Fase geométrica

Fase de un ciclo

En mecánica clásica y cuántica , fase geométrica es una diferencia de fase adquirida a lo largo de un ciclo , cuando un sistema es sometido a procesos adiabáticos cíclicos , que resulta de las propiedades geométricas del espacio de parámetros del hamiltoniano . ^[1] El fenómeno fue descubierto de forma independiente por S. Pancharatnam (1956), ^[2] en óptica clásica y por H. C. Longuet-Higgins (1958) ^[3] en física molecular; fue generalizado por Michael Berry en (1984). ^[4] También se conoce como fase Pancharatnam-Berry , fase Pancharatnam o fase Berry . Se puede ver en la intersección cónica de superficies de energía potencial ^{[3] [5]} y en el efecto Aharonov-Bohm . La fase geométrica alrededor de la intersección cónica que involucra el estado electrónico fundamental del ion molecular C ₆ H ₃ F ₃ ⁺ se analiza en las páginas 385–386 del libro de texto de Bunker y Jensen. ^[6] En el caso del efecto Aharonov-Bohm, el parámetro adiabático es el campo magnético encerrado por dos caminos de interferencia, y es cíclico en el sentido de que estos dos caminos forman un bucle. En el caso de la intersección cónica, los parámetros adiabáticos son las coordenadas moleculares . Además de en la mecánica cuántica, surge en muchos otros sistemas ondulatorios , como en la óptica clásica . Como regla general, puede ocurrir siempre que haya al menos dos parámetros que caractericen una onda en las proximidades de algún tipo de singularidad o agujero en la topología; Se requieren dos parámetros porque el conjunto de estados no singulares no estará simplemente conectado o habrá una holonomía distinta de cero .

Las ondas se caracterizan por su amplitud y fase , y pueden variar en función de esos parámetros. La fase geométrica ocurre cuando ambos parámetros se cambian simultáneamente pero muy lentamente (adiabáticamente) y finalmente se regresan a la configuración inicial. En la mecánica cuántica, esto podría implicar rotaciones pero también traslaciones de partículas, que aparentemente se deshacen al final. Se podría esperar que las ondas en el sistema regresen al estado inicial, caracterizado por las amplitudes y fases (y teniendo en cuenta el paso del tiempo). Sin embargo, si las excursiones de los parámetros corresponden a un bucle en lugar de una variación de ida y vuelta con autorretroceso, entonces es posible que los estados inicial y final difieran en sus fases. Esta diferencia de fase es la fase geométrica y su aparición generalmente indica que la dependencia de los parámetros del sistema es singular (su estado no está definido) para alguna combinación de parámetros.

Para medir la fase geométrica en un sistema ondulatorio, se requiere un experimento de interferencia . El péndulo de Foucault es un ejemplo de la mecánica clásica que a veces se utiliza para ilustrar la fase geométrica. Este análogo mecánico de la fase geométrica se conoce como ángulo de Hannay .

Fase de baya en mecánica cuántica

En un sistema cuántico en el n -ésimo estado propio , una evolución adiabática del hamiltoniano hace que el sistema permanezca en el n -ésimo estado propio del hamiltoniano, al tiempo que obtiene un factor de fase. La fase obtenida tiene una contribución de la evolución temporal del estado y otra de la variación del autoestado con el cambio hamiltoniano. El segundo término corresponde a la fase Berry, y para variaciones no cíclicas del hamiltoniano se puede hacer que desaparezca mediante una elección diferente de la fase asociada con los estados propios del hamiltoniano en cada punto de la evolución.

Sin embargo, si la variación es cíclica, la fase Berry no se puede cancelar; es invariante y se convierte en una propiedad observable del sistema. Revisando la demostración del teorema adiabático dada por Max Born y Vladimir Fock , en Zeitschrift für Physik 51 , 165 (1928), pudimos caracterizar todo el cambio del proceso adiabático en un término de fase. Bajo la aproximación adiabática, el coeficiente del n -ésimo estado propio bajo el proceso adiabático viene dado por

$${\displaystyle C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},}$$

tt ${\displaystyle \gamma _{n}(t)}$

$${\displaystyle \gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,}$$

curvatura de Berry ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle |n,t\rangle }$ ${\displaystyle \gamma _{n}[C]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Ejemplos de fases geométricas.

