La función del verde.

Respuesta al impulso de un operador diferencial lineal no homogéneo.

Si se conoce la solución de una ecuación diferencial sujeta a una fuente puntual y el operador diferencial es lineal, entonces se pueden superponer para construir la solución para una fuente general . ${\textstyle G(x,x')}$ ${\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (x-x')}$ ${\textstyle {\hat {L}}(x)}$ ${\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}$ ${\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}$

En matemáticas , una función de Green (o función de Green ) es la respuesta impulsiva de un operador diferencial lineal no homogéneo definido en un dominio con condiciones iniciales o condiciones de contorno específicas.

Esto significa que si es un operador diferencial lineal, entonces ${\displaystyle L}$

• la función de Green es la solución de la ecuación , donde es la función delta de Dirac ; ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle LG=\delta }$ ${\displaystyle \delta }$
• la solución del problema de valor inicial es la convolución ( ). ${\displaystyle Ly=f}$ ${\displaystyle G\ast f}$

A través del principio de superposición , dada una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO) , uno puede primero resolver , para cada s , y darse cuenta de que, dado que la fuente es una suma de funciones delta , la solución también es una suma de funciones de Green, por linealidad de L . ${\displaystyle Ly=f}$ ${\displaystyle LG=\delta _{s}}$

Las funciones de Green llevan el nombre del matemático británico George Green , quien desarrolló el concepto por primera vez en la década de 1820. En el estudio moderno de ecuaciones diferenciales parciales lineales , las funciones de Green se estudian en gran medida desde el punto de vista de las soluciones fundamentales .

Bajo la teoría de muchos cuerpos , el término también se utiliza en física , específicamente en teoría cuántica de campos , aerodinámica , aeroacústica , electrodinámica , sismología y teoría estadística de campos , para referirse a varios tipos de funciones de correlación , incluso aquellas que no se ajustan a la definición matemática. . En la teoría cuántica de campos, las funciones de Green asumen el papel de propagadores .

Definición y usos

Una función de Green, G ( x , s ) , de un operador diferencial lineal L = L ( x ) que actúa sobre distribuciones sobre un subconjunto del espacio euclidiano , en un punto s , es cualquier solución de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

donde δ es la función delta de Dirac . Esta propiedad de la función de Green se puede aprovechar para resolver ecuaciones diferenciales de la forma

Si el núcleo de L no es trivial, entonces la función de Green no es única. Sin embargo, en la práctica, alguna combinación de simetría , condiciones de contorno y/u otros criterios impuestos externamente darán una función de Green única. Las funciones de Green se pueden clasificar, por el tipo de condiciones de contorno que se satisfacen, mediante el número de función de Green . Además, las funciones de Green en general son distribuciones , no necesariamente funciones de una variable real.

Las funciones de Green también son herramientas útiles para resolver ecuaciones de onda y ecuaciones de difusión . En mecánica cuántica , la función del hamiltoniano de Green es un concepto clave con vínculos importantes con el concepto de densidad de estados .

La función de Green, tal como se usa en física, generalmente se define con el signo opuesto. Eso es,

$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\,.}$$

Si el operador es invariante de traducción , es decir, cuando tiene coeficientes constantes con respecto a x , entonces la función de Green puede considerarse como un núcleo de convolución , es decir, ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle G(x,s)=G(x-s)\,.}$$

la teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo

Motivación

En términos generales, si se puede encontrar dicha función G para el operador L , entonces, si multiplicamos la ecuación 1 para la función de Green por f ( s ) y luego integramos con respecto a s , obtenemos,

$${\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (x-s)\,f(s)\,ds=f(x)\,.}$$

xnos ${\displaystyle L=L(x)}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}$$

es una solución a la ecuación ${\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}$

Por lo tanto, se puede obtener la función u ( x ) mediante el conocimiento de la función de Green en la ecuación 1 y el término fuente en el lado derecho de la ecuación 2 . Este proceso se basa en la linealidad del operador L.

