Fórmula de trazas de Selberg

Teorema matemático

En matemáticas , la fórmula de la traza de Selberg , introducida por Selberg (1956), es una expresión para el carácter de la representación unitaria de un grupo de Lie G en el espacio L ² (Γ\ G ) de funciones integrables al cuadrado , donde Γ es un grupo discreto cofinito . El carácter viene dado por la traza de ciertas funciones en G .

El caso más simple es cuando Γ es cocompacto , cuando la representación se descompone en sumandos discretos. Aquí la fórmula de la traza es una extensión de la fórmula de Frobenius para el carácter de una representación inducida de grupos finitos. Cuando Γ es el subgrupo cocompacto Z de los números reales G = R , la fórmula de la traza de Selberg es esencialmente la fórmula de suma de Poisson .

El caso en el que Γ\ G no es compacto es más difícil, porque existe un espectro continuo , descrito mediante series de Eisenstein . Selberg calculó el caso no compacto en el que G es el grupo SL(2, R ) ; la extensión a grupos de rango superior es la fórmula de trazas de Arthur-Selberg .

Cuando Γ es el grupo fundamental de una superficie de Riemann , la fórmula de la traza de Selberg describe el espectro de operadores diferenciales como el laplaciano en términos de datos geométricos que involucran las longitudes de las geodésicas en la superficie de Riemann. En este caso, la fórmula de la traza de Selberg es formalmente similar a las fórmulas explícitas que relacionan los ceros de la función zeta de Riemann con números primos, donde los ceros zeta corresponden a los valores propios del laplaciano y los primos corresponden a las geodésicas. Motivado por la analogía, Selberg introdujo la función zeta de Selberg de una superficie de Riemann, cuyas propiedades analíticas están codificadas por la fórmula de la traza de Selberg.

Historia temprana

Entre los casos de particular interés se encuentran aquellos en los que el espacio es una superficie compacta de Riemann S . La publicación inicial de Atle Selberg en 1956 se ocupó de este caso, de su operador diferencial laplaciano y de sus potencias. Las trazas de las potencias de un laplaciano pueden utilizarse para definir la función zeta de Selberg . El interés de este caso fue la analogía entre la fórmula obtenida y las fórmulas explícitas de la teoría de números primos . Aquí las geodésicas cerradas sobre S desempeñan el papel de los números primos.

Al mismo tiempo, el interés por las trazas de los operadores de Hecke se vinculó a la fórmula de traza de Eichler-Selberg , de Selberg y Martin Eichler , para un operador de Hecke que actúa sobre un espacio vectorial de formas cúspide de un peso dado, para un subgrupo de congruencia dado del grupo modular . Aquí la traza del operador identidad es la dimensión del espacio vectorial, es decir, la dimensión del espacio de formas modulares de un tipo dado: una cantidad tradicionalmente calculada mediante el teorema de Riemann-Roch .

Aplicaciones

La fórmula de la traza tiene aplicaciones en la geometría aritmética y la teoría de números . Por ejemplo, utilizando el teorema de la traza, Eichler y Shimura calcularon las funciones L de Hasse-Weil asociadas a las curvas modulares ; los métodos de Goro Shimura pasaron por alto el análisis involucrado en la fórmula de la traza. El desarrollo de la cohomología parabólica (a partir de la cohomología de Eichler ) proporcionó un entorno puramente algebraico basado en la cohomología de grupos , teniendo en cuenta las cúspides características de las superficies de Riemann no compactas y las curvas modulares.

La fórmula de la traza también tiene aplicaciones puramente geométricas diferenciales . Por ejemplo, por un resultado de Buser, el espectro de longitud de una superficie de Riemann es un invariante isoespectral, esencialmente por la fórmula de la traza.

Fórmula de trazas de Selberg para superficies hiperbólicas compactas

Una superficie hiperbólica compacta X puede escribirse como el espacio de órbitas donde Γ es un subgrupo de PSL(2, R ) , y H es el semiplano superior , y Γ actúa sobre H mediante transformaciones fraccionarias lineales . $${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbf {H} ,}$$

La fórmula de la traza de Selberg para este caso es más fácil que el caso general porque la superficie es compacta, por lo que no hay espectro continuo y el grupo Γ no tiene elementos parabólicos o elípticos (aparte de la identidad).

Entonces el espectro para el operador de Laplace–Beltrami en X es discreto y real, ya que el operador de Laplace es autoadjunto con resolvente compacto ; es decir , donde los valores propios μ _n corresponden a funciones propias Γ -invariantes u en C ^∞ ( H ) del Laplaciano; en otras palabras $${\displaystyle 0=\mu _{0}<\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \cdots }$$ $${\displaystyle {\begin{cases}u(\gamma z)=u(z),\qquad \forall \gamma \in \Gamma \\y^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)+\mu _{n}u=0.\end{cases}}}$$

Utilizando la sustitución de variables se etiquetan los valores propios. $${\displaystyle \mu =s(1-s),\qquad s={\tfrac {1}{2}}+ir}$$ $${\displaystyle r_{n},n\geq 0.}$$

Entonces la fórmula de traza de Selberg viene dada por $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (X)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\tanh(\pi r)\,dr+\sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{\frac {1}{2}}-N(T)^{-{\frac {1}{2}}}}}g(\log N(T)).}$$

El lado derecho es una suma sobre las clases de conjugación del grupo Γ , donde el primer término corresponde al elemento identidad y los términos restantes forman una suma sobre las otras clases de conjugación { T  } (que son todas hiperbólicas en este caso). La función h debe satisfacer lo siguiente:

• ser analítico en |Im( r )| ≤ ⁠1/2⁠ + δ ;
• h (−r ) = h ( r ) ;
• Existen constantes positivas δ y M tales que: $${\displaystyle \vert h(r)\vert \leq M\left(1+\left|\operatorname {Re} (r)\right|\right)^{-2-\delta }.}$$

La función g es la transformada de Fourier de h , es decir, $${\displaystyle h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)e^{iru}\,du.}$$

Fórmula general de trazas de Selberg para cocientes cocompactos

Declaración general

Sea G un grupo localmente compacto unimodular, un subgrupo cocompacto discreto de G y una función continua con soporte compacto en G. La fórmula de traza en este contexto es la siguiente igualdad: donde es el conjunto de clases de conjugación en , es el dual unitario de G y: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx=\sum _{\pi \in {\widehat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )}$$ ${\displaystyle \{\Gamma \}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

• para un elemento , con los centralizadores de en respectivamente; ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\gamma )={\text{volume}}(\Gamma ^{\gamma }\setminus G^{\gamma }).}$ ${\displaystyle G_{\gamma },\Gamma _{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle G,\Gamma }$
• para una representación unitaria irreducible de , es la multiplicidad de en la representación derecha de en ), y es el operador ; ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle \pi (\phi )}$ ${\displaystyle \int _{G}\phi (g)\pi (g)dg}$
• Todas las integrales y volúmenes se toman con respecto a la medida de Haar o sus cocientes. ${\displaystyle G}$

El lado izquierdo de la fórmula se denomina lado geométrico y el lado derecho, lado espectral . Los términos son integrales orbitales . ${\displaystyle \int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx}$

Prueba

Defina el siguiente operador en funciones con soporte compacto en : Se extiende continuamente a y para tenemos: después de un cambio de variables. Suponiendo que es compacto, el operador es de clase de traza y la fórmula de traza es el resultado de calcular su traza de dos maneras como se explica a continuación. ^[1] ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ $${\displaystyle R(\phi )=\int _{G}\phi (x)R(x)\,dx,}$$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\Gamma \setminus G)}$ $${\displaystyle (R(\phi )f)(x)=\int _{G}\phi (y)f(xy)\,dy=\int _{\Gamma \setminus G}\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)\right)f(y)\,dy}$$ ${\displaystyle \Gamma \setminus G}$ ${\displaystyle R(\phi )}$

La traza de se puede expresar como la integral del núcleo a lo largo de la diagonal, es decir: Sea una colección de representantes de clases de conjugación en , y y los respectivos centralizadores de . Entonces la integral anterior se puede escribir, después de la manipulación, Esto da el lado geométrico de la fórmula de la traza. ${\displaystyle R(\phi )}$ ${\displaystyle K(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\int _{\Gamma \setminus G}\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.}$$ ${\displaystyle \{\Gamma \}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{\gamma }}$ ${\displaystyle G^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.}$$

El lado espectral de la fórmula de la traza proviene del cálculo de la traza de utilizando la descomposición de la representación regular de en sus componentes irreducibles. Por lo tanto, donde es el conjunto de representaciones unitarias irreducibles de (recuerde que el entero positivo es la multiplicidad de en la representación unitaria en ). ${\displaystyle R(\phi )}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\pi \in {\hat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )}$$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}$

El caso de grupos de Lie semisimples y espacios simétricos

Cuando es un grupo de Lie semisimple con un subgrupo compacto maximalista y es el espacio simétrico asociado , las clases de conjugación en pueden describirse en términos geométricos utilizando la variedad compacta de Riemann (más generalmente, orbifold) . Las integrales orbitales y las trazas en sumandos irreducibles pueden calcularse más a fondo y, en particular, se puede recuperar el caso de la fórmula de trazas para superficies hiperbólicas de esta manera. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X=G/K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$

Trabajo posterior

La teoría general de las series de Eisenstein estuvo motivada en gran medida por el requisito de separar el espectro continuo , que es característico del caso no compacto. ^[2]

La fórmula de traza se da a menudo para grupos algebraicos sobre los adelos en lugar de para grupos de Lie, porque esto convierte al subgrupo discreto correspondiente Γ en un grupo algebraico sobre un cuerpo con el que es técnicamente más fácil trabajar. El caso de SL ₂ ( C ) se analiza en Gel'fand, Graev y Pyatetskii-Shapiro (1990) y Elstrodt, Grunewald y Mennicke (1998). Gel'fand et al también tratan SL ₂ ( F ) donde F es un cuerpo topológico localmente compacto con norma ultramétrica , por lo que una extensión finita de los números p-ádicos Q _p o de la serie formal de Laurent F _q (( T )); también manejan el caso adélico en característica 0, combinando todas las completaciones R y Q _p de los números racionales Q .

Los sucesores contemporáneos de la teoría son la fórmula de traza de Arthur-Selberg aplicada al caso de G semisimple general , y los numerosos estudios de la fórmula de traza en la filosofía de Langlands (que aborda cuestiones técnicas como la endoscopia ). La fórmula de traza de Selberg se puede derivar de la fórmula de traza de Arthur-Selberg con algo de esfuerzo.

Véase también

• Correspondencia entre Jacquet y Langlands

Notas

1. Esta presentación es de Arthur (1989). "La fórmula de trazas y los operadores de Hecke". Teoría de números, fórmulas de trazas y grupos discretos . Academic Press.
2. Lax y Phillips 1980

Referencias

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Enlaces externos

• Página de recursos de la fórmula de trazas de Selberg