Función de Green multiescala

Versión generalizada de la función de Green clásica

La función de Green multiescala (MSGF) es una versión generalizada y extendida de la técnica clásica de la función de Green (GF) ^[1] para resolver ecuaciones matemáticas. La principal aplicación de la técnica MSGF es en el modelado de nanomateriales . ^[2] Estos materiales son muy pequeños, del tamaño de unos pocos nanómetros . El modelado matemático de nanomateriales requiere técnicas especiales y ahora se reconoce como una rama independiente de la ciencia. ^[3] Se necesita un modelo matemático para calcular los desplazamientos de los átomos en un cristal en respuesta a una fuerza estática o dependiente del tiempo aplicada para estudiar las propiedades mecánicas y físicas de los nanomateriales. Un requisito específico de un modelo para nanomateriales es que el modelo debe ser multiescala y proporcionar una vinculación perfecta de diferentes escalas de longitud. ^[4]

La función de Green (GF) fue formulada originalmente por el físico matemático británico George Green en el año 1828 como una técnica general para la solución de ecuaciones de operadores. ^[1] Se ha utilizado ampliamente en física matemática durante los últimos casi doscientos años y se ha aplicado a una variedad de campos. ^{[1] [5]} Las revisiones de algunas aplicaciones de las GF, como la teoría de muchos cuerpos y la ecuación de Laplace, están disponibles en Wikipedia. Las técnicas basadas en GF se utilizan para modelar varios procesos físicos en materiales como fonones , ^[6] estructura de banda electrónica ^[7] y elastostática . ^[5]

Aplicación del método MSGF para modelar nanomateriales

El método MSGF es una técnica GF relativamente nueva para el modelado matemático de nanomateriales. Los modelos matemáticos se utilizan para calcular la respuesta de los materiales a una fuerza aplicada con el fin de simular sus propiedades mecánicas. La técnica MSGF vincula diferentes escalas de longitud en el modelado de nanomateriales. ^{[2] [8]} Los nanomateriales son de dimensiones atómicas y necesitan ser modelados en escalas de longitud de nanómetros. Por ejemplo, un nanocable de silicio , cuyo ancho es de aproximadamente cinco nanómetros, contiene solo 10 – 12 átomos en su ancho. Otro ejemplo es el grafeno ^[9] y muchos nuevos sólidos bidimensionales (2D). ^[10] Estos nuevos materiales son lo último en delgadez porque tienen solo uno o dos átomos de espesor. El modelado multiescala es necesario para tales materiales porque sus propiedades están determinadas por la discreción de sus disposiciones atómicas, así como por sus dimensiones generales. ^{[2] [4]}

El método MSGF es multiescala en el sentido de que vincula la respuesta de los materiales a una fuerza aplicada a escalas atómicas con su respuesta a escalas macroscópicas. La respuesta de los materiales a escalas macroscópicas se calcula utilizando el modelo continuo de sólidos. En el modelo continuo, la estructura atómica discreta de los sólidos se promedia en un continuo. Las propiedades de los nanomateriales son sensibles a su estructura atómica, así como a sus dimensiones generales. También son sensibles a la estructura macroscópica del material anfitrión en el que están incrustados. El método MSGF se utiliza para modelar dichos sistemas compuestos.

El método MSGF también se utiliza para analizar el comportamiento de cristales que contienen defectos reticulares, como vacantes, intersticiales o átomos extraños. El estudio de estos defectos reticulares es de interés ya que desempeñan un papel en la tecnología de materiales. ^{[11] [12]} La presencia de un defecto en una red desplaza los átomos anfitriones de su posición original o la red se distorsiona. Esto se muestra en la Figura 1 para una red 1D como ejemplo. Se necesita un modelo de escala atomística para calcular esta distorsión cerca del defecto, ^{[13] [14]} mientras que el modelo continuo se utiliza para calcular la distorsión lejos del defecto. El MSGF vincula estas dos escalas a la perfección.

Fig. 1 – Red unidimensional con simetría traslacional completa. Los círculos indican las posiciones atómicas. Arriba: red perfecta en la que todos los átomos son idénticos. Abajo: red que contiene un único defecto. El átomo en L=0 es reemplazado por un átomo extraño que causa distorsión de la red. El espaciamiento entre el átomo en L=0 y L=1 cambia de a a a1.

