Ampliación de grupo

Grupo para el cual un grupo dado es un subgrupo normal

En matemáticas , una extensión de grupo es un medio general para describir un grupo en términos de un subgrupo normal particular y un grupo cociente . Si y son dos grupos, entonces es una extensión de por si hay una secuencia exacta corta ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}$

Si es una extensión de por , entonces es un grupo, es un subgrupo normal de y el grupo cociente es isomorfo al grupo . Las extensiones de grupo surgen en el contexto del problema de extensión , donde se conocen los grupos y y se deben determinar las propiedades de . Nótese que la frase " es una extensión de por " también es utilizada por algunos. ^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota (N)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\iota (N)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q}$

Dado que cualquier grupo finito posee un subgrupo normal máximo con un grupo factorial simple , todos los grupos finitos pueden construirse como una serie de extensiones con grupos simples finitos . Este hecho fue una motivación para completar la clasificación de los grupos simples finitos . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Una extensión se denomina extensión central si el subgrupo se encuentra en el centro de . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Extensiones en general

Una extensión, el producto directo , es inmediatamente obvia. Si se requiere que y sean grupos abelianos , entonces el conjunto de clases de isomorfismo de extensiones de por un grupo (abeliano) dado es de hecho un grupo, que es isomorfo a ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);}$

cf. el funtor Ext . Se conocen otras clases generales de extensiones, pero no existe ninguna teoría que trate todas las extensiones posibles a la vez. La extensión de grupo suele describirse como un problema difícil; se denomina problema de extensión .

Para considerar algunos ejemplos, si , entonces es una extensión de ambos y . De manera más general, si es un producto semidirecto de y , escrito como , entonces es una extensión de por , por lo que productos como el producto de corona proporcionan otros ejemplos de extensiones. ${\displaystyle G=K\times H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G=K\rtimes H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$

Problema de extensión

La cuestión de qué grupos son extensiones de por se llama el problema de extensión , y ha sido estudiada profusamente desde finales del siglo XIX. En cuanto a su motivación, considere que la serie de composición de un grupo finito es una secuencia finita de subgrupos , donde cada uno es una extensión de por algún grupo simple . La clasificación de grupos simples finitos nos da una lista completa de grupos simples finitos; por lo que la solución al problema de extensión nos daría suficiente información para construir y clasificar todos los grupos finitos en general. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ ${\displaystyle \{A_{i+1}\}}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}}$

Clasificando extensiones

La solución del problema de extensión equivale a clasificar todas las extensiones de H por K ; o, de manera más práctica, a expresar todas esas extensiones en términos de objetos matemáticos que sean más fáciles de entender y calcular. En general, este problema es muy difícil y todos los resultados más útiles clasifican extensiones que satisfacen alguna condición adicional.

Figura 1

Es importante saber cuándo dos extensiones son equivalentes o congruentes. Decimos que las extensiones

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}$

y

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}$

son equivalentes (o congruentes) si existe un isomorfismo de grupo que hace conmutativo el diagrama de la Figura 1. De hecho, es suficiente tener un homomorfismo de grupo; debido a la conmutatividad asumida del diagrama, la función se ve obligada a ser un isomorfismo por el lema de los cinco cortos . ${\displaystyle T:G\to G'}$ ${\displaystyle T}$

Advertencia

Puede ocurrir que las extensiones y sean inequivalentes pero que G y G' sean isomorfos como grupos. Por ejemplo, hay extensiones inequivalentes del cuatrigrupo de Klein por , ^[2] pero hay, salvo isomorfismo de grupo, solo cuatro grupos de orden que contienen un subgrupo normal de orden con grupo cociente isomorfo al cuatrigrupo de Klein . ${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$ ${\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 2}$

Extensiones triviales

Una extensión trivial es una extensión

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

que es equivalente a la extensión

${\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}$

donde las flechas izquierda y derecha son respectivamente la inclusión y la proyección de cada factor de . ${\displaystyle K\times H}$

Clasificación de extensiones divididas

Una extensión dividida es una extensión

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

con un homomorfismo tal que al pasar de H a G por s y luego volver a H por la función cociente de la secuencia exacta corta se induce la función identidad en H , es decir, . En esta situación, se suele decir que s divide la secuencia exacta anterior . ${\displaystyle s\colon H\to G}$ ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}$

Las extensiones divididas son muy fáciles de clasificar, porque una extensión se divide si y solo si el grupo G es un producto semidirecto de K y H . Los productos semidirectos en sí mismos son fáciles de clasificar, porque están en correspondencia uno a uno con los homomorfismos de , donde Aut( K ) es el grupo de automorfismos de K . Para una discusión completa de por qué esto es cierto, consulte producto semidirecto . ${\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}$

Advertencia sobre la terminología

En general, en matemáticas, una extensión de una estructura K suele considerarse como una estructura L de la que K es una subestructura. Véase, por ejemplo, extensión de campo . Sin embargo, en la teoría de grupos se ha introducido la terminología opuesta, en parte debido a la notación , que se lee fácilmente como extensiones de Q por N , y el foco está puesto en el grupo Q . ${\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}$

Un artículo de Ronald Brown y Timothy Porter sobre la teoría de extensiones no abelianas de Otto Schreier utiliza la terminología de que una extensión de K da una estructura más grande. ^[3]

