Duración (finanzas)

Plazo ponderado de flujos de efectivo futuros

En finanzas , la duración de un activo financiero que consta de flujos de efectivo fijos , como un bono , es el promedio ponderado de los tiempos hasta que se reciben esos flujos de efectivo fijos. Cuando el precio de un activo se considera como una función del rendimiento , la duración también mide la sensibilidad del precio al rendimiento, la tasa de cambio del precio con respecto al rendimiento o el cambio porcentual en el precio para un cambio paralelo en los rendimientos. ^{[1] [2] [3]}

El uso dual de la palabra “duración”, tanto como tiempo promedio ponderado hasta el reembolso como como cambio porcentual en el precio, a menudo causa confusión. Estrictamente hablando, la duración de Macaulay es el nombre que se le da al tiempo promedio ponderado hasta que se reciben los flujos de efectivo y se mide en años. La duración modificada es el nombre que se le da a la sensibilidad al precio. Es (-1) veces la tasa de cambio en el precio de un bono en función del cambio en su rendimiento. ^[4]

Ambas medidas se denominan "duración" y tienen el mismo valor numérico (o casi el mismo), pero es importante tener en cuenta las distinciones conceptuales entre ellas. ^[5] La duración de Macaulay es una medida de tiempo con unidades en años y realmente solo tiene sentido para un instrumento con flujos de efectivo fijos. Para un bono estándar, la duración de Macaulay estará entre 0 y el vencimiento del bono. Es igual al vencimiento si y solo si el bono es un bono cupón cero .

La duración modificada, por otro lado, es una derivada matemática (tasa de cambio) del precio y mide la tasa porcentual de cambio del precio con respecto al rendimiento. (La sensibilidad del precio con respecto a los rendimientos también se puede medir en términos absolutos ( dólar o euro , etc.), y la sensibilidad absoluta a menudo se conoce como duración del dólar (euro), DV01, BPV o riesgo delta (δ o Δ)). El concepto de duración modificada se puede aplicar a instrumentos sensibles a las tasas de interés con flujos de efectivo no fijos y, por lo tanto, se puede aplicar a una gama más amplia de instrumentos que la duración de Macaulay. La duración modificada se utiliza con más frecuencia que la duración de Macaulay en las finanzas modernas. ^[6]

Para el uso cotidiano, la igualdad (o casi igualdad) de los valores de Macaulay y la duración modificada puede ser una ayuda útil para la intuición. ^[7] Por ejemplo, un bono cupón estándar a diez años tendrá una duración Macaulay de algo, pero no dramáticamente, menor a 10 años y de esto, podemos inferir que la duración modificada (sensibilidad al precio) también será algo, pero no dramáticamente menor a 10%. De manera similar, un bono cupón a dos años tendrá una duración Macaulay de algo menos de 2 años y una duración modificada de algo menos de 2%. ^[7]

Duración de Macaulay

La duración de Macaulay , llamada así por Frederick Macaulay , quien introdujo el concepto, es el vencimiento promedio ponderado de los flujos de efectivo , en el que el momento de recepción de cada pago se pondera por el valor actual de ese pago. El denominador es la suma de los pesos, que es precisamente el precio del bono. ^[8] Consideremos un conjunto de flujos de efectivo fijos. El valor actual de estos flujos de efectivo es:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}}$

La duración de Macaulay se define como: ^{[1] [2] [3] [9]}

(1)      ${\displaystyle {\text{Macaulay duration}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}}$

dónde:

• ${\displaystyle i}$indexa los flujos de caja,
• ${\displaystyle PV_{i}}$es el valor actual del pago en efectivo de un activo , ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo en años hasta que se recibirá el pago, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$es el valor actual de todos los pagos futuros en efectivo del activo.

En la segunda expresión, el término fraccionario es la relación entre el flujo de efectivo y el valor presente total. Estos términos suman 1,0 y sirven como ponderaciones para un promedio ponderado. Por lo tanto, la expresión general es un promedio ponderado del tiempo hasta los pagos de flujo de efectivo, donde la ponderación es la proporción del valor presente del activo debido al flujo de efectivo . ${\displaystyle PV_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {PV_{i}}{V}}}$ ${\displaystyle i}$

Para un conjunto de flujos de efectivo fijos totalmente positivos, el promedio ponderado estará entre 0 (el tiempo mínimo), o más precisamente (el tiempo hasta el primer pago) y el tiempo del flujo de efectivo final. La duración de Macaulay será igual al vencimiento final si y solo si hay un solo pago al vencimiento. En símbolos, si los flujos de efectivo son, en orden, , entonces: ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle (t_{1},...,t_{n})}$

${\displaystyle t_{1}\leq {\text{Macaulay duration}}\leq t_{n},}$

con desigualdades estrictas a menos que tenga un flujo de efectivo único. En términos de bonos estándar (para los cuales los flujos de efectivo son fijos y positivos), esto significa que la duración de Macaulay será igual al vencimiento del bono solo para un bono cupón cero.