MSGF para nanomateriales

El modelo MSGF de nanomateriales tiene en cuenta tanto las multipartículas como las multiescalas en los materiales. ^[8] Es una extensión del método de la función de Green de estática de red (LSGF) que se formuló originalmente en el Atomic Energy Research Establishment Harwell en el Reino Unido en 1973. ^{[11] [15]} También se lo conoce como método de Tewary en la literatura ^{[16] [17]} El método LSGF complementa el método de dinámica molecular ^[18] (MD) para modelar sistemas de múltiples partículas. El método LSGF se basa en el uso del modelo Born von Karman (BvK) ^{[6] [19]} y se puede aplicar a diferentes estructuras de red y defectos. ^{[11] [17] [20]} El método MSGF es una versión extendida del método LSGF y se ha aplicado a muchos nanomateriales y materiales 2D ^[2]

En las escalas atomísticas, un cristal o un sólido cristalino está representado por una colección de átomos interactuantes ubicados en sitios discretos en una red geométrica. ^[19] Un cristal perfecto consiste en una red geométrica regular y periódica. La red perfecta tiene simetría de traslación, lo que significa que todas las celdas unitarias son idénticas. En una red periódica perfecta, que se supone infinita, todos los átomos son idénticos. En equilibrio, se supone que cada átomo está ubicado en su sitio de la red. La fuerza en cualquier átomo debido a otros átomos simplemente se cancela, por lo que la fuerza neta en cada átomo es cero. Estas condiciones se rompen en una red distorsionada en la que los átomos se desplazan de sus posiciones de equilibrio. ^[15] La distorsión de la red puede ser causada por una fuerza aplicada externamente. La red también puede distorsionarse introduciendo un defecto en la red o desplazando un átomo que perturbe la configuración de equilibrio e induzca una fuerza en los sitios de la red. Esto se muestra en la Figura 1. El objetivo del modelo matemático es calcular los valores resultantes de los desplazamientos atómicos.

El GF en el método MSGF se calcula minimizando la energía total de la red. ^[15] La energía potencial de la red en forma de una serie de Taylor infinita en desplazamientos atómicos en la aproximación armónica es la siguiente

${\displaystyle W=-\sum _{L,a}f_{a}(L)u_{a}(L)+{\frac {1}{2}}\sum _{L,a}\sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{a}(L)u_{b}(L')\qquad \qquad (1)}$

donde L y L ′ representan los átomos, a y b representan las coordenadas cartesianas, u representa el desplazamiento atómico y − f y K son el primer y segundo coeficiente de la serie de Taylor . Están definidos por ^[1]

${\displaystyle f_{a}(L)=-{\frac {\partial W}{\partial u_{a}(L)}},\qquad \qquad (2)}$

y

${\displaystyle K_{ab}(L,L')={\frac {\partial ^{2}W}{\partial u_{a}(L)\,\partial u_{b}(L')}},\qquad \qquad (3)}$

donde las derivadas se evalúan en desplazamientos cero. El signo negativo se introduce en la definición de f por conveniencia. Por lo tanto, f ( L ) es un vector 3D que denota la fuerza en el átomo L. Sus tres componentes cartesianos se denotan por f _a (L) donde a = x , y o z . De manera similar, K (L,L') es una matriz 3x3, que se llama la matriz de constante de fuerza entre los átomos en L y L' . Sus 9 elementos se denotan por K _ab ( L , L ′) para a , b = x , y o z .

En el equilibrio, la energía W es mínima. ^[8] Por consiguiente, la primera derivada de W con respecto a cada u debe ser cero. Esto da la siguiente relación a partir de la ecuación (1)

${\displaystyle \sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{b}(L')=f_{a}(L).\qquad \qquad (4)}$

Se puede demostrar por sustitución directa que la solución de la ecuación (4) se puede escribir como

${\displaystyle u_{a}(L)=\sum _{L',b}G_{ab}(L,L')f_{b}(L')\qquad \qquad (5)}$

donde G se define por la siguiente relación de inversión

${\displaystyle \sum _{L'',b''}K_{ab''}(L,L'')G_{b''b}(L'',L')=\delta (a,b)\delta (L,L').\qquad \qquad (6)}$

En la ecuación (6), δ ( m , n ) es la función delta discreta de dos variables discretas m y  n . De manera similar al caso de la función delta de Dirac para variables continuas, se define como 1 si m  =  n y 0 en caso contrario. ^[6]

Las ecuaciones (4)–(6) se pueden escribir en notación matricial de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}Ku&=f&&(7)\\u&=Gf&&(8)\\{\text{and }}G&=K^{-1}&&(9)\end{aligned}}}$

Las matrices K y G en las ecuaciones anteriores son matrices cuadradas de 3 N  × 3 N y u y f son vectores columna de 3 N dimensiones, donde N es el número total de átomos en la red. La matriz G es la función de Green de múltiples partículas y se denomina función de Green de estática de red (LSGF). ^[15] Si se conoce G , los desplazamientos atómicos de todos los átomos se pueden calcular utilizando la ecuación (8).

