Fuerza de reacción a la radiación magnética

Fuerza sobre un electroimán cuando cambia su momento magnético

La fuerza de reacción a la radiación magnética es una fuerza que actúa sobre un electroimán cuando cambia su momento magnético. Se puede derivar una fuerza de reacción a la radiación eléctrica para una partícula cargada en aceleración causada por la emisión de radiación electromagnética por parte de la partícula . Del mismo modo, se puede derivar una fuerza de reacción a la radiación magnética para un momento magnético en aceleración que emite radiación electromagnética .

De manera similar a la fuerza de reacción de la radiación eléctrica , se deben cumplir tres condiciones para derivar la siguiente fórmula para la fuerza de reacción de la radiación magnética. Primero, el movimiento del momento magnético debe ser periódico, una suposición utilizada para derivar la fuerza. Segundo, el momento magnético viaja a velocidades no relativistas (es decir, mucho más lentas que la velocidad de la luz ). Finalmente, esto solo se aplica si esta fuerza es proporcional a la quinta derivada de la posición en función del tiempo (a veces denominada de manera un tanto jocosa como el "Crujido"). A diferencia de la fuerza de Abraham-Lorentz , la fuerza apunta en la dirección opuesta al "Crujido".

Definición y descripción

Matemáticamente, la fuerza de reacción de la radiación magnética se expresa en unidades del SI: donde: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }=-{\frac {\mu _{0}q^{2}R}{24\pi c^{3}}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {a}}}{\mathrm {d} t^{3}}}}$$

• F es la fuerza,
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {a}}}{\mathrm {d} t^{3}}}}$es el Pop (la tercera derivada de la aceleración , o la quinta derivada del desplazamiento ),
• μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre ,
• c es la velocidad de la luz en el espacio libre ^[1]
• q es la carga eléctrica de la partícula.
• R es el radio del momento magnético

Tenga en cuenta que esta fórmula se aplica sólo para velocidades no relativistas.

Físicamente, un momento magnético que cambia con el tiempo emite radiación similar a la fórmula de Larmor de una carga acelerada. Como el momento se conserva, el momento magnético se ve impulsado en la dirección opuesta a la dirección de la radiación emitida. De hecho, la fórmula anterior para la fuerza de radiación se puede derivar de la versión magnética de la fórmula de Larmor, como se muestra a continuación .

Fondo

En la electrodinámica clásica , los problemas normalmente se dividen en dos clases:

1. Problemas en los que se especifican las fuentes de carga y corriente de los campos y se calculan los campos , y
2. La situación inversa, problemas en los que se especifican los campos y se calcula el movimiento de las partículas.

En algunos campos de la física, como la física del plasma y el cálculo de coeficientes de transporte (conductividad, difusividad, etc.), los campos generados por las fuentes y el movimiento de las fuentes se resuelven de forma autoconsistente. Sin embargo, en tales casos, el movimiento de una fuente seleccionada se calcula en respuesta a los campos generados por todas las demás fuentes. En raras ocasiones se calcula el movimiento de una partícula (fuente) debido a los campos generados por esa misma partícula. La razón para esto es doble:

1. El descuido de los " campos propios " suele conducir a respuestas que son lo suficientemente precisas para muchas aplicaciones, y
2. La inclusión de campos propios conduce a problemas en la física, como la renormalización , algunos de los cuales aún no están resueltos y que se relacionan con la naturaleza misma de la materia y la energía.

Estos problemas conceptuales creados por los campos del yo se destacan en un texto de posgrado estándar. [Jackson]

Las dificultades que presenta este problema afectan a uno de los aspectos más fundamentales de la física, la naturaleza de la partícula elemental. Aunque se pueden dar soluciones parciales, viables en áreas limitadas, el problema básico sigue sin resolverse. Se podría esperar que la transición de los tratamientos clásicos a los de la mecánica cuántica eliminaría las dificultades. Si bien todavía hay esperanza de que esto pueda ocurrir eventualmente, las discusiones actuales sobre la mecánica cuántica están plagadas de problemas aún más elaborados que los clásicos. Uno de los triunfos de años comparativamente recientes (aproximadamente 1948-50) es que los conceptos de covariancia de Lorentz e invariancia de calibre se explotaron con suficiente inteligencia para sortear estas dificultades en la electrodinámica cuántica y permitir así el cálculo de efectos radiativos muy pequeños con una precisión extremadamente alta, en total acuerdo con la experimentación. Sin embargo, desde un punto de vista fundamental, las dificultades persisten.

La fuerza de reacción de la radiación magnética es el resultado del cálculo más fundamental del efecto de los campos autogenerados. Surge de la observación de que las partículas no relativistas en aceleración con un momento magnético asociado emiten radiación. La fuerza de Abraham-Lorentz es la fuerza promedio que siente una partícula cargada en aceleración en el retroceso de la emisión de radiación. La introducción de los efectos cuánticos nos lleva a la electrodinámica cuántica . Los campos propios en la electrodinámica cuántica generan un número finito de infinitos en los cálculos que pueden eliminarse mediante el proceso de renormalización . Esto ha llevado a una teoría que es capaz de hacer las predicciones más precisas que los humanos han hecho hasta la fecha. Ver pruebas de precisión de QED . Sin embargo, el proceso de renormalización falla cuando se aplica a la fuerza gravitacional . Los infinitos en ese caso son infinitos en número, lo que provoca el fracaso de la renormalización. Por lo tanto, la relatividad general tiene problemas de campos propios sin resolver. La teoría de cuerdas es un intento actual de resolver estos problemas para todas las fuerzas.