La duración de Macaulay tiene la interpretación diagramática que se muestra en la figura 1.

Fig. 1: Duración de Macaulay

Esto representa el bono analizado en el ejemplo siguiente: vencimiento a dos años con un cupón del 20 % y un rendimiento compuesto continuo del 3,9605 %. Los círculos representan el valor actual de los pagos, donde los pagos de cupones se hacen más pequeños a medida que se acerca el tiempo, y el pago final grande incluye tanto el pago de cupones como el pago final del capital. Si estos círculos se colocaran en una viga de equilibrio, el punto de apoyo (centro de equilibrio) de la viga representaría la distancia promedio ponderada (tiempo hasta el pago), que es de 1,78 años en este caso.

Para la mayoría de los cálculos prácticos, la duración de Macaulay se calcula utilizando el rendimiento al vencimiento para calcular : ${\displaystyle PV(i)}$

(2)      ${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}$

(3)      ${\displaystyle {\text{Macaulay duration}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}}$

dónde:

• ${\displaystyle i}$indexa los flujos de caja,
• ${\displaystyle PV_{i}}$es el valor actual del pago en efectivo de un activo, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle CF_{i}}$es el flujo de efectivo del pago de un activo, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y}$es el rendimiento al vencimiento (compuesto continuamente) de un activo,
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo en años hasta que se recibirá el pago, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$es el valor actual de todos los pagos en efectivo del activo hasta el vencimiento.

Macaulay propuso dos medidas alternativas:

• La expresión (1) es la duración de Fisher-Weil que utiliza los precios de los bonos cupón cero como factores de descuento, y
• Expresión (3) que utiliza el rendimiento del bono al vencimiento para calcular los factores de descuento.

La diferencia clave entre las dos duraciones es que la duración de Fisher-Weil permite la posibilidad de una curva de rendimiento inclinada, mientras que la segunda forma se basa en un valor constante del rendimiento , que no varía según el plazo de pago. ^[10] Con el uso de computadoras, se pueden calcular ambas formas, pero la expresión (3), que supone un rendimiento constante, se usa más ampliamente debido a la aplicación a la duración modificada. ^[11] ${\displaystyle y}$

Duración versus vida media ponderada

Las similitudes entre los valores y las definiciones de la duración de Macaulay y la vida media ponderada pueden llevar a confundir el propósito y el cálculo de ambas. ^[12] Por ejemplo, un bono de tasa fija a 5 años que solo paga intereses tendría una vida media ponderada de 5 y una duración de Macaulay que debería ser muy similar. Las hipotecas se comportan de manera similar. Las diferencias entre ambas son las siguientes:

1. La duración de Macaulay solo mide los flujos de efectivo de período fijo, mientras que la vida media ponderada tiene en cuenta todos los flujos de efectivo de capital, ya sean fijos o variables. Por lo tanto, para las hipotecas ARM híbridas de período fijo, a los efectos de modelización, todo el período fijo termina en la fecha del último pago fijo o el mes anterior al reinicio. ^[13]
2. La duración de Macaulay descuenta todos los flujos de efectivo al costo de capital correspondiente. La vida media ponderada no descuenta. ^[14]
3. La duración de Macaulay utiliza tanto el capital como los intereses al ponderar los flujos de efectivo. La vida media ponderada solo utiliza el capital. ^[13]

Duración modificada

A diferencia de la duración Macaulay, la duración modificada (a veces abreviada como MD) es una medida de sensibilidad al precio, definida como la derivada porcentual del precio con respecto al rendimiento (la derivada logarítmica del precio del bono con respecto al rendimiento). ^[15] La duración modificada se aplica cuando un bono u otro activo se considera como una función del rendimiento. En este caso, se puede medir la derivada logarítmica con respecto al rendimiento: ^[16]

${\displaystyle ModD(y)\equiv -{\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}=-{\frac {\partial \ln(V)}{\partial y}}}$

Cuando el rendimiento se expresa de forma continuamente compuesta, la duración de Macaulay y la duración modificada son numéricamente iguales. ^[17] Para ver esto, si tomamos la derivada del precio o valor presente, expresión (2), respecto del rendimiento de forma continua compuesta vemos que: ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y}}=-\sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}=-MacD\cdot V,}$

En otras palabras, para los rendimientos expresados ​​en capitalización continua,

${\displaystyle ModD=MacD}$. ^[1]

dónde:

• ${\displaystyle i}$indexa los flujos de caja,
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo en años hasta que se recibirá el pago, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle V}$es el valor actual de todos los pagos en efectivo del activo.