Uno de los principales objetivos del modelado es el cálculo de los desplazamientos atómicos u causados ​​por una fuerza aplicada f. ^[21] Los desplazamientos, en principio, están dados por la ecuación (8). Sin embargo, implica la inversión de la matriz K que es 3N x 3N. Para cualquier cálculo de interés práctico N ~ 10.000 pero preferiblemente un millón para simulaciones más realistas. La inversión de una matriz tan grande es computacionalmente extensa y se necesitan técnicas especiales para el cálculo de u. Para redes periódicas regulares, LSGF es una de esas técnicas. Consiste en calcular G en términos de su transformada de Fourier, y es similar al cálculo del fonón GF. ^[6]

El método LSGF se ha generalizado para incluir los efectos multiescala en el método MSGF. ^[8] El método MSGF es capaz de vincular escalas de longitud sin problemas. Esta propiedad se ha utilizado para desarrollar un método MSGF híbrido que combina los métodos GF y MD y se ha utilizado para simular nanoinclusiones menos simétricas, como puntos cuánticos en semiconductores. ^[22]

Para una red perfecta sin defectos, el MSGF vincula directamente las escalas atómicas en LSGF con las escalas macroscópicas a través del modelo continuo. Una red perfecta tiene simetría de traslación completa, por lo que todos los átomos son equivalentes. En este caso, cualquier átomo puede elegirse como origen y G(L,L') puede expresarse mediante un único índice (L'-L) ^[6] definido como

${\displaystyle G(L,L')=G(0,L-L')=G(L'-L)\qquad \qquad (10)}$

El límite asintótico de G ( L ), que satisface la ecuación (10), para valores grandes de R ( L ) está dado por ^[8]

${\displaystyle \lim _{R(L)\to \infty }[G(0,L)]\rightarrow G_{c}(x)+O(1/x^{4})\qquad \qquad (11)}$

donde x = R ( L ) es el vector de posición del átomo L , y G _c ( x ) es la función de Green del continuo (CGF), que se define en términos de las constantes elásticas y se utiliza en el modelado de materiales a granel convencionales a macroescalas. ^{[5] [11]} En la ecuación (11), O(1/ x ⁿ ) es la notación matemática estándar para un término de orden 1/ x ⁿ y superior. La magnitud de G _c ( x ) es O(1/ x ² ). ^[21] La LSGF G (0, L ) en esta ecuación se reduce suave y automáticamente a la CGF para x suficientemente grande a medida que los términos O(1/ x ⁴ ) se vuelven gradualmente pequeños y despreciables. Esto asegura la vinculación perfecta de la escala de longitud atomística a la escala del continuo macroscópico. ^[8]

Las ecuaciones (8) y (9), junto con la relación límite dada por la ecuación (11), forman las ecuaciones básicas para el MSGF. ^[8] La ecuación (9) proporciona el LSGF, que es válido en las escalas atómicas y la ecuación (11) lo relaciona con el CGF, que es válido en las escalas del macrocontinuo. Esta ecuación también muestra que el LSGF se reduce sin problemas al CGF.

Método MSGF para calcular el efecto de defectos y discontinuidades en nanomateriales

Si una red contiene defectos, su simetría de traslación se rompe. En consecuencia, no es posible expresar G en términos de una única variable de distancia R ( L ). Por lo tanto, la ecuación (10) ya no es válida y la correspondencia entre el LSGF y el CGF, necesaria para su enlace sin fisuras, se rompe. ^[15] En tales casos, el MSGF vincula la red y las escalas del continuo utilizando el siguiente procedimiento: ^[15]

Si p denota el cambio en la matriz K, causado por el defecto o los defectos, la matriz de constante de fuerza K* para la red defectuosa se escribe como

${\displaystyle K^{*}=K-p\qquad \qquad (12)}$

Al igual que en el caso de la red perfecta en la ecuación (9), el defecto GF correspondiente se define como la inversa de la matriz K* completa . El uso de la ecuación (12) conduce a la siguiente ecuación de Dyson para el defecto LSGF: ^[15]

${\displaystyle G^{*}=G+GpG^{*}\qquad \qquad (13)}$

El método MSGF consiste en resolver la ecuación (13) para G* utilizando la técnica de partición matricial o la transformada doble de Fourier. ^[6]