Extensión central

Una extensión central de un grupo G es una secuencia corta y exacta de grupos

${\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}$

de modo que A está incluido en , el centro del grupo E . El conjunto de clases de isomorfismo de extensiones centrales de G por A está en correspondencia biunívoca con el grupo de cohomología . ${\displaystyle Z(E)}$ ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

Se pueden construir ejemplos de extensiones centrales tomando cualquier grupo G y cualquier grupo abeliano A y haciendo que E sea . Este tipo de ejemplo de división corresponde al elemento 0 en la correspondencia anterior. Se da otro ejemplo de división para un subgrupo normal A con E fijado en el producto semidirecto . Se encuentran ejemplos más serios en la teoría de representaciones proyectivas , en casos en los que la representación proyectiva no se puede elevar a una representación lineal ordinaria . ${\displaystyle A\times G}$ ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$ ${\displaystyle A\rtimes G}$

En el caso de grupos perfectos finitos , existe una extensión central perfecta universal .

De manera similar, la extensión central de un álgebra de Lie es una secuencia exacta ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

tal que está en el centro de . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

Existe una teoría general de extensiones centrales en las variedades de Maltsev . ^[4]

Generalización a extensiones generales

Existe una clasificación similar de todas las extensiones de G por A en términos de homomorfismos de , una condición de existencia tediosa pero explícitamente comprobable que involucra y el grupo de cohomología . ^[5] ${\displaystyle G\to \operatorname {Out} (A)}$ ${\displaystyle H^{3}(G,Z(A))}$ ${\displaystyle H^{2}(G,Z(A))}$

Grupos de mentiras

En la teoría de grupos de Lie , las extensiones centrales surgen en conexión con la topología algebraica . En términos generales, las extensiones centrales de los grupos de Lie por grupos discretos son lo mismo que los grupos de recubrimiento . Más precisamente, un espacio de recubrimiento conexo G ^∗ de un grupo de Lie conexo G es naturalmente una extensión central de G , de tal manera que la proyección

${\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}$

es un homomorfismo de grupo y sobreyectivo. (La estructura de grupo en G ^∗ depende de la elección de un elemento identidad que mapee a la identidad en G .) Por ejemplo, cuando G ^∗ es la cubierta universal de G , el núcleo de π es el grupo fundamental de G , que se sabe que es abeliano (ver H-espacio ). A la inversa, dado un grupo de Lie G y un subgrupo central discreto Z , el cociente G / Z es un grupo de Lie y G es un espacio de cubierta de este.

De manera más general, cuando los grupos A , E y G que aparecen en una extensión central son grupos de Lie, y las funciones entre ellos son homomorfismos de grupos de Lie, entonces si el álgebra de Lie de G es g , la de A es a , y la de E es e , entonces e es una extensión del álgebra de Lie central de g por a . En la terminología de la física teórica , los generadores de a se denominan cargas centrales . Estos generadores están en el centro de e ; por el teorema de Noether , los generadores de grupos de simetría corresponden a cantidades conservadas, denominadas cargas .

Los ejemplos básicos de extensiones centrales como grupos de cobertura son:

• los grupos de espín , que cubren doblemente a los grupos ortogonales especiales , que (en dimensión par) cubren doblemente al grupo ortogonal proyectivo .
• los grupos metaplécticos , que cubren doblemente los grupos simplécticos .

El caso de SL ₂ ( R ) involucra un grupo fundamental que es cíclico infinito . Aquí la extensión central involucrada es bien conocida en la teoría de formas modulares , en el caso de formas de peso ½ . Una representación proyectiva que corresponde es la representación de Weil , construida a partir de la transformada de Fourier , en este caso sobre la línea real . Los grupos metaplécticos también ocurren en mecánica cuántica .

Véase también

• Extensión del álgebra de Lie
• Álgebra de Virasoro
• Extensión HNN
• Contracción grupal
• Extensión de un grupo topológico

Referencias

1. grupo+extensión#Definición en el n Observación de laboratorio 2.2.
2. página n.° 830, Dummit, David S., Foote, Richard M., Álgebra abstracta (tercera edición), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ (2004).
3. Brown, Ronald ; Porter, Timothy (1996). "Sobre la teoría de Schreier de extensiones no abelianas: generalizaciones y cálculos". Actas de la Real Academia Irlandesa Sect A . 96 (2): 213–227. MR  1641218.
4. Janelidze, George; Kelly, Gregory Maxwell (2000). "Extensiones centrales en variedades de Malt'sev". Teoría y aplicaciones de categorías . 7 (10): 219–226. MR  1774075.
5. PJ Morandi, Extensiones de grupo y H3 Archivado el 17 de mayo de 2018 en Wayback Machine . De su colección de notas matemáticas breves.

• Mac Lane, Saunders (1975), Homología , Clásicos de las matemáticas, Springer Verlag , ISBN 3-540-58662-8
• RL Taylor, Grupos de cobertura de grupos topológicos no conexos, Actas de la American Mathematical Society , vol. 5 (1954), 753–768.
• R. Brown y O. Mucuk, Revisión de grupos de cobertura de grupos topológicos no conexos, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 115 (1994), 97–110.