Fuerza Abraham-Lorentz

Fuerza de retroceso sobre la aceleración de una partícula cargada

En la física del electromagnetismo , la fuerza de Abraham-Lorentz (también conocida como fuerza de Lorentz-Abraham ) es la fuerza de reacción sobre una partícula cargada en aceleración causada por la partícula que emite radiación electromagnética por autointeracción. También se le llama fuerza de reacción a la radiación , fuerza de amortiguación de la radiación , ^[1] o fuerza propia . ^[2] Lleva el nombre de los físicos Max Abraham y Hendrik Lorentz .

La fórmula, aunque anterior a la teoría de la relatividad especial , se calculó inicialmente para aproximaciones de velocidad no relativistas, Max Abraham la amplió a velocidades arbitrarias y George Adolphus Schott demostró que era físicamente consistente . La forma no relativista se llama autofuerza de Lorentz, mientras que la versión relativista se llama fuerza de Lorentz-Dirac o conocida colectivamente como fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac . ^[3] Las ecuaciones están en el dominio de la física clásica , no de la física cuántica , y por lo tanto pueden no ser válidas a distancias de aproximadamente la longitud de onda de Compton o inferiores. ^[4] Sin embargo, existen dos análogos de la fórmula que son completamente cuánticos y relativistas: uno se llama "ecuación de Abraham-Lorentz-Dirac-Langevin", ^[5] el otro es la fuerza propia sobre un espejo en movimiento. . ^[6]

La fuerza es proporcional al cuadrado de la carga del objeto , multiplicado por la sacudida que está experimentando. (La sacudida es la tasa de cambio de la aceleración ). La fuerza apunta en la dirección de la sacudida. Por ejemplo, en un ciclotrón , donde la sacudida apunta en sentido opuesto a la velocidad, la reacción de radiación se dirige en sentido opuesto a la velocidad de la partícula, proporcionando una acción de frenado. La fuerza de Abraham-Lorentz es la fuente de la resistencia a la radiación de una antena de radio que irradia ondas de radio .

Existen soluciones patológicas de la ecuación de Abraham-Lorentz-Dirac en las que una partícula acelera antes de la aplicación de una fuerza, las llamadas soluciones de preaceleración . Dado que esto representaría un efecto que ocurre antes de su causa ( retrocausalidad ), algunas teorías han especulado que la ecuación permite que las señales viajen hacia atrás en el tiempo, desafiando así el principio físico de causalidad . Arthur D. Yaghjian ^[7] discutió una solución a este problema y Fritz Rohrlich ^[4] y Rodrigo Medina la discutieron con más detalle . ^[8]

Definición y descripción

Matemáticamente, la fuerza del propio Lorentz derivada para una aproximación no relativista de la velocidad está dada en unidades SI por: ${\displaystyle v\ll c}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} }$$

o en unidades gaussianas por

$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} .}$$

donde es la fuerza, es la derivada de la aceleración , o la tercera derivada del desplazamiento , también llamada tirón , μ ₀ es la constante magnética , ε ₀ es la constante eléctrica , c es la velocidad de la luz en el espacio libre y q es la carga eléctrica de la partícula. ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {a}} }$

Físicamente, una carga acelerada emite radiación (según la fórmula de Larmor ), que aleja el impulso de la carga. Como el impulso se conserva, la carga es empujada en dirección opuesta a la dirección de la radiación emitida. De hecho, la fórmula anterior para la fuerza de radiación se puede derivar de la fórmula de Larmor, como se muestra a continuación.