Una vez conocido G* , el vector de desplazamiento viene dado por la siguiente ecuación GF similar a la ecuación (8):

u = G* f (14)

La ecuación (14) proporciona la solución deseada, es decir, los desplazamientos atómicos o la distorsión de red causada por la fuerza f . Sin embargo, no muestra la vinculación de la red y las múltiples escalas del continuo, porque las ecuaciones (10) y (11) no son válidas para el defecto LSGF G* . La vinculación entre la red y el modelo continuo en el caso de la red con defectos se logra utilizando una transformación exacta descrita a continuación. ^[8]

Usando la ecuación (13), la ecuación (14) se puede escribir en la siguiente forma exactamente equivalente:

u = Gf + G p G* f . (15)

El uso de la ecuación (14) nuevamente en el lado derecho de la ecuación (15) da,

u = G f* (16)

dónde

f* = f + pu . (17)

Nótese que la ecuación (17) define una fuerza efectiva f* tal que las ecuaciones (14) y (16) son exactamente equivalentes.

La ecuación (16) expresa los desplazamientos atómicos u en términos de G , el LSGF perfecto incluso para redes con defectos. El efecto de los defectos se incluye exactamente en f* . El LSGF G es independiente de f o f* y se reduce al CGF de forma asintótica y suave como se indica en la ecuación (11). La fuerza efectiva f* se puede determinar en un cálculo separado utilizando un método independiente si es necesario, y la estática de red o el modelo continuo se pueden utilizar para G . Esta es la base de un modelo híbrido que combina MSGF y MD para simular un punto cuántico de germanio en una red de silicio. ^[22]

La ecuación (16) es la ecuación maestra del método MSGF. ^{[2] [8]} Es verdaderamente multiescala. Todas las contribuciones atomísticas discretas están incluidas en f*. La función de Green G se puede calcular de forma independiente, que puede ser completamente atomística para nanomateriales o parcial o totalmente continua para macroescalas para tener en cuenta las superficies e interfaces en sistemas materiales según sea necesario ^[8]

GF como característica física de los sólidos

Tewary, Quardokus y DelRio ^[23] han sugerido que la función de Green no es sólo un artefacto matemático, sino una característica física del sólido, que puede medirse utilizando microscopía de sonda de barrido .

Su sugerencia se basa en el hecho de que cualquier proceso de medición en un sistema requiere cuantificar la respuesta del sistema a una sonda externa y la función de Green proporciona la respuesta total del sistema a una sonda aplicada. ^[24] Por ejemplo, si queremos medir las características de un resorte, lo fijamos en un extremo y aplicamos una fuerza f o f* en el otro extremo. Una medición del estiramiento u del resorte proporcionará entonces el valor de la función de Green del resorte utilizando la ecuación 14 o 16. En este ejemplo, la fuerza aplicada es la sonda y el estiramiento del resorte es su respuesta a la sonda. Si los valores medidos de las funciones de Green de un sólido están disponibles, caracterizarán con precisión la respuesta de un sólido para aplicaciones de ingeniería. Por esta razón, la función de Green también se llama función de respuesta.

Dinámica molecular de la función causal de Green

Una aplicación importante del método MSGF es el modelado de procesos temporales (dependientes del tiempo) en sólidos, especialmente en nanomateriales. Esto es necesario en diversas aplicaciones como pruebas y caracterización de materiales, propagación de ondas y calor en nanomateriales y modelado de daños por radiación en semiconductores. ^{[2] [18]} Estos procesos deben simularse en un amplio rango de tiempos desde femtosegundos a nanosegundos o incluso microsegundos , lo que es un problema multiescala desafiante para los nanomateriales. Tewary ^[25] demostró que el uso de las funciones de Green causales en dinámica molecular puede acelerar significativamente la convergencia temporal de la dinámica molecular. El nuevo método, llamado CGFMD (Causal Green's Function Molecular Dynamics) es el equivalente temporal del MSGF y se basa en el uso de funciones de Green causales o retardadas . Se ha aplicado ^[25] para simular la propagación de ondulaciones en grafeno, ^[9] donde se ha demostrado que el CGFMD puede modelar escalas de tiempo de 6 a 9 órdenes de magnitud a nivel atómico. Al menos en algunos casos idealizados como la propagación de ondulaciones en grafeno, el CGFMD puede unir las escalas de tiempo de femto a microsegundos. El CGFMD ha sido refinado y desarrollado en artículos de Coluci, Dantas y Tewary. ^{[26] [27]} }

Véase también

• Modelos a micro y macroescala

Referencias

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