En otras palabras, la solución de la ecuación 2 , u ( x ) , puede determinarse mediante la integración dada en la ecuación 3 . Aunque se conoce f ( x ) , esta integración no se puede realizar a menos que también se conozca G. El problema ahora radica en encontrar la función G de Green que satisfaga la ecuación 1 . Por esta razón, la función de Green también se denomina a veces solución fundamental asociada al operador L.

No todos los operadores admiten la función de Green. La función de Green también se puede considerar como una inversa derecha de L. Aparte de las dificultades de encontrar una función de Green para un operador particular, la integral en la ecuación 3 puede ser bastante difícil de evaluar. Sin embargo, el método da un resultado teóricamente exacto. ${\displaystyle L}$

Esto se puede considerar como una expansión de f según una función delta de Dirac (proyectando f sobre ; y una superposición de la solución en cada proyección . Dicha ecuación integral se conoce como ecuación integral de Fredholm , cuyo estudio constituye Fredholm teoría . ${\displaystyle \delta (x-s)}$

Funciones de Green para resolver problemas de valores límite no homogéneos

El uso principal de las funciones de Green en matemáticas es resolver problemas de valores en la frontera no homogéneos . En la física teórica moderna , las funciones de Green también se suelen utilizar como propagadores en los diagramas de Feynman ; El término función de Green se utiliza a menudo para cualquier función de correlación .

Estructura

Sea el operador de Sturm-Liouville , un operador diferencial lineal de la forma ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$$

de condiciones de contorno ${\displaystyle \mathbf {D} }$

$${\displaystyle \mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.}$$

Sea una función continua en . Supongamos además que el problema ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [0,\ell ]\,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$

x. ^[a] ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle u(x)=0}$

Teorema

Hay una y sólo una solución que satisface ${\displaystyle u(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,}$$

${\displaystyle G(x,s)}$

1. ${\displaystyle G(x,s)}$es continua en y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$
2. Para , . ${\displaystyle x\neq s\,}$   ${\displaystyle LG(x,s)=0}$
3. Para , . ${\displaystyle s\neq 0\,}$   ${\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} }$
4. "Salto" derivada : .  ${\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,}$
5. Simetría: .  ${\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}$

Funciones avanzadas y retardadas de Green.

La función de Green no es necesariamente única ya que la suma de cualquier solución de la ecuación homogénea a una función de Green da como resultado la función de otra Green. Por lo tanto, si la ecuación homogénea tiene soluciones no triviales, existen múltiples funciones de Green. En algunos casos, es posible encontrar una función de Green que no desaparece sólo para , que se denomina función de Green retrasada, y otra función de Green que no desaparece sólo para , que se denomina función de Green avanzada. En tales casos, cualquier combinación lineal de las dos funciones de Green también es una función de Green válida. La terminología avanzada y retrasada es especialmente útil cuando la variable x corresponde al tiempo. En tales casos, la solución proporcionada por el uso de la función de Green retrasada depende sólo de las fuentes pasadas y es causal, mientras que la solución proporcionada por el uso de la función de Green avanzada depende sólo de las fuentes futuras y es acausal. En estos problemas, suele ocurrir que la solución causal es la físicamente importante. El uso de la función de Green avanzada y retardada es especialmente común para el análisis de soluciones de la ecuación de ondas electromagnéticas no homogéneas . ${\displaystyle s\leq x}$ ${\displaystyle s\geq x}$

Encontrar las funciones de Green

Unidades

Si bien no fija de forma única la forma que adoptará la función de Green, realizar un análisis dimensional para encontrar las unidades que debe tener una función de Green es una importante comprobación de la cordura de cualquier función de Green encontrada por otros medios. Un examen rápido de la ecuación definitoria,

$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s),}$$

${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},}$$

",elemento de volumenespacio-tiempo ${\displaystyle [[G]]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle dx}$

Por ejemplo, si y el tiempo es la única variable entonces: ${\displaystyle L=\partial _{t}^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{time}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]],\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]].\end{aligned}}}$$

,operador d'Alembert ${\displaystyle L=\square ={\tfrac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{length}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3},\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.\end{aligned}}}$$

Expansiones de valores propios

Si un operador diferencial L admite un conjunto de vectores propios Ψ _n ( x ) (es decir, un conjunto de funciones Ψ _n y escalares λ _n tales que L Ψ _n = λ _n Ψ _n  ) que sea completo, entonces es posible construir un Función de Green a partir de estos vectores propios y valores propios .

