Conexión y curvatura de bayas.

Concepto en física

En física, la conexión de Berry y la curvatura de Berry son conceptos relacionados que pueden verse, respectivamente, como un potencial de calibre local y un campo de calibre asociado con la fase de Berry o la fase geométrica. El concepto fue introducido por primera vez por S. Pancharatnam ^[1] como fase geométrica y luego explicado y popularizado detalladamente por Michael Berry en un artículo publicado en 1984 ^[2] enfatizando cómo las fases geométricas proporcionan un poderoso concepto unificador en varias ramas de la física clásica y cuántica. .

Fase de baya y evolución adiabática cíclica.

En mecánica cuántica, la fase Berry surge en una evolución adiabática cíclica . El teorema adiabático cuántico se aplica a un sistema cuyo hamiltoniano depende de un parámetro (vectorial) que varía con el tiempo . Si el 'ésimo valor propio permanece no degenerado en todas partes a lo largo del camino y la variación con el tiempo t es suficientemente lenta, entonces un sistema inicialmente en el estado propio normalizado permanecerá en un estado propio instantáneo del hamiltoniano , hasta una fase, durante todo el proceso. En cuanto a la fase, el estado en el tiempo t se puede escribir como ^[3] ${\displaystyle H(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle |n(\mathbf {R} (0))\rangle }$ ${\displaystyle |n(\mathbf {R} (t))\rangle }$ ${\displaystyle H(\mathbf {R} (t))}$

$${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \over \hbar }\int _{0}^{t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,}$$

ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle }$

$${\displaystyle \gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{d \over dt'}|n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,}$$

En el caso de una evolución cíclica alrededor de un camino cerrado tal que , la fase Berry de camino cerrado es ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)}$

$${\displaystyle \gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle .}$$

Fase de Berry

Transformación de calibre

Se puede realizar una transformación de calibre.

$${\displaystyle |{\tilde {n}}(\mathbf {R} )\rangle =e^{-i\beta (\mathbf {R} )}|n(\mathbf {R} )\rangle }$$

${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{n}(t)=\gamma _{n}(t)+\beta (t)-\beta (0)}$ ${\displaystyle \beta (T)-\beta (0)=2\pi m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Conexión de bayas

La fase Berry de camino cerrado definida anteriormente se puede expresar como

$${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \cdot {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )=i\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle }$$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}_{n}(\mathbf {R} )={\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )+\nabla _{\mathbf {R} \,}\beta (\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{i\gamma _{n}}}$

Curvatura de la baya

La curvatura de Berry es un tensor antisimétrico de segundo rango derivado de la conexión de Berry a través de

$${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )={\partial \over \partial R^{\mu }}{\mathcal {A}}_{n,\nu }(\mathbf {R} )-{\partial \over \partial R^{\nu }}{\mathcal {A}}_{n,\mu }(\mathbf {R} ).}$$

pseudovectorial .

$${\displaystyle \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} )=\nabla _{\mathbf {R} }\times {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} ).}$$

de Levi-Civita^{[4] [5]} ${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }=\epsilon _{\mu \nu \xi }\,\mathbf {\Omega } _{n,\xi }}$

Para un camino cerrado que forma el límite de una superficie , la fase de Berry de camino cerrado se puede reescribir usando el teorema de Stokes como ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

$${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} ).}$$

teorema de Chernnúmero de Chern ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Finalmente, al usar for , la curvatura de Berry también se puede escribir como una suma de todos los demás estados propios en la forma ${\displaystyle \left\langle n|\partial H/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle =\left\langle \partial n/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle (\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})}$ ${\displaystyle n\neq n'}$

$${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=i\sum _{n'\neq n}{\frac {1}{(\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})^{2}}}{\left(\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n\right\rangle -\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n\right\rangle \right)}.}$$

^[5] ${\displaystyle \sum _{n}\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {R} .}$

Ejemplo: Spinor en un campo magnético.

El hamiltoniano de una partícula de espín 1/2 en un campo magnético se puede escribir como ^[3]

$${\displaystyle H=\mu \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {B} ,}$$

matrices de Paulimomento magnéticoB ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pm \mu B}$

$${\displaystyle |u_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}\sin {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\-\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix}},|u_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\\sin {\theta \over 2}\end{pmatrix}}.}$$