Péndulo de Foucault

Uno de los ejemplos más sencillos es el péndulo de Foucault . Wilczek y Shapere dan una explicación sencilla en términos de fases geométricas: ^[7]

¿Cómo precede el péndulo cuando se lo lleva alrededor de una trayectoria general C ? Para el transporte a lo largo del ecuador , el péndulo no precederá. [...] Ahora bien, si C está formado por segmentos geodésicos , la precesión vendrá toda de los ángulos donde se unen los segmentos de las geodésicas; la precesión total es igual al ángulo de déficit neto que a su vez es igual al ángulo sólido encerrado por C módulo 2 π . Finalmente, podemos aproximar cualquier bucle mediante una secuencia de segmentos geodésicos, de modo que el resultado más general (dentro o fuera de la superficie de la esfera) es que la precesión neta es igual al ángulo sólido encerrado.

Para decirlo en otras palabras, no hay fuerzas de inercia que puedan hacer que el péndulo precese, por lo que la precesión (en relación con la dirección del movimiento del camino por el que se transporta el péndulo) se debe enteramente al giro de este camino. Así, la orientación del péndulo sufre un transporte paralelo . Para el péndulo de Foucault original, la trayectoria es un círculo de latitud y, según el teorema de Gauss-Bonnet , el cambio de fase viene dado por el ángulo sólido encerrado. ^[8]

Derivación

Transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle cerrado en la esfera: el ángulo con el que gira, α , es proporcional al área dentro del bucle.

En un sistema casi inercial que se mueve en conjunto con la Tierra, pero que no comparte la rotación de la Tierra alrededor de su propio eje, el punto de suspensión del péndulo traza una trayectoria circular durante un día sidéreo .

En la latitud de París, 48 ​​grados 51 minutos norte, un ciclo de precesión completo dura poco menos de 32 horas, por lo que después de un día sidéreo, cuando la Tierra vuelve a tener la misma orientación que el día sidéreo anterior, el plano de oscilación ha girado apenas más de 270 grados. Si el plano de oscilación era norte-sur al principio, un día sideral después es este-oeste.

Esto también implica que ha habido un intercambio de impulso ; la Tierra y la masa del péndulo han intercambiado impulso. La Tierra es mucho más masiva que la masa del péndulo que el cambio de impulso de la Tierra es imperceptible. No obstante, dado que el plano de oscilación de la masa del péndulo se ha desplazado, las leyes de conservación implican que debe haber ocurrido un intercambio.

En lugar de seguir el cambio de impulso, la precesión del plano de oscilación puede describirse eficientemente como un caso de transporte paralelo . Para ello, se puede demostrar, componiendo las rotaciones infinitesimales, que la tasa de precesión es proporcional a la proyección de la velocidad angular de la Tierra en la dirección normal a la Tierra, lo que implica que la traza del plano de oscilación sufrirá transporte paralelo. . Después de 24 horas, la diferencia entre las orientaciones inicial y final de la traza en el marco de la Tierra es α = −2 π sin φ , que corresponde al valor dado por el teorema de Gauss-Bonnet . α también se llama holonomía o fase geométrica del péndulo. Al analizar los movimientos terrestres, el marco de la Tierra no es un marco inercial , sino que gira alrededor de la vertical local a una velocidad efectiva de 2π sen φ radianes por día. Se puede utilizar un método sencillo que emplea transporte paralelo dentro de conos tangentes a la superficie de la Tierra para describir el ángulo de rotación del plano de oscilación del péndulo de Foucault. ^{[9] [10]}

Desde la perspectiva de un sistema de coordenadas terrestres (el círculo de medición y el espectador están limitados a la Tierra, también si el espectador no percibe la reacción del terreno a la fuerza de Coriolis cuando se mueve), utilizando un sistema de coordenadas rectangular con su eje x apuntando al este. y su eje y apuntando al norte, la precesión del péndulo se debe a la fuerza de Coriolis (otras fuerzas ficticias como la gravedad y la fuerza centrífuga no tienen componente de precesión directa, la fuerza de Euler es baja porque la velocidad de rotación de la Tierra es casi constante). Considere un péndulo plano con frecuencia natural constante ω en la aproximación de ángulo pequeño . Hay dos fuerzas que actúan sobre la masa del péndulo: la fuerza restauradora proporcionada por la gravedad y el alambre, y la fuerza de Coriolis (la fuerza centrífuga, opuesta a la fuerza restauradora gravitacional, puede despreciarse). La fuerza de Coriolis en la latitud φ es horizontal en la aproximación de ángulo pequeño y está dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{c,x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\F_{c,y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi \end{aligned}}}$$

ΩF _{c , x}xF _{c , y}y

La fuerza restauradora, en la aproximación de ángulo pequeño y despreciando la fuerza centrífuga, está dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}}$$

Gráficas de periodo de precesión y precesión por día sidéreo vs latitud. El signo cambia cuando el péndulo de Foucault gira en el sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio sur y en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio norte. El ejemplo muestra que uno en París precede 271° cada día sidéreo, tardando 31,8 horas por rotación.