"Completo" significa que el conjunto de funciones {Ψ _n } satisface la siguiente relación de completitud ,

$${\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}$$

Entonces se cumple lo siguiente,

${\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}},}$

donde representa conjugación compleja. ${\displaystyle \dagger }$

La aplicación del operador L a cada lado de esta ecuación da como resultado la relación de completitud que se asumió.

El estudio general de la función de Green escrita en la forma anterior, y su relación con los espacios funcionales formados por los vectores propios, se conoce como teoría de Fredholm .

Existen varios otros métodos para encontrar las funciones de Green, incluido el método de imágenes , la separación de variables y las transformadas de Laplace . ^[1]

Combinando las funciones de Green

Si el operador diferencial se puede factorizar como entonces la función de Green se puede construir a partir de las funciones de Green para y : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

$${\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.}$$

,operador lineal invertible ,,. ${\displaystyle G(x,s)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$ ${\displaystyle C_{i,j}}$

Se sigue una identidad adicional para operadores diferenciales que son polinomios escalares de la derivada ,. El teorema fundamental del álgebra , combinado con el hecho de que conmuta consigo mismo , garantiza que el polinomio pueda factorizarse, poniéndolo en la forma: ${\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),}$$

?transformada de Fourier ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle P_{N}(z)}$ ${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}$$

descomposición en fracción parcial ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Tabla de funciones de Green

La siguiente tabla ofrece una descripción general de las funciones de Green de los operadores diferenciales que aparecen con frecuencia, donde , es la función de paso de Heaviside , es una función de Bessel , es una función de Bessel modificada del primer tipo y es una función de Bessel modificada del segundo tipo . ^[2] Donde aparece el tiempo ( t ) en la primera columna, se enumera la función retardada (causal) de Green. ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle \Theta (t)}$ ${\textstyle J_{\nu }(z)}$ ${\textstyle I_{\nu }(z)}$ ${\textstyle K_{\nu }(z)}$

Funciones de Green para el laplaciano

Las funciones de Green para operadores diferenciales lineales que involucran al laplaciano se pueden utilizar fácilmente utilizando la segunda de las identidades de Green .

Para derivar el teorema de Green, comience con el teorema de la divergencia (también conocido como teorema de Gauss ),

$${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}$$

Sea y sustituya en la ley de Gauss. ${\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }$

Calcule y aplique la regla del producto para el operador ∇, ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}$$

Al conectar esto con el teorema de la divergencia se obtiene el teorema de Green ,

$${\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}$$

Supongamos que el operador diferencial lineal L es el laplaciano , ∇ ² , y que existe una función de Green G para el laplaciano. La propiedad definitoria de la función de Green aún se mantiene,

$${\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}$$

Dejemos entrar la segunda identidad de Green, vea las identidades de Green . Entonces, ${\displaystyle \psi =G}$

$${\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

Usando esta expresión, es posible resolver la ecuación de Laplace ∇ ² φ ( x ) = 0 o la ecuación de Poisson ∇ ² φ ( x ) = − ρ ( x ) , sujeta a las condiciones de contorno de Neumann o Dirichlet . En otras palabras, podemos resolver para φ ( x ) en todas partes dentro de un volumen donde (1) el valor de φ ( x ) se especifica en la superficie límite del volumen (condiciones de frontera de Dirichlet), o (2) la derivada normal de φ ( x ) se especifica en la superficie delimitadora (condiciones de contorno de Neumann).