La fuerza de Abraham-Lorentz , una generalización de la autofuerza de Lorentz para velocidades arbitrarias, viene dada por: ^{[9] [10]}

$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {2kq^{2}}{3c^{3}}}\left(\gamma ^{2}{\dot {a}}+{\frac {\gamma ^{4}v(v\cdot {\dot {a}})}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{4}a(v\cdot a)}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{6}v(v\cdot a)^{2}}{c^{4}}}\right)}$$

¿Dónde está el factor de Lorentz asociado con la velocidad de la partícula y es la constante de Coulomb ? La fórmula es consistente con la relatividad especial y se reduce a la expresión de fuerza propia de Lorentz para el límite de velocidad baja. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k}$

La forma covariante de reacción de radiación deducida por Dirac para formas arbitrarias de cargas elementales es: ^{[11] [12]}

$${\displaystyle F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right]}$$

Historia

El primer cálculo de la energía de radiación electromagnética debida a la corriente lo realizó George Francis FitzGerald en 1883, en el que aparece la resistencia a la radiación. ^[13] Sin embargo, los experimentos con antenas dipolo realizados por Heinrich Hertz tuvieron un impacto mayor y recogieron comentarios de Poincaré sobre la amortización o amortiguación del oscilador debido a la emisión de radiación. ^{[14] [15] [16]} Henry Poincaré inició debates cualitativos sobre los efectos amortiguadores de la radiación emitida por cargas aceleradas en 1891. ^{[17] [18]} En 1892, Hendrik Lorentz derivó la fuerza de autointeracción de las cargas para bajas velocidades. pero no lo relacionó con las pérdidas por radiación. ^[19] Max Planck fue el primero en sugerir una relación entre la pérdida de energía por radiación y la fuerza propia . ^[20] El concepto de fuerza amortiguadora de Planck, que no asumía ninguna forma particular para las partículas elementales cargadas, fue aplicado por Max Abraham para encontrar la resistencia a la radiación de una antena en 1898, que sigue siendo la aplicación más práctica del fenómeno. ^[21]

A principios del siglo XX, Abraham formuló una generalización de la autofuerza de Lorentz a velocidades arbitrarias, cuya consistencia física fue demostrada más tarde por George Adolphus Schott . ^{[9] [22] [23]} Schott pudo derivar la ecuación de Abraham y atribuyó la "energía de aceleración" a la fuente de energía de la radiación electromagnética. Presentado originalmente como un ensayo para el Premio Adams de 1908 , ganó el concurso y publicó el ensayo como libro en 1912. La relación entre la fuerza propia y la reacción a la radiación quedó bien establecida en este punto. ^[24] Wolfgang Pauli obtuvo por primera vez la forma covariante de la reacción de radiación ^{[25] [26]} y en 1938, Paul Dirac descubrió que la ecuación de movimiento de partículas cargadas, sin asumir la forma de la partícula, contenía la fórmula de Abraham dentro de aproximaciones razonables. . Las ecuaciones derivadas de Dirac se consideran exactas dentro de los límites de la teoría clásica. ^[11]

Fondo

En electrodinámica clásica , los problemas suelen dividirse en dos clases:

1. Problemas en los que se especifican las fuentes de carga y corriente de los campos y se calculan los campos , y
2. La situación inversa, problemas en los que se especifican los campos y se calcula el movimiento de las partículas.

En algunos campos de la física, como la física del plasma y el cálculo de los coeficientes de transporte (conductividad, difusividad, etc. ), los campos generados por las fuentes y el movimiento de las fuentes se resuelven de forma autoconsistente. Sin embargo, en tales casos, el movimiento de una fuente seleccionada se calcula en respuesta a los campos generados por todas las demás fuentes. Rara vez se calcula el movimiento de una partícula (fuente) debido a los campos generados por esa misma partícula. La razón de esto es doble:

1. El descuido de los " campos propios " generalmente conduce a respuestas que son lo suficientemente precisas para muchas aplicaciones, y
2. La inclusión de campos propios conduce a problemas en física como la renormalización , algunos de los cuales aún están sin resolver, que se relacionan con la naturaleza misma de la materia y la energía.