Usando las leyes del movimiento de Newton, esto conduce al sistema de ecuaciones.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

Cambiando a coordenadas complejas z = x + iy , las ecuaciones se leen

$${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0\,.}$$

Al primer pedido enΩ/ωesta ecuación tiene la solución

$${\displaystyle z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right)\,.}$$

Si el tiempo se mide en días, entonces Ω = 2 π y el péndulo gira un ángulo de −2 π  sen φ durante un día.

Luz polarizada en una fibra óptica.

Un segundo ejemplo es la luz linealmente polarizada que entra en una fibra óptica monomodo . Supongamos que la fibra traza algún camino en el espacio y la luz sale de la fibra en la misma dirección en la que entró. Luego compare las polarizaciones inicial y final. En una aproximación semiclásica la fibra funciona como una guía de ondas , y el momento de la luz es en todo momento tangente a la fibra. Se puede considerar la polarización como una orientación perpendicular al impulso. A medida que la fibra traza su camino, el vector de impulso de la luz traza un camino en la esfera en el espacio de impulso . El camino es cerrado, ya que las direcciones inicial y final de la luz coinciden y la polarización es un vector tangente a la esfera. Ir al espacio de momento equivale a tomar el mapa de Gauss . No hay fuerzas que puedan hacer que la polarización cambie, sólo la restricción de permanecer tangente a la esfera. Así, la polarización sufre transporte paralelo y el cambio de fase viene dado por el ángulo sólido encerrado (multiplicado por el espín, que en el caso de la luz es 1).

Efecto bomba estocástico

Una bomba estocástica es un sistema estocástico clásico que responde con corrientes distintas de cero, en promedio, a cambios periódicos de parámetros. El efecto de bomba estocástica se puede interpretar en términos de una fase geométrica en la evolución de la función generadora de momento de las corrientes estocásticas. ^[11]

Girar .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 2

La fase geométrica se puede evaluar exactamente para una partícula de espín 1 ⁄ 2 en un campo magnético. ^[1]

Fase geométrica definida en atractores.

^{Si bien la formulación de Berry se definió originalmente para sistemas hamiltonianos lineales, Ning y Haken [12]} pronto se dieron cuenta de que se puede definir una fase geométrica similar para sistemas completamente diferentes, como los sistemas disipativos no lineales que poseen ciertos atractores cíclicos. Demostraron que tales atractores cíclicos existen en una clase de sistemas disipativos no lineales con ciertas simetrías. ^[13] Hay varios aspectos importantes de esta generalización de la fase de Berry: 1) En lugar del espacio de parámetros para la fase de Berry original, esta generalización de Ning-Haken se define en el espacio de fases; 2) En lugar de la evolución adiabática en el sistema mecánico cuántico, la evolución del sistema en el espacio de fases no necesita ser adiabática. No hay restricción en la escala temporal de la evolución temporal; 3) En lugar de un sistema hermitiano o un sistema no hermitiano con amortiguación lineal, los sistemas pueden ser generalmente no lineales y no hermitianos.

Exposición en intersecciones de superficies de potencial adiabático molecular.

Hay varias formas de calcular la fase geométrica de las moléculas dentro del marco de Born-Oppenheimer . Una forma es a través de la "matriz de acoplamiento no adiabática " definida por ${\displaystyle M\times M}$

$${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,}$$

bucle de WilsonD ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle R_{\mu }}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R_{\mu }(t),}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)}$

$${\displaystyle D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}}$$

${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e^{i\beta _{j}},}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle j}$

Para los hamiltonianos electrónicos simétricos con inversión de tiempo, la fase geométrica refleja el número de intersecciones cónicas rodeadas por el bucle. Con más precisión,

$${\displaystyle e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},}$$

${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle \psi _{j}}$ ${\displaystyle \Gamma .}$

