ampliación adicional muestra 8 regiones separadas.

• Con la distancia medida desde las líneas de referencia correspondientes, aparecen más detalles en la parte superior e inferior del mapa. (un total de 8 regiones separadas en algunos μ)

Mapa de tienda asimétrica

El mapa de tiendas de campaña asimétrico es esencialmente una versión distorsionada, pero todavía lineal por partes , del caso del mapa de tiendas de campaña. Se define por ${\displaystyle \mu =2}$

${\displaystyle v_{n+1}={\begin{cases}v_{n}/a&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [0,a]\\(1-v_{n})/(1-a)&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [a,1]\end{cases}}}$

para el parámetro . El caso del mapa de la tienda es el presente caso de . Una secuencia { } tendrá la misma función de autocorrelación ^[3] que los datos del proceso autorregresivo de primer orden con { } distribuidos de forma independiente e idéntica . Por lo tanto, los datos de un mapa de tiendas asimétrico no se pueden distinguir, utilizando la función de autocorrelación, de los datos generados por un proceso autorregresivo de primer orden. ${\displaystyle a\in [0,1]}$ ${\displaystyle \mu =2}$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle w_{n+1}=(2a-1)w_{n}+u_{n+1}}$ ${\displaystyle u_{n}}$

Aplicaciones

El mapa de tiendas ha encontrado aplicaciones en la optimización cognitiva social, ^[4] el caos en la economía, ^{[5] [6]} el cifrado de imágenes, ^[7] en el riesgo y los sentimientos del mercado respecto de los precios, ^[8] etc.

Ver también

• Espacio de cambio
• código gris

Referencias

1. Conjugando la tienda y los mapas logísticos, Jeffrey Rauch , Universidad de Michigan
2. Collett, Pierre y Eckmann, Jean-Pierre , Mapas iterados en el intervalo como sistemas dinámicos , Boston: Birkhauser, 1980.
3. Brock, WA, "Distinguir sistemas aleatorios y deterministas: versión abreviada", Journal of Economic Theory 40, octubre de 1986, 168-195.
4. Sol, Jiaze; Li, Yang (enero de 2019). "Optimización cognitiva social con mapa de tienda para despacho económico combinado de calor y energía". Transacciones Internacionales sobre Sistemas de Energía Eléctrica . 29 (1): e2660. arXiv : 1809.03616 . doi : 10.1002/etep.2660 .
5. Brock, William A.; Dechert, W. Davis (1 de enero de 1991), "Capítulo 40 Sistemas dinámicos no lineales: inestabilidad y caos en economía", Manual de economía matemática , vol. 4, Elsevier, págs. 2209–2235 , consultado el 29 de septiembre de 2023.
6. "No linealidades en economía". Enlace Springer . doi :10.1007/978-3-030-70982-2#editorsandaffiliations.
7. Li, Chunhu; Luo, Guangchun; Qin, Ke; Li, Chunbao (1 de enero de 2017). "Un esquema de cifrado de imágenes basado en un mapa caótico de tiendas de campaña". Dinámica no lineal . 87 (1): 127-133. doi :10.1007/s11071-016-3030-8. ISSN  1573-269X.
8. Lampart, Marek; Lampartová, Alžběta; Orlando, Giuseppe (1 de septiembre de 2023). "Sobre el riesgo y los sentimientos del mercado que impulsan la dinámica del precio de las acciones financieras". Dinámica no lineal . 111 (17): 16585–16604. doi : 10.1007/s11071-023-08702-5 . ISSN  1573-269X.

enlaces externos

• CaosBook.org