Compuesto periódicamente

En los mercados financieros, los rendimientos suelen expresarse de forma periódica (por ejemplo, anual o semestral) en lugar de de forma continua. ^[18] Entonces, la expresión (2) se convierte en:

${\displaystyle V(y_{k})=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

${\displaystyle MacD=\sum _{i=1}^{n}{\frac {t_{i}}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}}$

Para encontrar la duración modificada, cuando tomamos la derivada del valor con respecto al rendimiento compuesto periódicamente encontramos ^[19] ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}=-{\frac {1}{(1+y_{k}/k)}}\cdot \sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}=-{\frac {MacD\cdot V(y_{k})}{(1+y_{k}/k)}}}$

Reordenando (dividiendo ambos lados por -V ) obtenemos:

${\displaystyle {\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}=-{\frac {1}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}\equiv ModD}$

¿Cuál es la conocida relación entre la duración modificada y la duración de Macaulay?

${\displaystyle ModD={\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle i}$indexa los flujos de caja,
• ${\displaystyle k}$es la frecuencia de capitalización por año (1 para anual, 2 para semestral, 12 para mensual, 52 para semanal, etc.),
• ${\displaystyle CF_{i}}$es el flujo de efectivo del pago de un activo, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo en años hasta que se recibirá el pago (por ejemplo, un pago semestral de dos años estaría representado por un índice de 0,5, 1,0, 1,5 y 2,0), ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t_{i}}$
• ${\displaystyle y_{k}}$es el rendimiento al vencimiento de un activo, compuesto periódicamente
• ${\displaystyle V}$es el valor actual de todos los pagos en efectivo del activo.

Esto da como resultado la conocida relación entre la duración de Macaulay y la duración modificada mencionada anteriormente. Debe recordarse que, si bien la duración de Macaulay y la duración modificada están estrechamente relacionadas, son conceptualmente distintas. La duración de Macaulay es un tiempo promedio ponderado hasta el reembolso (medido en unidades de tiempo, como años), mientras que la duración modificada es una medida de sensibilidad al precio cuando el precio se trata como una función del rendimiento, el cambio porcentual del precio con respecto al rendimiento.

Unidades

La duración de Macaulay se mide en años.

La duración modificada se mide como el cambio porcentual en el precio por cada cambio de una unidad ( punto porcentual ) en el rendimiento por año (por ejemplo, el rendimiento pasa del 8 % anual (y = 0,08) al 9 % anual (y = 0,09)). Esto le dará a la duración modificada un valor numérico cercano a la duración de Macaulay (e igual cuando las tasas se capitalizan continuamente).

Formalmente, la duración modificada es una semielasticidad , el cambio porcentual en el precio por un cambio unitario en el rendimiento, en lugar de una elasticidad , que es un cambio porcentual en la producción por un cambio porcentual en los insumos. La duración modificada es una tasa de cambio, el cambio porcentual en el precio por cada cambio en el rendimiento.

Flujos de efectivo no fijos

La duración modificada puede extenderse a instrumentos con flujos de efectivo no fijos, mientras que la duración Macaulay se aplica únicamente a instrumentos con flujos de efectivo fijos. La duración modificada se define como la derivada logarítmica del precio con respecto al rendimiento, y dicha definición se aplicará a los instrumentos que dependen de los rendimientos, independientemente de que los flujos de efectivo sean fijos o no.

Cambios de rendimiento finitos

La duración modificada se define anteriormente como una derivada (ya que el término se relaciona con el cálculo) y, por lo tanto, se basa en cambios infinitesimales. La duración modificada también es útil como medida de la sensibilidad del precio de mercado de un bono a los movimientos finitos de la tasa de interés (es decir, el rendimiento). Para un pequeño cambio en el rendimiento , ${\displaystyle \Delta y}$

${\displaystyle ModD\approx -{\frac {1}{V}}{\frac {\Delta V}{\Delta y}}\Rightarrow \Delta V\approx -V\cdot ModD\cdot \Delta y}$

Por lo tanto, la duración modificada es aproximadamente igual al cambio porcentual en el precio para un cambio finito dado en el rendimiento. Por lo tanto, un bono a 15 años con una duración Macaulay de 7 años tendría una duración modificada de aproximadamente 7 años y perdería aproximadamente un 7% en valor si el tipo de interés aumentara en un punto porcentual (digamos del 7% al 8%). ^[20]

Duración de Fisher-Weil

La duración de Fisher-Weil es un refinamiento de la duración de Macaulay que tiene en cuenta la estructura temporal de las tasas de interés. La duración de Fisher-Weil calcula los valores actuales de los flujos de efectivo relevantes (de manera más estricta) utilizando el rendimiento cupón cero para cada vencimiento respectivo. ^[21]

Duración de la tasa clave

Las duraciones de las tasas clave (también llamadas DV01 parciales o duraciones parciales) son una extensión natural de la duración total modificada para medir la sensibilidad a los cambios en las diferentes partes de la curva de rendimiento. Las duraciones de las tasas clave se pueden definir, por ejemplo, con respecto a las tasas cupón cero con vencimiento '1M', '3M', '6M', '1A', '2A', '3A', '5A', '7A', '10A', '15A', '20A', '25A', '30A'. Thomas Ho (1992) ^[22] introdujo el término duración de la tasa clave. Reitano abordó los modelos de curvas de rendimiento multifactoriales ya en 1991 ^[23] y ha vuelto a abordar el tema en una revisión reciente. ^[24]