${\displaystyle |u_{-}\rangle }$ ${\textstyle {\mathcal {A}}_{\theta }=\langle u_{-}|i{\frac {1}{r}}\partial _{\theta }|u_{-}\rangle =0,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=\langle u_{-}|i{\tfrac {1}{r\sin {\theta }}}\partial _{\phi }|u_{-}\rangle ={\frac {\sin ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}}$ ${\displaystyle \ \Omega _{r}={\frac {1}{r\sin {\theta }}}[\partial _{\theta }({\mathcal {A}}_{\phi }\sin {\theta })-\partial _{\phi }{\mathcal {A}}_{\theta }]{\hat {r}}={\frac {1}{2r^{2}}}{\hat {r}}.}$ ${\displaystyle |u_{-}\rangle }$ ${\displaystyle e^{i\phi }}$ ${\displaystyle e^{i\alpha \phi }}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=-{\frac {\cos ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}}$

La curvatura de Berry por ángulo sólido viene dada por . En este caso, la fase de Berry correspondiente a cualquier trayectoria dada en la esfera unitaria en el espacio del campo magnético es solo la mitad del ángulo sólido subtendido por la trayectoria. Por tanto, la integral de la curvatura de Berry en toda la esfera es exactamente , de modo que el número de Chern es la unidad, consistente con el teorema de Chern. ${\displaystyle {\overline {\Omega }}_{\theta \phi }=\Omega _{\theta \phi }/\sin \theta =1/2}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Aplicaciones en cristales

La fase Berry juega un papel importante en las investigaciones modernas sobre las propiedades electrónicas de los sólidos cristalinos ^[5] y en la teoría del efecto Hall cuántico . ^[6] La periodicidad del potencial cristalino permite la aplicación del teorema de Bloch , que establece que los estados propios hamiltonianos toman la forma

$${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$$

espacio recíprocozona de Brillouin^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {m}{\hbar }}\partial H/\partial k_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {k} )=i\langle u_{n\mathbf {k} }|\nabla _{\mathbf {k} }|u_{n\mathbf {k} }\rangle .}$$

polarización eléctricala magnetizaciónla conductividad Hall anómala^{[5] [7] [8]} ${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} .}$

Referencias

1. Pancharatnam, S. (noviembre de 1956). "Teoría generalizada de la interferencia y su aplicación". Proc. Académico indio. Ciencia . 44 (5): 247–262. doi :10.1007/BF03046050. S2CID  118184376.
2. Baya, MV (1984). "Factores de fase cuántica que acompañan a los cambios adiabáticos". Actas de la Royal Society A. 392 (1802): 45–57. Código Bib : 1984RSPSA.392...45B. doi :10.1098/rspa.1984.0023. S2CID  46623507.
3. Sakurai, JJ (2005). Mecánica cuántica moderna. vol. Edición revisada. Addison-Wesley.^{[ enlace muerto permanente ]}
4. Resta, Raffaele (2000). "Manifestaciones de la fase de Berry en moléculas y en materia condensada". J. Phys.: Condens. Asunto . 12 (9): R107–R143. Código Bib : 2000JPCM...12R.107R. doi :10.1088/0953-8984/9/12/201. S2CID  55261008.
5. Xiao, Di; Chang, Ming-Che; Niu, Qian (julio de 2010). "Efectos de la fase de baya sobre las propiedades electrónicas". Mod. Rev. Física . 82 (3): 1959-2007. arXiv : 0907.2021 . Código Bib : 2010RvMP...82.1959X. doi :10.1103/RevModPhys.82.1959. S2CID  17595734.
6. Sin embargo, DJ; Kohmoto, M.; Ruiseñor, diputado; den Nijs, M. (agosto de 1982). "Conductancia Hall cuantificada en un potencial periódico bidimensional". Física. Rev. Lett . 49 (6). Sociedad Estadounidense de Física: 405–408. Código bibliográfico : 1982PhRvL..49..405T. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.405 .
7. Chang, Ming-Che; Niu, Qian (2008). "Curvatura de la baya, momento orbital y teoría cuántica efectiva de electrones en campos electromagnéticos". Revista de Física: Materia Condensada . 20 (19): 193202. Código bibliográfico : 2008JPCM...20s3202C. doi :10.1088/0953-8984/20/19/193202. S2CID  35936765.
8. Resta, Raffaele (2010). "Polarización eléctrica y magnetización orbital: las teorías modernas". J. Phys.: Condens. Asunto . 22 (12): 123201. Código bibliográfico : 2010JPCM...22l3201R. doi :10.1088/0953-8984/22/12/123201. PMID  21389484. S2CID  18645988.

enlaces externos

• La fase cuántica, cinco años después. por M. Berry.
• Fases de Berry y curvaturas en la teoría de la estructura electrónica Una charla de D. Vanderbilt.
• Berryología, efectos magnetoeléctricos orbitales y aisladores topológicos : una charla de D. Vanderbilt.