Supongamos que el problema es resolver para φ ( x ) dentro de la región. Entonces la integral

$${\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '}$$

φ ( x )función delta de Dirac

$${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

Esta forma expresa la propiedad bien conocida de las funciones armónicas , de que si el valor o la derivada normal se conoce en una superficie delimitadora, entonces el valor de la función dentro del volumen se conoce en todas partes .

En electrostática , φ ( x ) se interpreta como el potencial eléctrico , ρ ( x ) como densidad de carga eléctrica y la derivada normal como la componente normal del campo eléctrico. ${\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}$

Si el problema es resolver un problema de valores límite de Dirichlet, la función de Green debe elegirse de modo que G ( x , x ′) desaparezca cuando x o x′ estén en la superficie límite. Por tanto, sólo queda uno de los dos términos de la integral de superficie . Si el problema es resolver un problema de valores límite de Neumann, podría parecer lógico elegir la función de Green de modo que su derivada normal desaparezca en la superficie límite. Sin embargo, la aplicación del teorema de Gauss a la ecuación diferencial que define la función de Green produce

$${\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,}$$

Gxx^[3]

La forma más simple que puede tomar la derivada normal es la de una constante, concretamente 1/ S , donde S es el área de la superficie. El término superficial en la solución se convierte en

$${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}}$$

${\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}$

Sin condiciones de contorno, la función de Green para el laplaciano ( función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables ) es

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}$$

Suponiendo que la superficie delimitadora llega al infinito y reemplazando esta expresión para la función de Green, finalmente se obtiene la expresión estándar para el potencial eléctrico en términos de densidad de carga eléctrica como

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\int _{V}{\dfrac {\rho (\mathbf {x} ')}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}\,d^{3}\mathbf {x} '\,.}$

Ejemplo

Encuentre la función de Green para el siguiente problema, cuyo número de función de Green es X11:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}}$$

Primer paso: La función de Green para el operador lineal en cuestión se define como la solución a

Si , entonces la función delta da cero y la solución general es ${\displaystyle x\neq s}$

$${\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}$$

Para , la condición de frontera en implica ${\displaystyle x<s}$ ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}$$

${\displaystyle x<s}$ ${\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}$

Para , la condición de frontera en implica ${\displaystyle x>s}$ ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}$

$${\displaystyle G\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$$

La ecuación de se omite por razones similares. ${\displaystyle G(0,s)=0}$

Para resumir los resultados hasta el momento:

$${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}$$

Segundo paso: La siguiente tarea es determinar y . ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$

Garantizar la continuidad de la función del Verde implica ${\displaystyle x=s}$

$${\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}$$

Se puede asegurar una discontinuidad adecuada en la primera derivada integrando la ecuación diferencial definitoria (es decir, Ec. * ) desde hasta y tomando el límite cuando llega a cero. Tenga en cuenta que solo integramos la segunda derivada ya que el término restante será continuo por construcción. ${\displaystyle x=s-\varepsilon }$ ${\displaystyle x=s+\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}$$

Las dos ecuaciones de (dis)continuidad se pueden resolver y obtener ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$

$${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}$$

Entonces la función de Green para este problema es:

$${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}$$

Más ejemplos

• Sea n = 1 y sea el subconjunto todo R . Sea L.​ ​Entonces, la función escalón de Heaviside Θ( x − x ₀ ) es una función de Green de L en x ₀ . ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$
• Sea n = 2 y sea el subconjunto el cuarto de plano {( x , y ) : x , y ≥ 0} y L sea el laplaciano . Además, supongamos que se impone una condición de frontera de Dirichlet en x = 0 y una condición de frontera de Neumann en y = 0 . Entonces la función del X10Y20 Green es
  $${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}$$
• Sean , y los tres son elementos de los números reales. Entonces, para cualquier función con una derivada -ésima que sea integrable en el intervalo : ${\displaystyle a<x<b}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [a,b]}$
  $${\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}$$
  La función de Green en la ecuación anterior, no es única. ¿Cómo se modifica la ecuación si se suma a , donde satisface para todos (por ejemplo, con )? Además, compare la ecuación anterior con la forma de una serie de Taylor centrada en . ${\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}$ ${\displaystyle g(x-s)}$ ${\displaystyle G(x,s)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ${\displaystyle g(x)=-x/2}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle x=a}$

