Cuatro grupos de Klein

Grupo abeliano matemático

En matemáticas , el cuatrigrupo de Klein es un grupo abeliano con cuatro elementos, en el que cada elemento es autoinverso (componiéndolo consigo mismo produce la identidad) y en el que componer dos cualesquiera de los tres elementos no identidad produce el tercero. Puede describirse como el grupo de simetría de un rectángulo no cuadrado (con los tres elementos no identidad siendo la reflexión horizontal , la reflexión vertical y la rotación de 180 grados ), como el grupo de operaciones exclusivas-o bit a bit sobre valores binarios de dos bits, o de forma más abstracta como , el producto directo de dos copias del grupo cíclico de orden 2 por el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitamente Generados . Fue nombrado Vierergruppe ( en alemán: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ ^ⓘ ), que significa cuatro grupos) porFelix Kleinen 1884.^[1]También se le llamagrupo de Klein, y a menudo se simboliza con la letrao como. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K_{4}}$

El grupo de Klein, con cuatro elementos, es el grupo más pequeño que no es cíclico. Salvo isomorfismo , sólo existe otro grupo de orden cuatro: el grupo cíclico de orden 4. Ambos grupos son abelianos.

Presentaciones

La tabla de Cayley del grupo Klein está dada por:

El grupo de cuatro de Klein también se define por la presentación del grupo

${\displaystyle V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .}$

Todos los elementos no identidad del grupo de Klein tienen orden 2, por lo que dos elementos no identidad pueden servir como generadores en la presentación anterior. El grupo de Klein de cuatro elementos es el grupo no cíclico más pequeño . Sin embargo, es un grupo abeliano e isomorfo al grupo diedro de orden (cardinalidad) 4, simbolizado (o , usando la convención geométrica); aparte del grupo de orden 2, es el único grupo diedro que es abeliano. ${\displaystyle D_{4}}$ ${\displaystyle D_{2}}$

El cuatrigrupo de Klein es también isomorfo a la suma directa , de modo que puede representarse como los pares {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} bajo la adición componente a componente módulo 2 (o equivalentemente las cadenas de bits {00, 01, 10, 11} bajo XOR bit a bit ), con (0,0) siendo el elemento identidad del grupo. El cuatrigrupo de Klein es, por tanto, un ejemplo de un 2-grupo abeliano elemental , que también se denomina grupo booleano . El cuatrigrupo de Klein es, por tanto, también el grupo generado por la diferencia simétrica como operación binaria sobre los subconjuntos de un conjunto potencia de un conjunto con dos elementos, es decir, sobre un cuerpo de conjuntos con cuatro elementos, como ; el conjunto vacío es el elemento identidad del grupo en este caso. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}}$

Otra construcción numérica del grupo de cuatro de Klein es el conjunto { 1, 3, 5, 7 } , siendo la operación la multiplicación módulo 8 . Aquí a es 3, b es 5 y c = ab es 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

El grupo de cuatro de Klein también tiene una representación como matrices reales de 2 × 2 , siendo la operación la multiplicación de matrices:

${\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad }$

${\displaystyle b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

En un cubo de Rubik , el patrón de "4 puntos" se puede realizar de tres maneras, dependiendo del par de caras que se dejan en blanco; estas tres posiciones junto con la posición resuelta forman un ejemplo del grupo de Klein, donde la posición resuelta sirve como identidad.

Geometría

V es el grupo de simetría de esta cruz: si se la gira horizontalmente ( a ), verticalmente ( b ) o ambas ( ab ), no cambia. Si se la gira un cuarto, cambia.

En dos dimensiones, el cuatro-grupo de Klein es el grupo de simetría de un rombo y de rectángulos que no son cuadrados , siendo los cuatro elementos la identidad, la reflexión vertical, la reflexión horizontal y una rotación de 180°.

En tres dimensiones, hay tres grupos de simetría diferentes que son algebraicamente los cuatro grupos de Klein:

• Uno con tres ejes de rotación perpendiculares de 2 pliegues: el grupo diedro. ${\displaystyle D_{2}}$
• uno con un eje de rotación doble y un plano de reflexión perpendicular: ${\displaystyle C_{2\mathrm {h} }=D_{1\mathrm {d} }}$
• uno con un eje de rotación doble en un plano de reflexión (y por lo tanto también en un plano de reflexión perpendicular): . ${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }=D_{1\mathrm {h} }}$

Representación de permutación

La identidad y las dobles transposiciones de cuatro objetos forman V.

Otras permutaciones de cuatro objetos también pueden formar V.

Los tres elementos de orden dos del cuatrigrupo de Klein son intercambiables: el grupo de automorfismos de V es entonces el grupo de permutaciones de estos tres elementos, es decir, el grupo simétrico . ${\displaystyle S_{3}}$

Las permutaciones de los elementos propios del grupo de Klein pueden considerarse de manera abstracta como su representación de permutación en cuatro puntos:

${\displaystyle V={}}${(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

En esta representación, es un subgrupo normal del grupo alternante (y también del grupo simétrico ) en cuatro letras. También es un subgrupo transitivo de que aparece como un grupo de Galois . De hecho, es el núcleo de un homomorfismo de grupo sobreyectivo de a . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

Otras representaciones dentro de S ₄ son:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }

No son subgrupos normales de S ₄ .

Álgebra

Según la teoría de Galois , la existencia del cuatrigrupo de Klein (y en particular, su representación por permutación) explica la existencia de la fórmula para calcular las raíces de ecuaciones de cuarto grado en términos de radicales , establecida por Lodovico Ferrari : la función corresponde a la cúbica resolvente , en términos de los resolventes de Lagrange . ${\displaystyle S_{4}\to S_{3}}$

En la construcción de anillos finitos , ocho de los once anillos con cuatro elementos tienen el grupo cuatro de Klein como subestructura aditiva.

Si denota el grupo multiplicativo de los reales distintos de cero y el grupo multiplicativo de los reales positivos , entonces es el grupo de unidades del anillo , y es un subgrupo de (de hecho, es el componente de la identidad de ). El grupo cociente es isomorfo al cuatrigrupo de Klein. De manera similar, el grupo de unidades del anillo de números complejos divididos , cuando se divide por su componente identidad, también da como resultado el cuatrigrupo de Klein. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times })/(\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+})}$

Teoría de grafos

Entre los grafos conexos simples , el más simple (en el sentido de tener menos entidades) que admite el cuatrigrupo de Klein como su grupo de automorfismo es el grafo de diamante que se muestra a continuación. También es el grupo de automorfismo de algunos otros grafos que son más simples en el sentido de tener menos entidades. Estos incluyen el grafo con cuatro vértices y una arista, que sigue siendo simple pero pierde conectividad, y el grafo con dos vértices conectados entre sí por dos aristas, que sigue siendo conectado pero pierde simplicidad.

Música

En la composición musical , el grupo de cuatro es el grupo básico de permutaciones en la técnica dodecafónica . En ese caso, la tabla de Cayley se escribe ^[2]

Véase también

• Grupo de cuaterniones
• Lista de grupos pequeños

Referencias

1. Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Conferencias sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado )
2. Babbitt, Milton . (1960) "Invariantes de doce tonos como determinantes de composición", Musical Quarterly 46(2):253 Número especial: Problemas de la música moderna: El Seminario de Princeton sobre estudios musicales avanzados (abril): 246–59, Oxford University Press

Lectura adicional

• MA Armstrong (1988) Grupos y simetría , Springer Verlag , página 53.
• WE Barnes (1963) Introducción al álgebra abstracta , DC Heath & Co., página 20.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Vierergruppe". MundoMatemático .