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Rombo

El rombo tiene como caso especial el cuadrado, y es un caso especial de cometa y paralelogramo .

En geometría euclidiana plana , un rombo ( pl.: rombos o rombos ) es un cuadrilátero cuyos cuatro lados tienen la misma longitud. Otro nombre es cuadrilátero equilátero , ya que equilátero significa que todos sus lados tienen la misma longitud. El rombo a menudo se llama " diamante ", por el palo de diamantes en las cartas de juego que se asemeja a la proyección de un diamante octaédrico , o un rombo , aunque el primero a veces se refiere específicamente a un rombo con un ángulo de 60° (al que algunos autores llaman calisson por el francés sweet [1] —ver también Polyiamond ), y el segundo a veces se refiere específicamente a un rombo con un ángulo de 45°.

Todo rombo es simple (no se interseca consigo mismo) y es un caso especial de paralelogramo y cometa . Un rombo con ángulos rectos es un cuadrado . [2]

Etimología

La palabra "rombo" proviene del griego antiguo : ῥόμβος , romanizadorhómbos , que significa algo que gira, [3] que deriva del verbo ῥέμβω , romanizado: rhémbō , que significa "dar vueltas y vueltas". [4] La palabra fue utilizada tanto por Euclides como por Arquímedes , quienes usaron el término "rombo sólido" para un bicono , dos conos circulares rectos que comparten una base común. [5]

La superficie que hoy llamamos rombo es una sección transversal del bicono en un plano que pasa por los vértices de los dos conos.

Caracterizaciones

Una fotografía ICM con una composición en forma de diamante.

Un cuadrilátero simple (no autointersecante ) es un rombo si y solo si es cualquiera de los siguientes: [6] [7]

Propiedades básicas

Todo rombo tiene dos diagonales que unen pares de vértices opuestos y dos pares de lados paralelos. Utilizando triángulos congruentes , se puede demostrar que el rombo es simétrico en cada una de estas diagonales. De ello se deduce que cualquier rombo tiene las siguientes propiedades:

La primera propiedad implica que todo rombo es un paralelogramo . Por lo tanto, un rombo tiene todas las propiedades de un paralelogramo : por ejemplo, los lados opuestos son paralelos; los ángulos adyacentes son suplementarios ; las dos diagonales se bisecan entre sí; cualquier línea que pase por el punto medio biseca el área; y la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales (la ley del paralelogramo ). Por lo tanto, denotando el lado común como a y las diagonales como p y q , en cada rombo

No todo paralelogramo es un rombo, aunque cualquier paralelogramo con diagonales perpendiculares (la segunda propiedad) es un rombo. En general, cualquier cuadrilátero con diagonales perpendiculares, una de las cuales es un eje de simetría, es una cometa . Todo rombo es una cometa, y cualquier cuadrilátero que sea a la vez cometa y paralelogramo es un rombo.

Un rombo es un cuadrilátero tangencial . [10] Es decir, tiene un círculo inscrito que es tangente a sus cuatro lados.

Un rombo. Cada ángulo marcado con un punto negro es un ángulo recto. La altura h es la distancia perpendicular entre dos lados no adyacentes, que es igual al diámetro del círculo inscrito. Las diagonales de longitudes p y q son los segmentos de línea punteados en rojo.

Diagonales

La longitud de las diagonales p = AC y q = BD se puede expresar en términos del lado a del rombo y un ángulo del vértice α como

y

Estas fórmulas son una consecuencia directa de la ley de los cosenos .

Inradio

El radio interno (el radio de un círculo inscrito en el rombo), denotado por r , se puede expresar en términos de las diagonales p y q como [10]

o en términos de la longitud del lado a y cualquier ángulo de vértice α o β como

Área

Como en todos los paralelogramos , el área K de un rombo es el producto de su base por su altura ( h ). La base es simplemente cualquier lado de longitud a :

El área también se puede expresar como la base al cuadrado por el seno de cualquier ángulo:

o en términos de la altura y un ángulo de vértice :

o como la mitad del producto de las diagonales p , q :

o como el semiperímetro por el radio del círculo inscrito en el rombo (inradio):

Otra forma, en común con los paralelogramos, es considerar dos lados adyacentes como vectores, formando un bivector , por lo que el área es la magnitud del bivector (la magnitud del producto vectorial de los dos vectores), que es el determinante de las coordenadas cartesianas de los dos vectores: K = x 1 y 2x 2 y 1 . [11]

Propiedades duales

El polígono dual de un rombo es un rectángulo : [12]

ecuación cartesiana

Los lados de un rombo centrado en el origen, con diagonales cada una cayendo sobre un eje, consisten en todos los puntos ( x, y ) que satisfacen

Los vértices están en y Este es un caso especial de la superelipse , con exponente 1.

Otras propiedades

Como las caras de un poliedro

Los poliedros convexos con rombos incluyen el conjunto infinito de zonohedros rómbicos , que pueden verse como envolventes proyectivas de hipercubos .

Véase también

Referencias

  1. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (31 de diciembre de 2015). Una odisea espacial matemática: geometría sólida en el siglo XXI. American Mathematical Soc. ISBN 9781614442165.
  2. ^ Nota: La definición original de rombo de Euclides y la definición de algunos diccionarios ingleses excluyen los cuadrados, pero los matemáticos modernos prefieren la definición inclusiva. Véase, por ejemplo, De Villiers, Michael (febrero de 1994). "El papel y la función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros". Para el aprendizaje de las matemáticas . 14 (1): 11–18. JSTOR  40248098.
  3. ^ ῥόμβος Archivado el 8 de noviembre de 2013 en Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo
  4. ^ ρέμβω Archivado el 8 de noviembre de 2013 en Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo
  5. ^ "El origen del rombo". Archivado desde el original el 2 de abril de 2015. Consultado el 25 de enero de 2005 .
  6. ^ Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, "La clasificación de cuadriláteros. Un estudio de definición Archivado el 26 de febrero de 2020 en Wayback Machine ", Information Age Publishing, 2008, págs. 55-56.
  7. ^ Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer , Métodos para la geometría euclidiana Archivado el 1 de septiembre de 2019 en Wayback Machine , Asociación Matemática de América, 2010, pág. 53.
  8. Paris Pamfilos (2016), "Una caracterización del rombo", Forum Geometricorum 16 , pp. 331–336, [1] Archivado el 23 de octubre de 2016 en Wayback Machine.
  9. ^ "IMOmath, "26ª Olimpiada Brasileña de Matemáticas 2004"" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2016-10-18 . Consultado el 2020-01-06 .
  10. ^ ab Weisstein, Eric W. "Rombo". MundoMatemático .
  11. ^ Episodio 4 de WildLinAlg Archivado el 5 de febrero de 2017 en Wayback Machine , Norman J Wildberger, Univ. de Nueva Gales del Sur, 2010, conferencia vía youtube
  12. ^ de Villiers, Michael, "Polígonos circunscritos equiláteros y cíclicos equiangulares", Mathematical Gazette 95, marzo de 2011, 102-107.

Enlaces externos