Una alternativa al enfoque de la matriz D sería un cálculo directo de la fase Pancharatnam. Esto es especialmente útil si uno está interesado únicamente en las fases geométricas de un único estado adiabático. En este enfoque, se toman varios puntos a lo largo del bucle y luego , usando solo los j -ésimos estados adiabáticos, se calcula el producto de superposiciones de Pancharatnam: ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle (n=0,\dots ,N)}$ ${\displaystyle R(t_{n})}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle t_{N}=1,}$ ${\displaystyle \psi _{j}[R(t_{n})]}$

$${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .}$$

En el límite que uno tiene (ver Ryb & Baer 2004 para una explicación y algunas aplicaciones) ${\displaystyle N\to \infty }$

$${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.}$$

Fase geométrica y cuantificación del movimiento del ciclotrón.

Un electrón sometido a un campo magnético se mueve en una órbita circular (ciclotrón). ^[2] Clásicamente, cualquier radio de ciclotrón es aceptable. Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, solo se permiten niveles de energía discretos ( niveles de Landau ) y, dado que está relacionado con la energía del electrón, esto corresponde a valores cuantificados de . La condición de cuantificación de energía obtenida al resolver la ecuación de Schrödinger es, por ejemplo, para electrones libres (en el vacío) o para electrones en grafeno , donde . ^[3] Aunque la derivación de estos resultados no es difícil, existe una forma alternativa de derivarlos, que ofrece en cierto sentido una mejor comprensión física de la cuantificación del nivel de Landau. Esta forma alternativa se basa en la condición de cuantificación semiclásica de Bohr-Sommerfeld. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

$${\displaystyle \hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),}$$

^[14] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =0,}$ ${\displaystyle \gamma =\pi }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Ver también

• Tensor de curvatura de Riemann : para la conexión con las matemáticas
• Conexión y curvatura de bayas.
• clase negra
• Rotación óptica
• Número de bobinado

Notas

^ Para simplificar, consideramos electrones confinados a un plano, como 2DEG y un campo magnético perpendicular al plano.

^ es la frecuencia del ciclotrón (para electrones libres) yes la velocidad de Fermi (de los electrones en el grafeno). ${\displaystyle \omega _{c}=eB/m}$ ${\displaystyle v}$

Notas a pie de página

1. Solem, JC; Biedenharn, LC (1993). "Comprensión de las fases geométricas en la mecánica cuántica: un ejemplo elemental". Fundamentos de la Física . 23 (2): 185-195. Código bibliográfico : 1993FoPh...23..185S. doi :10.1007/BF01883623. S2CID  121930907.
2. S. Pancharatnam (1956). "Teoría generalizada de la interferencia y sus aplicaciones. Parte I. Lápices coherentes". Proc. Académico indio. Ciencia. A . 44 (5): 247–262. doi :10.1007/BF03046050. S2CID  118184376.
3. HC Longuet Higgins; U. Öpik; MHL Pryce; Saco RA (1958). "Estudios del efecto Jahn-Teller .II. El problema dinámico". Proc. R. Soc. A . 244 (1236): 1–16. Código Bib : 1958RSPSA.244....1L. doi :10.1098/rspa.1958.0022. S2CID  97141844.Ver página 12
4. MV Berry (1984). "Factores de fase cuántica que acompañan a los cambios adiabáticos". Actas de la Royal Society A. 392 (1802): 45–57. Código Bib : 1984RSPSA.392...45B. doi :10.1098/rspa.1984.0023. S2CID  46623507.
5. G. Herzberg; HC Longuet-Higgins (1963). "Intersección de superficies de energía potencial en moléculas poliatómicas". Conversar. Sociedad Faraday . 35 : 77–82. doi :10.1039/DF9633500077.
6. Simetría molecular y espectroscopia , 2ª ed. Philip R. Bunker y Per Jensen, NRC Research Press, Ottawa (1998) [1] ISBN 9780660196282 
7. Wilczek, F.; Shapere, A., eds. (1989). Fases Geométricas en Física . Singapur: World Scientific. pag. 4.
8. Jens von Bergmann; HsingChi von Bergmann (2007). "Péndulo de Foucault a través de la geometría básica". Soy. J. Física . 75 (10): 888–892. Código Bib : 2007AmJPh..75..888V. doi : 10.1119/1.2757623.
9. Somerville, WB (1972). "La descripción del péndulo de Foucault". Revista trimestral de la Royal Astronomical Society . 13 : 40. Código bibliográfico : 1972QJRAS..13...40S.
10. Hart, John B.; Miller, Raymond E.; Molinos, Robert L. (1987). "Un modelo geométrico simple para visualizar el movimiento de un péndulo de Foucault". Revista Estadounidense de Física . 55 (1): 67–70. Código Bib : 1987AmJPh..55...67H. doi :10.1119/1.14972.
11. NA Sinitsyn; I. Nemenman (2007). "La fase Berry y el flujo de bomba en cinética química estocástica". Cartas de Eurofísica . 77 (5): 58001. arXiv : q-bio/0612018 . Código Bib : 2007EL..... 7758001S. doi :10.1209/0295-5075/77/58001. S2CID  11520748.
12. CZ Ning, H. Haken (1992). "Acumulaciones geométricas de fase y amplitud en sistemas disipativos con atractores cíclicos". Física. Rev. Lett . 68 (14): 2109–2122. Código bibliográfico : 1992PhRvL..68.2109N. doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2109. PMID  10045311.
13. CZ Ning, H. Haken (1992). "La fase geométrica en sistemas disipativos no lineales". Modificación. Física. Letón. B . 6 (25): 1541-1568. Código Bib : 1992MPLB....6.1541N. doi :10.1142/S0217984992001265.
14. Para ver un tutorial, consulte Jiamin Xue: "La fase de baya y el efecto Hall cuántico no convencional en el grafeno" (2013).