Derivación

Comenzamos con la fórmula de Larmor para la radiación de la segunda derivada de un momento magnético con respecto al tiempo: $${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}{\ddot {m}}^{2}}{6\pi c^{3}}}.}$$

En el caso de que el momento magnético sea producido por una carga eléctrica que se mueve a lo largo de una trayectoria circular, es donde es la posición de la carga con respecto al centro del círculo y es la velocidad instantánea de la carga. $${\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\,q\,\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

La fórmula de Larmor anterior queda como sigue: $${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}{\dot {a}}^{2}}{24\pi c^{3}}}.}$$

Si suponemos que el movimiento de una partícula cargada es periódico, entonces el trabajo promedio realizado sobre la partícula por la fuerza de Abraham-Lorentz es el negativo de la potencia de Larmor integrada en un período de a : ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ $${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}{\dot {a}}^{2}}{24\pi c^{3}}}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}dt.}$$

Observe que podemos integrar la expresión anterior por partes. Si suponemos que hay movimiento periódico, el término de contorno en la integral por partes desaparece: $${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {a} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d^{2}\mathbf {a} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {a} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}\mathbf {\ddot {a}} \cdot \mathbf {a} dt.}$$

Integrando por partes una segunda vez, encontramos $${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {a} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d^{3}\mathbf {v} }{dt^{3}}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d^{3}\mathbf {a} }{dt^{3}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+0-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d^{3}\mathbf {a} }{dt^{3}}}\cdot \mathbf {v} dt.}$$

Claramente podemos identificar $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }=-{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d^{3}\mathbf {a} }{dt^{3}}}.}$$

Señales del futuro

A continuación se muestra una ilustración de cómo un análisis clásico puede llevar a resultados sorprendentes. Se puede ver que la teoría clásica desafía las ideas estándar de causalidad, lo que indica un colapso o la necesidad de una extensión de la teoría. En este caso, la extensión se refiere a la mecánica cuántica y su contraparte relativista, la teoría cuántica de campos . Véase la cita de Rohrlich ^[2] en la introducción sobre "la importancia de obedecer los límites de validez de una teoría física".

Para una partícula en una fuerza externa , tenemos donde ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }}$ $${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} },}$$ $${\displaystyle t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}.}$$

Esta ecuación se puede integrar una vez para obtener $${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'.}$$

La integral se extiende desde el presente hasta un futuro infinitamente lejano. Por lo tanto, los valores futuros de la fuerza afectan la aceleración de la partícula en el presente. Los valores futuros se ponderan por el factor que disminuye rápidamente para tiempos mayores que en el futuro. Por lo tanto, las señales de un intervalo aproximadamente en el futuro afectan la aceleración en el presente. Para un electrón, este tiempo es aproximadamente s, que es el tiempo que tarda una onda de luz en viajar a través del "tamaño" de un electrón. $${\displaystyle \exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)}$$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle 10^{-24}}$

Véase también

• Max Abraham
• Hendrik Lorentz
• Radiación ciclotrónica
• Masa electromagnética
• Resistencia a la radiación
• Amortiguación de la radiación
• Radiación de sincrotrón
• Teoría de absorción de Wheeler-Feynman

Referencias

1. El símbolo c ₀ es utilizado por CIPM y NIST .
2. F. Rohrlich: La dinámica de una esfera cargada y el electrón Am J Phys 65 (11) p. 1051 (1997) ^{[ enlace muerto permanente ]} . "La dinámica de las cargas puntuales es un excelente ejemplo de la importancia de obedecer los límites de validez de una teoría física. Cuando se exceden estos límites, las predicciones de la teoría pueden ser incorrectas o incluso patentemente absurdas. En el presente caso, las ecuaciones clásicas de movimiento tienen sus límites de validez donde la mecánica cuántica se vuelve importante: ya no se puede confiar en ellas a distancias del orden de (o por debajo de) la longitud de onda Compton... Solo cuando todas las distancias involucradas están en el dominio clásico la dinámica clásica es aceptable para los electrones".

Lectura adicional

• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.Véanse las secciones 11.2.2 y 11.2.3.
• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.\
• Jose A. Heras, La fuerza de radiación de un electrón reexaminada , 2003, http://www.joseheras.com/jheras_papers/JAH-PAPER_16.pdf.
• Donald H. Menzel, Fórmulas fundamentales de la física , 1960, Dover Publications Inc., ISBN 0-486-60595-7 , vol. 1, página 345. 

Enlaces externos

• MathPages - ¿Una carga que se acelera uniformemente irradia?
• Feynman: El desarrollo de la visión espacio-temporal de la electrodinámica cuántica
• Heras: La fuerza de reacción de radiación de un electrón reexaminada