Las duraciones de los tipos clave requieren que valoremos un instrumento a partir de una curva de rendimiento y requieren construir una curva de rendimiento. La metodología original de Ho se basaba en la valoración de los instrumentos a partir de una curva de rendimiento cero o spot y utilizaba una interpolación lineal entre "tipos clave", pero la idea es aplicable a las curvas de rendimiento basadas en tipos forward, tipos par, etc. Surgen muchos problemas técnicos para las duraciones de los tipos clave (DV01 parciales) que no surgen para la duración total modificada estándar debido a la dependencia de las duraciones de los tipos clave del tipo específico de curva de rendimiento utilizada para valorar los instrumentos (véase Coleman, 2011 ^[3] ).

Fórmulas de bonos

Para un bono estándar con pagos fijos semestrales, la fórmula de duración del bono en forma cerrada es: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\text{Dur}}={\frac {1}{P}}\left(C{\frac {(1+ai)(1+i)^{m}-(1+i)-(m-1+a)i}{i^{2}(1+i)^{(m-1+a)}}}+{\frac {FV(m-1+a)}{(1+i)^{(m-1+a)}}}\right)}$

• FV = valor nominal
• C = pago de cupón por período (semestral)
• i = tasa de descuento por periodo (semestre)
• a = fracción de un período restante hasta el próximo pago de cupón
• m = número de períodos de cupón completos hasta el vencimiento
• P = precio del bono (valor actual de los flujos de efectivo descontados con la tasa i )

Para un bono con frecuencia de cupón pero un número entero de períodos (de modo que no hay período de pago fraccionario), la fórmula se simplifica a: ^[25] ${\displaystyle k}$

${\displaystyle MacD=\left[{\frac {(1+y/k)}{y/k}}-{\frac {100(1+y/k)+m(c/k-100y/k)}{(c/k)[(1+y/k)^{m}-1]+100y/k}}\right]/k}$

dónde

• y = Rendimiento (por año, en porcentaje),
• c = Cupón (por año, en forma decimal),
• m = Número de periodos del cupón.

Ejemplo 1

Considere un bono a 2 años con un valor nominal de $100, un cupón semestral del 20% y un rendimiento del 4% compuesto semestralmente. El VP total será:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y/k)^{k\cdot t_{i}}}}=\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1+.04/2)^{i}}}+{\frac {100}{(1+.04/2)^{4}}}}$

${\displaystyle =9.804+9.612+9.423+9.238+92.385=130.462}$

La duración de Macaulay es entonces

${\displaystyle {\text{MacD}}=0.5\cdot {\frac {9.804}{130.462}}+1.0\cdot {\frac {9.612}{130.462}}+1.5\cdot {\frac {9.423}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {9.238}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {92.385}{130.462}}=1.777\,{\text{years}}}$.

La sencilla fórmula anterior da (y/k = .04/2 = .02, c/k = 20/2 = 10):

${\displaystyle {\text{MacD}}=\left[{\frac {(1.02)}{0.02}}-{\frac {100(1.02)+4(10-2)}{10[(1.02)^{4}-1]+2}}\right]/2=1.777\,{\text{years}}}$

La duración modificada, medida como cambio porcentual en el precio por cada cambio de un punto porcentual en el rendimiento, es:

${\displaystyle {\text{ModD}}={\frac {\text{MacD}}{(1+y/k)}}={\frac {1.777}{(1+.04/2)}}=1.742}$(% de cambio en el precio por cada cambio de 1 punto porcentual en el rendimiento)

El DV01, medido como el cambio en el precio en dólares de un bono nominal de $100 por un cambio de un punto porcentual en el rendimiento, es

${\displaystyle {\text{DV01}}={\frac {{\text{ModD}}\cdot 130.462}{100}}=2.27}$($ por cada cambio de 1 punto porcentual en el rendimiento)

donde la división por 100 se debe a que la duración modificada es el cambio porcentual.