Ver también

• Potencial de Bessel
• Funciones de Green discretas : definidas en gráficos y cuadrículas
• Respuesta al impulso : el análogo de la función de Green en el procesamiento de señales
• Función de transferencia
• Solución fundamental
• La función de Green en la teoría de muchos cuerpos
• Función de correlación
• Propagador
• Las identidades de Green
• parametrix
• Ecuación integral de Volterra
• Formalismo solvente
• formalismo keldysh
• Teoría espectral
• Función de Green multiescala

Notas a pie de página

1. En jerga técnica, "regular" significa que sólo existe la solución trivial ( ) ${\displaystyle u(x)=0}$ para el problema homogéneo ( ). ${\displaystyle f(x)=0}$

Referencias

1. Cole, KD; Beck, JV; Haji-Sheikh, A.; Litkouhi, B. (2011). "Métodos para la obtención de funciones de Green". Conducción de calor mediante las funciones de Green . Taylor y Francisco. págs. 101-148. ISBN 978-1-4398-1354-6.
2. algunos ejemplos tomados de Schulz, Hermann (2001). Physik mit Bleistift: das analytische Handwerkszeug des Naturwissenschaftlers (4. Aufl ed.). Fráncfort del Meno: alemán. ISBN 978-3-8171-1661-4.
3. Jackson, John David (14 de agosto de 1998). Electrodinámica clásica . John Wiley e hijos. pag. 39.

• Bayin, SS (2006). Métodos matemáticos en ciencias e ingeniería . Wiley. Capítulos 18 y 19.
• Ojos, Leonard (1972). El campo electromagnético clásico . Nueva York, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-63947-9.
  El capítulo 5 contiene una descripción muy legible del uso de las funciones de Green para resolver problemas de valores límite en electrostática.
• Polianina, AD; Zaitsev, VF (2003). Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2ª ed.). Boca Ratón, FL: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Polianina, AD (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Ratón, FL: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
• Mateo, Jon; Walker, Robert L. (1970). Métodos matemáticos de la física (2ª ed.). Nueva York: WA Benjamín. ISBN 0-8053-7002-1.
• Folland, GB Análisis de Fourier y sus aplicaciones . Serie de Matemáticas. Wadsworth y Brooks/Cole.
• Verde, G (1828). Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo . Nottingham, Inglaterra: T. Wheelhouse. páginas 10-12.
• Faryad y, M.; Lakhtakia, A. (2018). Funciones verdes diádicas del espacio infinito en el electromagnetismo. Londres, Reino Unido / San Rafael, CA: IoP Science (Reino Unido) / Morgan and Claypool (EE. UU.). Código Bib : 2018idgf.book.....F.
• Şeremet, VD (2003). Manual de funciones y matrices de Green . Southhampton: Prensa INGENIO. ISBN 978-1-85312-933-9.

enlaces externos

• "Función verde", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Función de Green". MundoMatemático .
• Función de Green para operador diferencial en PlanetMath .
• Función de Green en PlanetMath .
• Funciones verdes y mapeo conforme en PlanetMath .
• Introducción a la técnica de la función verde de desequilibrio Keldysh por AP Jauho
• Biblioteca de funciones de Green
• Tutorial sobre las funciones de Green.
• Método del elemento límite (para tener una idea de cómo se pueden usar las funciones de Green con el método del elemento límite para resolver problemas potenciales numéricamente)
• En Citizendium
• Videoconferencia del MIT sobre la función de Green
• Bowley, Roger. "Funciones de George Green & Green". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .