Elasticidad de una función

En matemáticas , la elasticidad o elasticidad puntual de una función diferenciable positiva f de una variable positiva (entrada positiva, salida positiva) ^[1] en el punto a se define como ^[2]

${\displaystyle Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {f(x)}{f(a)}}-1}{{\frac {x}{a}}-1}}\approx {\frac {\%\Delta f(a)}{\%\Delta a}}}$

o equivalentemente

${\displaystyle Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}}.}$

Por lo tanto, es la relación entre el cambio relativo (porcentual) en la salida de la función con respecto al cambio relativo en su entrada , para cambios infinitesimales desde un punto . De manera equivalente, es la relación entre el cambio infinitesimal del logaritmo de una función con respecto al cambio infinitesimal del logaritmo del argumento. También existen en la literatura generalizaciones para casos de múltiples entradas y múltiples salidas. ^{[3] [4]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$

La elasticidad de una función es una constante si y sólo si la función tiene la forma de una constante . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(x)=Cx^{\alpha }}$ ${\displaystyle C>0}$

La elasticidad en un punto es el límite de la elasticidad del arco entre dos puntos cuando la separación entre esos dos puntos se acerca a cero.

El concepto de elasticidad se utiliza ampliamente en economía y en el análisis de control metabólico (MCA); consulte elasticidad (economía) y coeficiente de elasticidad respectivamente para obtener más detalles.

Normas

Las reglas para hallar la elasticidad de productos y cocientes son más simples que las de las derivadas. ^[5] Sean f, g diferenciables. Entonces ^[2]

${\displaystyle E(f(x)\cdot g(x))=Ef(x)+Eg(x)}$

${\displaystyle E{\frac {f(x)}{g(x)}}=Ef(x)-Eg(x)}$

${\displaystyle E(f(x)+g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))+g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)+g(x)}}}$

${\displaystyle E(f(x)-g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))-g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)-g(x)}}}$

La derivada se puede expresar en términos de elasticidad como

${\displaystyle Df(x)={\frac {Ef(x)\cdot f(x)}{x}}}$

Sean a y b constantes. Entonces

${\displaystyle E(a)=0\ }$

${\displaystyle E(a\cdot f(x))=Ef(x)}$,

${\displaystyle E(bx^{a})=a\ }$.

Estimación de elasticidades puntuales

En economía, la elasticidad precio de la demanda se refiere a la elasticidad de una función de demanda Q ( P ), y puede expresarse como (dQ/dP)/(Q(P)/P) o como la relación entre el valor de la función marginal (dQ/dP) y el valor de la función media (Q(P)/P). Esta relación proporciona una forma sencilla de determinar si una curva de demanda es elástica o inelástica en un punto determinado. En primer lugar, supongamos que se sigue la convención habitual en matemáticas de trazar la variable independiente (P) horizontalmente y la variable dependiente (Q) verticalmente. Entonces, la pendiente de una línea tangente a la curva en ese punto es el valor de la función marginal en ese punto. La pendiente de un rayo trazado desde el origen a través del punto es el valor de la función media. Si el valor absoluto de la pendiente de la tangente es mayor que la pendiente del rayo, entonces la función es elástica en el punto; si la pendiente de la secante es mayor que el valor absoluto de la pendiente de la tangente, entonces la curva es inelástica en el punto. ^[6] Si la línea tangente se extiende hasta el eje horizontal, el problema es simplemente una cuestión de comparar los ángulos creados por las líneas y el eje horizontal. Si el ángulo marginal es mayor que el ángulo medio, entonces la función es elástica en ese punto; si el ángulo marginal es menor que el ángulo medio, entonces la función es inelástica en ese punto. Sin embargo, si uno sigue la convención adoptada por los economistas y traza la variable independiente P en el eje vertical y la variable dependiente Q en el eje horizontal, entonces se aplicarían las reglas opuestas.

El mismo procedimiento gráfico también se puede aplicar a una función de suministro u otras funciones.

Semielasticidad

Una semielasticidad (o semielasticidad) da el cambio porcentual en f(x) en términos de un cambio (no porcentual) en x . Algebraicamente, la semielasticidad S de una función f en el punto x es ^{[7] [8]}

${\displaystyle Sf(x)={\frac {1}{f(x)}}f'(x)={\frac {d\ln f(x)}{dx}}}$

La semielasticidad será constante para funciones exponenciales de la forma, ya que, ${\displaystyle f(x)=C\alpha ^{x}}$

${\displaystyle \ln {f}=\ln {C\alpha ^{x}}=\ln {C}+x\ln {\alpha }\implies {\frac {d\ln {f}}{dx}}=\ln {\alpha }.}$

Un ejemplo de semielasticidad es la duración modificada en el comercio de bonos.

En la literatura se utiliza a veces la definición opuesta, es decir, el término "semielasticidad" también se utiliza a veces para el cambio (no porcentual) en f(x) en términos de un cambio porcentual en x ^[9] que sería

${\displaystyle {\frac {df(x)}{d\ln(x)}}={\frac {df(x)}{dx}}x}$

Véase también

• Elasticidad del arco
• Elasticidad (economía)
• Coeficiente de elasticidad (bioquímica)
• Función homogénea
• Derivada logarítmica

Referencias

1. La elasticidad también se puede definir si la entrada y/o la salida son consistentemente negativas, o simplemente se alejan de cualquier punto donde la entrada o la salida son cero, pero en la práctica la elasticidad se utiliza para cantidades positivas.
2. Sydsaeter, Knut ; Hammond, Peter (1995). Matemáticas para el análisis económico . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. Págs. 173-175. ISBN. 013583600X.
3. Zelenyuk, Valentin (2013). "Una nota sobre equivalencias en la medición de rendimientos a escala". Revista internacional de economía y negocios . 12 (1): 85–89, y ver referencias allí.
4. Zelenyuk, Valentin (2013). "Una medida de elasticidad de escala para la función de distancia direccional y su dual: teoría y estimación DEA". Revista Europea de Investigación Operativa . 228 (3): 592–600. doi :10.1016/j.ejor.2013.01.012.
5. Woods, JH; Sauro, HM (abril de 1997). "Elasticidades en el análisis de control metabólico: derivación algebraica de expresiones simplificadas". Aplicaciones informáticas en las biociencias . 13 (2): 123–30. doi : 10.1093/bioinformatics/13.2.123 . PMID  9146958.
6. Chiang; Wainwright (2005). Métodos fundamentales de economía matemática (4.ª ed.). Boston: McGraw-Hill. pp. 192-193. ISBN 0070109109.
7. Wooldridge, Jeffrey (2003). Introducción a la econometría: un enfoque moderno (2.ª ed.). Suroeste. pág. 656. ISBN 0-324-11364-1.
8. White, Lawrence Henry (1999). La teoría de las instituciones monetarias . Malden: Blackwell. pág. 148. ISBN 0-631-21214-0.
9. "Ayuda de Stata 17 para márgenes".

Lectura adicional

• Nievergelt, Yves (1983). "El concepto de elasticidad en economía". SIAM Review . 25 (2): 261–265. doi :10.1137/1025049.