Ejemplo 2

Consideremos un bono con un valor nominal de 1000 dólares, una tasa cupón del 5% y un rendimiento anual del 6,5%, con vencimiento en 5 años. ^[26] Los pasos para calcular la duración son los siguientes:

1. Calcula el valor del bono Los cupones serán de $50 en los años 1, 2, 3 y 4. Luego, en el año 5, el bono pagará cupón y capital, por un total de $1050. Descontando al valor presente al 6,5%, el valor del bono es de $937,66. El detalle es el siguiente:

Año 1: $50 / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95

Año 2: $50 / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08

Año 3: $50 / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39

Año 4: $50 / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87

Año 5: $1050 / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37

2. Multiplica el tiempo en que se recibe cada flujo de efectivo por su valor actual.

Año 1: 1 * $46,95 = 46,95

Año 2: 2 * $44,08 = 88,17

Año 3: 3 * $41,39 = 124,18

Año 4: 4 * $38,87 = 155,46

Año 5: 5 * 766,37 = 3831,87

TOTAL: 4246.63

3. Compare el total del paso 2 con el valor del bono (paso 1)

Duración de Macaulay: 4246,63 / 937,66 = 4,53

Duración del dinero

Elduración del dinero , oValor del punto base o BloombergRiesgo ^{[ cita requerida ]}, también llamadoduración del dólar oDV01 en Estados Unidos, se define como el negativo de la derivada del valor con respecto al rendimiento:

${\displaystyle D_{\$}=DV01=-{\frac {\partial V}{\partial y}}.}$^{[ cita requerida ]}

de modo que sea el producto de la duración modificada y el precio (valor):

${\displaystyle D_{\$}=DV01=BPV=V\cdot ModD/100}$($ por cada cambio de 1 punto porcentual en el rendimiento)

o

${\displaystyle D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000}$($ por cada cambio de 1 punto básico en el rendimiento)

El DV01 es análogo al delta en la fijación de precios de derivados (uno de los "griegos" ): es la relación entre un cambio de precio en la producción (dólares) y un cambio unitario en la entrada (un punto básico de rendimiento). La duración en dólares o DV01 es el cambio de precio en dólares, no en porcentaje. Da la variación en dólares en el valor de un bono por cada cambio unitario en el rendimiento. A menudo se mide por 1 punto básico: DV01 es la abreviatura de "valor en dólares de un 01" (o 1 punto básico). También se utiliza el nombre BPV ( valor en puntos básicos ) o "riesgo" de Bloomberg, que a menudo se aplica al cambio en dólares por un nocional de $100 para un cambio de 100 pb en los rendimientos, dando las mismas unidades que la duración. A veces se utiliza PV01 (valor actual de un 01), aunque PV01 se refiere con mayor precisión al valor de una anualidad de un dólar o un punto básico. (Para un bono a la par y una curva de rendimiento plana , el DV01, derivado del precio respecto del rendimiento, y el PV01, valor de una anualidad de un dólar, en realidad tendrán el mismo valor. ^{[ cita requerida ]} ) El DV01 o la duración en dólares se puede utilizar para instrumentos con un valor inicial cero, como los swaps de tasas de interés, donde los cambios porcentuales y la duración modificada son menos útiles.

Aplicación al valor en riesgo (VaR)

La duración en dólares se utiliza comúnmente para el cálculo del valor en riesgo (VaR). Para ilustrar las aplicaciones a la gestión del riesgo de cartera, considere una cartera de valores que dependen de las tasas de interés como factores de riesgo y supongamos que ${\displaystyle D_{\$}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

${\displaystyle V=V(r_{1},\ldots ,r_{n})\,}$

denota el valor de dicha cartera. Entonces el vector de exposición tiene componentes ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})}$

${\displaystyle \omega _{i}=-D_{\$,i}:={\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}.}$

En consecuencia, el cambio en el valor de la cartera puede aproximarse como

${\displaystyle \Delta V=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\,\Delta r_{i}+\sum _{1\leq i,j\leq n}O(\Delta r_{i}\,\Delta r_{j}),}$

es decir, un componente que es lineal en los cambios de la tasa de interés más un término de error que es al menos cuadrático. Esta fórmula se puede utilizar para calcular el VaR de la cartera ignorando los términos de orden superior. Normalmente, los términos cúbicos o superiores se truncan. Los términos cuadráticos, cuando se incluyen, se pueden expresar en términos de convexidad de bonos (multivariable). Se pueden hacer suposiciones sobre la distribución conjunta de las tasas de interés y luego calcular el VaR mediante simulación de Monte Carlo o, en algunos casos especiales (por ejemplo, distribución gaussiana asumiendo una aproximación lineal), incluso analíticamente. La fórmula también se puede utilizar para calcular el DV01 de la cartera (véase más abajo) y se puede generalizar para incluir factores de riesgo más allá de las tasas de interés.