Estos problemas conceptuales creados por los campos propios se destacan en un texto estándar de posgrado. [Jackson]

Las dificultades que presenta este problema afectan a uno de los aspectos más fundamentales de la física: la naturaleza de la partícula elemental. Aunque se pueden dar soluciones parciales, viables en áreas limitadas, el problema básico sigue sin resolverse. Se podría esperar que la transición de los tratamientos clásicos a los de la mecánica cuántica elimine las dificultades. Si bien todavía hay esperanzas de que esto pueda ocurrir eventualmente, las actuales discusiones sobre mecánica cuántica están plagadas de problemas aún más elaborados que los clásicos. Uno de los triunfos de años comparativamente recientes (~ 1948-1950) es que los conceptos de covarianza de Lorentz e invariancia de calibre se explotaron con suficiente inteligencia para sortear estas dificultades en la electrodinámica cuántica y así permitir el cálculo de efectos radiativos muy pequeños con una precisión extremadamente alta. , totalmente de acuerdo con el experimento. Sin embargo, desde un punto de vista fundamental, las dificultades persisten.

La fuerza de Abraham-Lorentz es el resultado del cálculo más fundamental del efecto de los campos autogenerados. Surge de la observación de que las cargas aceleradas emiten radiación. La fuerza de Abraham-Lorentz es la fuerza promedio que siente una partícula cargada en aceleración en el retroceso de la emisión de radiación. La introducción de los efectos cuánticos conduce a la electrodinámica cuántica . Los autocampos en la electrodinámica cuántica generan un número finito de infinitos en los cálculos que pueden eliminarse mediante el proceso de renormalización . Esto ha dado lugar a una teoría que es capaz de realizar las predicciones más precisas que los humanos han hecho hasta la fecha. (Ver pruebas de precisión de QED ). Sin embargo, el proceso de renormalización falla cuando se aplica a la fuerza gravitacional . Los infinitos en ese caso son infinitos en número, lo que provoca el fracaso de la renormalización. Por tanto, la relatividad general tiene un problema de campo propio sin resolver. La teoría de cuerdas y la gravedad cuántica de bucles son intentos actuales de resolver este problema, formalmente llamado problema de la reacción a la radiación o problema de la autofuerza.

Derivación

La derivación más simple para la fuerza propia se encuentra para el movimiento periódico a partir de la fórmula de Larmor para la potencia irradiada por una carga puntual que se mueve con una velocidad mucho menor que la de la luz:

$${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}.}$$

Si suponemos que el movimiento de una partícula cargada es periódico, entonces el trabajo promedio realizado sobre la partícula por la fuerza de Abraham-Lorentz es el negativo del poder de Larmor integrado durante un período de a : ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$

$${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt.}$$

La expresión anterior se puede integrar por partes. Si suponemos que hay movimiento periódico, el término límite en la integral por partes desaparece:

$${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} \cdot \mathbf {v} dt.}$$

Claramente, podemos identificar la ecuación de autofuerza de Lorentz que es aplicable a partículas que se mueven lentamente como:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {{\dot {a}}.} }$$

Nota: Hay dos problemas con esta derivación:

1. La igualdad de dos integrales rara vez significa que los dos integrandos sean iguales.

2. Debido al poder de Larmor irradiado, el término límite no desaparecerá.

Se encontró una derivación más rigurosa, que no requiere movimiento periódico, utilizando una formulación eficaz de la teoría de campos . ^{[27] [28]}

Max Abraham formuló una ecuación generalizada para velocidades arbitrarias, que resulta consistente con la relatividad especial. Dirac encontró una derivación alternativa, haciendo uso de la teoría de la relatividad que estaba bien establecida en ese momento, sin ninguna suposición sobre la forma de la partícula cargada. ^[3]

Señales del futuro

A continuación se muestra un ejemplo de cómo un análisis clásico puede conducir a resultados sorprendentes. Se puede considerar que la teoría clásica desafía las imágenes estándar de causalidad, señalando así un colapso o la necesidad de ampliar la teoría. En este caso, la extensión es a la mecánica cuántica y su contraparte relativista, la teoría cuántica de campos . Véase la cita de Rohrlich ^[4] en la introducción sobre "la importancia de obedecer los límites de validez de una teoría física".

Para una partícula sometida a una fuerza externa , tenemos ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }}$

$${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }.}$$

$${\displaystyle t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}.}$$

Esta ecuación se puede integrar una vez para obtener

$${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'.}$$

La integral se extiende desde el presente hasta un futuro infinitamente lejano. Por tanto, los valores futuros de la fuerza afectan la aceleración de la partícula en el presente. Los valores futuros están ponderados por el factor

$${\displaystyle \exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)}$$

radio clásico del electrónconstante de Planck^{[ ¿quién? ]} ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle 10^{-24}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

Fuerza Abraham-Lorentz-Dirac

Para encontrar la generalización relativista, Dirac renormalizó la masa en la ecuación de movimiento con la fuerza de Abraham-Lorentz en 1938. Esta ecuación de movimiento renormalizada se llama ecuación de movimiento de Abraham-Lorentz-Dirac. ^{[11] [29]}

Definición

La expresión derivada de Dirac viene dada en la firma (−, +, +, +) por ^{[11] [12]}

$${\displaystyle F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right].}$$

Con la generalización relativista de Liénard de la fórmula de Larmor en el marco co-móvil ,

$${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}q^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{6\pi c}},}$$

potencia

$${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}Pdt={\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}{\textbf {F}}\cdot {\textbf {v}}\,dt.}$$

Fuerza de amortiguación de la radiación de Landau-Lifshitz

La fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac conduce a algunas soluciones patológicas. Para evitar esto, Lev Landau y Evgeny Lifshitz idearon la siguiente fórmula para la fuerza de amortiguación de la radiación, que es válida cuando la fuerza de amortiguación de la radiación es pequeña en comparación con la fuerza de Lorentz en algún marco de referencia (suponiendo que exista), ^[30]

${\displaystyle g^{i}={\frac {2e^{3}}{3mc^{3}}}\left\{{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{l}}}-{\frac {e}{mc^{2}}}\left[F^{il}F_{kl}u^{k}-(F_{kl}u^{l})(F^{km}u_{m})u^{i}\right]\right\}}$

de modo que la ecuación de movimiento de la carga en un campo externo se puede escribir como ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle F^{ik}}$

${\displaystyle mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+g^{i}.}$

Aquí está la cuarta velocidad de la partícula, es el factor de Lorentz y es el vector de velocidad tridimensional. La fuerza tridimensional de amortiguación de la radiación de Landau-Lifshitz se puede escribir como ${\displaystyle u^{i}=(\gamma ,\gamma \mathbf {v} /c)}$ ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {2e^{3}\gamma }{3mc^{3}}}\left\{{\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}+{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times {\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}\right\}+{\frac {2e^{4}}{3m^{2}c^{4}}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} +{\frac {1}{c}}\mathbf {H} \times (\mathbf {H} \times \mathbf {v} )+{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} )\right]-{\frac {2e^{4}\gamma ^{2}\mathbf {v} }{3m^{2}c^{5}}}\left[\left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )^{2}\right]}$

¿Dónde está la derivada total? ${\displaystyle D/Dt=\partial /\partial t+\mathbf {v} \cdot \nabla }$

Paradojas

Preaceleración

Al igual que en el caso no relativista, existen soluciones patológicas que utilizan la ecuación de Abraham-Lorentz-Dirac que anticipan un cambio en la fuerza externa y según las cuales la partícula acelera antes de la aplicación de una fuerza, las llamadas soluciones de preaceleración . Yaghjian ^[7] discutió una solución a este problema y Rohrlich ^[4] y Medina la analizan con más detalle . ^[8]

Soluciones desbocadas

Las soluciones desbocadas son soluciones a las ecuaciones ALD que sugieren que la fuerza sobre los objetos aumentará exponencialmente con el tiempo. Se considera una solución no física.

movimiento hiperbólico

Se sabe que las ecuaciones ALD son cero para aceleración constante o movimiento hiperbólico en el diagrama espacio-temporal de Minkowski . La cuestión de si en tales condiciones existe radiación electromagnética fue tema de debate hasta que Fritz Rohrlich resolvió el problema demostrando que las cargas en movimiento hiperbólico sí emiten radiación. Posteriormente, la cuestión se analiza en el contexto del principio de equivalencia y conservación de energía que clásicamente se resuelve considerando la "energía de aceleración" o energía de Schott.

Autointeracciones

Sin embargo, el mecanismo antiamortiguamiento resultante de la fuerza de Abraham-Lorentz puede compensarse mediante otros términos no lineales, que frecuentemente se ignoran en las expansiones del potencial retardado de Liénard-Wiechert . ^[4]

Observaciones experimentales

Si bien la fuerza de Abraham-Lorentz se ignora en gran medida por muchas consideraciones experimentales, gana importancia para las excitaciones plasmónicas en nanopartículas más grandes debido a las grandes mejoras del campo local. "La amortiguación de la radiación actúa como un factor limitante para las excitaciones plasmónicas en la dispersión Raman mejorada en la superficie" . ^[31] Se demostró que la fuerza de amortiguación amplía las resonancias de plasmones superficiales en nanopartículas , nanobarras y grupos de oro . ^{[32] [33] [34]}

Nicolaas Bloembergen y Robert Pound también observaron los efectos de la amortiguación de la radiación en la resonancia magnética nuclear , quienes informaron de su dominio sobre los mecanismos de relajación espín-espín y espín-red en ciertos casos. ^[35]

La fuerza de Abraham-Lorentz se ha observado en el régimen semiclásico en experimentos que implican la dispersión de un haz relativista de electrones con un láser de alta intensidad. ^{[36] [37]} En los experimentos, un chorro supersónico de gas helio es interceptado por un láser de alta intensidad (10 ¹⁸ –10 ²⁰  W/cm ² ). El láser ioniza el gas helio y acelera los electrones mediante lo que se conoce como efecto "láser-wakefield". A continuación, se propaga un segundo rayo láser de alta intensidad en contra de este rayo de electrones acelerado. En un pequeño número de casos, se produce dispersión Compton inversa entre los fotones y el haz de electrones, y se miden los espectros de los electrones y fotones dispersos. Luego, los espectros de fotones se comparan con espectros calculados a partir de simulaciones de Monte Carlo que utilizan las ecuaciones de movimiento QED o LL clásicas.

Ver también

• fuerza de lorentz
• Radiación ciclotrón
  • Radiación sincrotrón
• masa electromagnética
• Resistencia a la radiación
• Amortiguación de la radiación
• Teoría del absorbente de Wheeler-Feynman
• Fuerza de reacción de radiación magnética.

Referencias

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4. Fritz Rohrlich: La dinámica de una esfera cargada y el electrón, Am. J. Física. 65 (11) pág. 1051 (1997). "La dinámica de las cargas puntuales es un excelente ejemplo de la importancia de obedecer los límites de validez de una teoría física. Cuando se exceden estos límites, las predicciones de la teoría pueden ser incorrectas o incluso manifiestamente absurdas. En el presente caso, las ecuaciones clásicas de El movimiento tiene sus límites de validez donde la mecánica cuántica se vuelve importante: ya no se puede confiar en ellos a distancias del orden de (o inferiores) a la longitud de onda de Compton... Sólo cuando todas las distancias involucradas están en el dominio clásico, la dinámica clásica es aceptable para los electrones".
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Otras lecturas

• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.Ver secciones 11.2.2 y 11.2.3.
• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Donald H. Menzel (1960) Fórmulas fundamentales de la física , Dover Publications Inc., ISBN 0-486-60595-7 , vol. 1, página 345. 
• Stephen Parrott (1987) Electrodinámica relativista y geometría diferencial , § 4.3 Reacción a la radiación y la ecuación de Lorentz-Dirac, páginas 136–45, y § 5.5 Soluciones peculiares de la ecuación de Lorentz-Dirac, páginas 195–204, Springer-Verlag ISBN 0- 387-96435-5 . 

enlaces externos

• MathPages: ¿se irradia una carga que se acelera uniformemente?
• Feynman: El desarrollo de la visión espacio-temporal de la electrodinámica cuántica
• CE. del Río: Radiación de una carga acelerada