Fuentes

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• Richard Montgomery (8 de agosto de 2006). Un recorrido por las geometrías subriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones. Sociedad Matemática Estadounidense. págs.11–. ISBN 978-0-8218-4165-5. (Ver el capítulo 13 para un tratamiento matemático)
• Aquí se analizan las conexiones con otros fenómenos físicos (como el efecto Jahn-Teller ): Fase geométrica de Berry: una revisión
• Artículo del Prof. Gálvez de la Universidad de Colgate, que describe la fase geométrica en óptica: aplicaciones de la fase geométrica en óptica Archivado el 24 de agosto de 2007 en Wayback Machine.
• Surya Ganguli, haces de fibras y teorías de calibre en física clásica: una descripción unificada de los gatos que caen, los monopolos magnéticos y la fase de Berry
• Robert Batterman, gatos que caen, estacionamiento en paralelo y luz polarizada
• Baer, ​​M. (1975). "Representaciones adiabáticas y diabáticas de colisiones átomo-molécula: tratamiento de la disposición colineal". Letras de Física Química . 35 (1): 112-118. Código Bib : 1975CPL....35..112B. doi :10.1016/0009-2614(75)85599-0.
• M. Baer, ​​Transiciones electrónicas no adiabáticas: derivación de la matriz de transformación adiabática-diabática general, Mol. Física. 40, 1011 (1980);
• M. Baer, ​​Existencia de potenciales diabéticos y cuantificación de la matriz no adiabática, J. Phys. Química. A 104, 3181–3184 (2000).
• Ryb, yo; Baer, ​​R (2004). "Invariantes y covariantes combinatorias como herramientas para intersecciones cónicas". La Revista de Física Química . 121 (21): 10370–5. Código Bib :2004JChPh.12110370R. doi :10.1063/1.1808695. PMID  15549915.
• Wilczek, Frank ; Shapere, A. (1989). Fases geométricas en física. Científico mundial. ISBN 978-9971-5-0621-6.
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• Michael Baer (2006). Más allá del nacimiento de Oppenheimer. Wiley. ISBN 978-0-471-77891-2.
• CZ Ning, H. Haken (1992). "Acumulaciones de amplitud y fase geométrica en sistemas disipativos con atractores cíclicos". Física. Rev. Lett . 68 (14): 2109–2122. Código bibliográfico : 1992PhRvL..68.2109N. doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2109. PMID  10045311.
• CZ Ning, H. Haken (1992). "La fase geométrica en sistemas disipativos no lineales". Modificación. Física. Letón. B . 6 (25): 1541-1568. Código Bib : 1992MPLB....6.1541N. doi :10.1142/S0217984992001265.

Otras lecturas

• Michael V. Berry, La fase geométrica, Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.

enlaces externos

• Citas relacionadas con la fase geométrica en Wikiquote
• "Fases geométricas y la separación del mundo por Michael Berry". YouTube . Centro Internacional de Ciencias Teóricas. 10 de febrero de 2020.