Riesgo – duración como sensibilidad a la tasa de interés

El uso principal de la duración (duración modificada) es medir la sensibilidad o exposición a las tasas de interés. Pensar en el riesgo en términos de tasas de interés o rendimientos es muy útil porque ayuda a normalizar entre instrumentos que de otro modo serían dispares. Consideremos, por ejemplo, los siguientes cuatro instrumentos, cada uno con un vencimiento final de 10 años:

Los cuatro tienen un vencimiento a 10 años, pero la sensibilidad a las tasas de interés, y por lo tanto el riesgo, será diferente: el cupón cero tiene la mayor sensibilidad y la anualidad la menor. ^{[ cita requerida ]}

Consideremos primero una inversión de $100 en cada uno, lo cual tiene sentido para los tres bonos (el bono cupón, la anualidad, el bono cupón cero - no tiene sentido para el swap de tasa de interés para el cual no hay inversión inicial). La duración modificada es una medida útil para comparar la sensibilidad de la tasa de interés entre los tres. El bono cupón cero tendrá la sensibilidad más alta, cambiando a una tasa de 9.76% por cada cambio de 100 puntos básicos en el rendimiento. Esto significa que si los rendimientos suben del 5% al ​​5.01% (un aumento de 1 punto básico) el precio debería caer aproximadamente un 0.0976% o un cambio en el precio de $61.0271 por cada $100 nocionales a aproximadamente $60.968. Los $100 originales invertidos caerán a aproximadamente $99.90. La anualidad tiene la sensibilidad más baja, aproximadamente la mitad de la del bono cupón cero, con una duración modificada del 4.72%.

Como alternativa, podríamos considerar un nocional de $100 de cada uno de los instrumentos. En este caso, el BPV o DV01 (valor en dólares de un 01 o duración en dólares) es la medida más natural. El BPV en la tabla es el cambio en dólares en el precio por un nocional de $100 para un cambio de 100 puntos básicos en los rendimientos. El BPV tendrá sentido para el swap de tasas de interés (para el cual no se define la duración modificada) así como para los tres bonos.

La duración modificada mide el tamaño de la sensibilidad a la tasa de interés. A veces podemos caer en el error de pensar que mide a qué parte de la curva de rendimiento es sensible el instrumento. Después de todo, la duración modificada (porcentaje de cambio en el precio) es casi el mismo número que la duración de Macaulay (una especie de promedio ponderado de años hasta el vencimiento). Por ejemplo, la anualidad anterior tiene una duración de Macaulay de 4,8 años, y podríamos pensar que es sensible al rendimiento a 5 años. Pero tiene flujos de efectivo de hasta 10 años y, por lo tanto, será sensible a los rendimientos a 10 años. Si queremos medir la sensibilidad a partes de la curva de rendimiento, debemos considerar las duraciones de las tasas clave.

En el caso de los bonos con flujos de efectivo fijos, un cambio de precio puede provenir de dos fuentes:

1. El paso del tiempo (convergencia hacia la paridad). Esto es, por supuesto, totalmente previsible y, por lo tanto, no supone ningún riesgo.
2. Un cambio en el rendimiento. Esto puede deberse a un cambio en el rendimiento de referencia y/o un cambio en el diferencial de rendimiento.

La relación entre el rendimiento y el precio es inversa, y la duración modificada proporciona una medida muy útil de la sensibilidad del precio a los rendimientos. Como primera derivada, proporciona una aproximación lineal. Para grandes cambios en el rendimiento, se puede añadir la convexidad para proporcionar una aproximación cuadrática o de segundo orden. Alternativamente, y a menudo de manera más útil, se puede utilizar la convexidad para medir cómo cambia la duración modificada a medida que cambian los rendimientos. Medidas de riesgo similares (de primer y segundo orden) utilizadas en los mercados de opciones son delta y gamma .

La duración modificada y el DV01 como medidas de sensibilidad a las tasas de interés también son útiles porque pueden aplicarse a instrumentos y valores con flujos de efectivo variables o contingentes, como las opciones.

Opciones integradas y duración efectiva

En el caso de los bonos que tienen opciones incorporadas , como los bonos con opción de compra o de rescate, la duración modificada no se aproximará correctamente al movimiento del precio ante un cambio en el rendimiento hasta el vencimiento . ^[27]

Consideremos un bono con una opción de venta incorporada. Por ejemplo, un bono de 1.000 dólares que puede ser rescatado por el tenedor a la par en cualquier momento antes del vencimiento del bono (es decir, una opción de venta estadounidense). No importa cuán altas sean las tasas de interés, el precio del bono nunca bajará de 1.000 dólares (sin tener en cuenta el riesgo de contraparte ). La sensibilidad del precio de este bono a los cambios en las tasas de interés es diferente a la de un bono sin opción de venta con flujos de efectivo idénticos.

Para fijar el precio de estos bonos, se debe utilizar el método de fijación de precios de opciones para determinar el valor del bono y luego se puede calcular su delta (y, por lo tanto, su lambda), que es la duración. La duración efectiva es una aproximación discreta a esta última y requerirá un modelo de fijación de precios de opciones .

${\displaystyle {\text{Effective duration}}={\frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_{0})\Delta y}}}$

donde Δ  y es la cantidad en que cambia el rendimiento, y y son los valores que tomará el bono si el rendimiento cae en y o aumenta en y , respectivamente. (Un "desplazamiento paralelo" ; tenga en cuenta que este valor puede variar según el valor utilizado para Δ  y .) ${\displaystyle V_{-\Delta y}}$ ${\displaystyle V_{+\Delta y}}$

Estos valores se calculan normalmente utilizando un modelo basado en árboles, creado para toda la curva de rendimiento (en lugar de un único rendimiento hasta el vencimiento) y, por lo tanto, capturando el comportamiento del ejercicio en cada punto de la vida de la opción como una función tanto del tiempo como de las tasas de interés; consulte Modelo reticular (finanzas) § Derivados de tasas de interés .

Duración del spread

La duración del diferencial es la sensibilidad del precio de mercado de un bono a un cambio en el diferencial ajustado por opciones (OAS). Por lo tanto, el índice, o curva de rendimiento subyacente, permanece inalterada. Los activos con tasa flotante que se referencian a un índice (como la LIBOR a 1 o 3 meses) y se reajustan periódicamente tendrán una duración efectiva cercana a cero, pero una duración del diferencial comparable a la de un bono con tasa fija que, por lo demás, es idéntico. ^{[ cita requerida ]}

Duración media

La sensibilidad de una cartera de bonos, como un fondo mutuo de bonos , a los cambios en las tasas de interés también puede ser importante. A menudo se informa la duración promedio de los bonos en la cartera. La duración de una cartera es igual al vencimiento promedio ponderado de todos los flujos de efectivo en la cartera. Si cada bono tiene el mismo rendimiento al vencimiento, esto es igual al promedio ponderado de las duraciones de los bonos de la cartera, con ponderaciones proporcionales a los precios de los bonos. ^[1] De lo contrario, el promedio ponderado de las duraciones de los bonos es solo una buena aproximación, pero aún puede usarse para inferir cómo cambiaría el valor de la cartera en respuesta a los cambios en las tasas de interés. ^[28]

Convexidad

La duración es una medida lineal de cómo cambia el precio de un bono en respuesta a cambios en la tasa de interés. Cuando las tasas de interés cambian, el precio no cambia linealmente, sino que es una función convexa de las tasas de interés. La convexidad es una medida de la curvatura de cómo cambia el precio de un bono cuando cambia la tasa de interés. En concreto, la duración puede formularse como la primera derivada de la función de precio del bono con respecto a la tasa de interés en cuestión, y la convexidad como la segunda derivada. ^{[ cita requerida ]}

La convexidad también da una idea de la dispersión de los flujos de efectivo futuros. (Así como la duración proporciona el término medio descontado, la convexidad puede utilizarse para calcular la desviación estándar descontada, por ejemplo, del rendimiento).

Tenga en cuenta que la convexidad puede ser positiva o negativa. Un bono con convexidad positiva no tendrá ninguna característica de rescate (es decir, el emisor debe rescatar el bono al vencimiento), lo que significa que, a medida que las tasas caen, tanto su duración como su precio aumentarán.

Por otra parte, se considera que un bono con características de opción de compra (es decir, en el que el emisor puede redimir el bono de forma anticipada) tiene una convexidad negativa a medida que los tipos se acercan al precio de ejercicio de la opción, es decir, su duración disminuirá a medida que los tipos bajen y, por lo tanto, su precio aumentará con menor rapidez. Esto se debe a que el emisor puede redimir el bono antiguo con un cupón alto y volver a emitir un bono nuevo con un tipo más bajo, lo que le proporciona una valiosa opcionalidad. De manera similar a lo anterior, en estos casos, puede ser más correcto calcular una convexidad efectiva .

Los títulos respaldados por hipotecas (pagos anticipados del capital de hipotecas transferibles) con hipotecas de tasa fija a 15 o 30 años al estilo estadounidense como garantía son ejemplos de bonos rescatables.

Relación Sherman

El "ratio Sherman" es el rendimiento ofrecido por unidad de duración del bono, llamado así por el director de inversiones de DoubleLine Capital , Jeffrey Sherman. ^[29] Se lo ha llamado el "indicador más aterrador del mercado de bonos" y alcanzó un mínimo histórico de 0,1968 para el índice Bloomberg Barclays US Corporate Bond el 31 de diciembre de 2020. ^[30] El ratio es simplemente el rendimiento ofrecido (como porcentaje), dividido por la duración del bono (en años). ^[31]

Véase también

• Convexidad de los bonos
• Valoración de bonos
• CS01
• Convención de recuento de días
• Brecha de duración
• Atribución de renta fija § Principios básicos versus atribución perturbacional
• Inmunización (finanzas)
• Lista de temas de finanzas
• Duración de las existencias

Notas

Referencias

1. Hull, John C. (1993), Opciones, futuros y otros valores derivados (segunda edición), Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., págs. 99-101
2. Brealey, Richard A.; Myers, Stewart C.; Allen, Franklin (2011), Principles of Corporate Finance (décima edición), Nueva York, NY: McGraw-Hill Irwin, págs. 50–53
3. Coleman, Thomas (15 de enero de 2011). "Guía para transformaciones de riesgo de la duración, DV01 y curva de rendimiento". SSRN  1733227.
4. "Duración de Macaulay, duración del dinero y duración modificada". cfastudyguide.com . Consultado el 10 de diciembre de 2021 .
5. Cuando los rendimientos se capitalizan continuamente, la duración de Macaulay y la duración modificada serán numéricamente iguales. Cuando los rendimientos se capitalizan periódicamente, la duración de Macaulay y la duración modificada diferirán ligeramente, y existe una relación simple entre ambas.
6. Hilliard, Jimmy E. (1984). "Cobertura del riesgo de tasa de interés con carteras de futuros bajo efectos de estructura temporal". Revista de finanzas . 39 (5). Wiley : 1547–1569. doi :10.1111/j.1540-6261.1984.tb04924.x. ISSN  0022-1082.
7. Grantier, Bruce J. (1988). "Convexidad y rendimiento de los bonos: cuanto más bajos, mejor". Financial Analysts Journal . 44 (6). Taylor & Francis : 79–81. doi :10.2469/faj.v44.n6.79. ISSN  0015-198X.
8. Fabozzi, Frank J. (23 de octubre de 2015). Mercados de capital: instituciones, instrumentos y gestión de riesgos. MIT Press. ISBN 978-0-262-33159-3.
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18. Colin Dodds, J. (1982-01-01). "La estructura temporal de las tasas de interés: un estudio de las teorías y la evidencia empírica". Finanzas gerenciales . 8 (2). Emerald Group Publishing : 22–31. doi :10.1108/eb013503. ISSN  0307-4358.
19. Berk, Jonathan; DeMarzo, Peter (2011), Finanzas corporativas (segunda edición), Boston, MA: Prentice Hall, págs. 966–969
20. "Duración de Macaulay" por Fiona Maclachlan, The Wolfram Demonstrations Project .
21. "Cómo afrontar el riesgo de las fluctuaciones de los tipos de interés: rentabilidades para los tenedores de bonos a partir de estrategias ingenuas y óptimas". Lawrence Fisher y Roman L. Weil; Journal of Business, 1971, 44(4), págs. 408-31. JSTOR  2352056
22. Ho, Thomas SY (septiembre de 1992). "Duraciones de los tipos de interés clave: medidas de los riesgos de los tipos de interés". Journal of Fixed Income . 2 (2): 29–44. doi :10.3905/jfi.1992.408049. S2CID  154576274.
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24. Reitano, Robert R. (2008). Fabozzi, Frank J. (ed.). "Gestión del riesgo de la curva de rendimiento". Manual de finanzas . 3 . Hoboken, NJ: John Wiley and Sons: 215.
25. Bodie; Kane; Marcus (1993), Inversiones (Segunda ed.), pág. 478
26. Rojas Arzú, J. & Roca, Florencia, Risk Management and Derivatives Explained , Primera edición, Amazon Kindle Direct Publishing , 2018, pág. 41
27. Véase, por ejemplo, "Duración efectiva y convexidad", capítulo 14, en Frank J. Fabozzi , ed. (2008). "Manual de finanzas: valoración, modelado financiero y herramientas cuantitativas". Wiley. ISBN 9780470078167 . 
28. "Blog de Magnate Invest". magnateinvest.com . Consultado el 8 de julio de 2022 .
29. Chappatta, Brian (9 de enero de 2020). "Este es el indicador más aterrador para el mercado de bonos". Bloomberg Opinion . Archivado desde el original el 20 de febrero de 2020. Consultado el 23 de abril de 2022 .
30. Chappatta, Brian (14 de enero de 2021). "El indicador más aterrador del mercado de bonos es peor que nunca". Bloomberg Opinion . Archivado desde el original el 10 de marzo de 2021. Consultado el 23 de abril de 2022 .
31. Sherman, Jeffrey. "El índice Sherman" (PDF) . DoubleLine Capital . Consultado el 15 de febrero de 2021 .

Lectura adicional

• Fabozzi, Frank J. (1999), "Los conceptos básicos de duración y convexidad", Duración, convexidad y otras medidas de riesgo de bonos , Frank J. Fabozzi Series, vol. 58, John Wiley and Sons, ISBN 9781883249632
• Mayle, Jan (1994), Métodos de cálculo de valores estándar: fórmulas de valores de renta fija para medidas analíticas , vol. 2 (1.ª ed.), Securities Industry and Financial Markets Association , ISBN 1-882936-01-9. La referencia estándar para las convenciones aplicables a los valores estadounidenses.

• Rojas Arzú, Jorge; Roca, Florencia (diciembre de 2018), Risk Management and Derivatives Explained, Amazon Kindle Direct Publishing , pp. 43–44, ISBN 9781791814342

Enlaces externos

• Enciclopedia de riesgos para una buena explicación sobre las múltiples definiciones de duración y sus orígenes.
• Videotutorial paso a paso
• Explicación de la duración según Investopedia