Extensión de campo

Construcción de un campo algebraico más grande "agregando elementos" a un campo más pequeño

En matemáticas , particularmente en álgebra , una extensión de campo (denotada como ) es un par de campos , tales que las operaciones de K son las de L restringidas a K. En este caso, L es un campo de extensión de K y K es un subcampo de L. ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, bajo las nociones usuales de adición y multiplicación , los números complejos son un campo de extensión de los números reales ; los números reales son un subcampo de los números complejos. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle K\subseteq L}$

Las extensiones de campo son fundamentales en la teoría de números algebraicos y en el estudio de raíces polinomiales a través de la teoría de Galois , y se utilizan ampliamente en geometría algebraica .

Subcampo

Un subcampo de un campo es un subconjunto que es un campo con respecto a las operaciones de campo heredadas de . De manera equivalente, un subcampo es un subconjunto que contiene , y está cerrado bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y toma de la inversa de un elemento distinto de cero de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K\subseteq L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$

Como 1 – 1 = 0 , la última definición implica que y tienen el mismo elemento cero. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

Por ejemplo, el cuerpo de los números racionales es un subcuerpo de los números reales , que a su vez es un subcuerpo de los números complejos. En términos más generales, el cuerpo de los números racionales es (o es isomorfo a) un subcuerpo de cualquier cuerpo de característica . ${\displaystyle 0}$

La característica de un subcampo es la misma que la característica del campo más grande.

Campo de extensión

Si K es un subcampo de L , entonces L es un campo de extensión o simplemente una extensión de K , y este par de campos es una extensión de campo . Tal extensión de campo se denota (se lee como " L sobre K "). ${\displaystyle L/K}$

Si L es una extensión de F , que a su vez es una extensión de K , entonces se dice que F es un campo intermedio (o extensión o subextensión intermedia ) de . ${\displaystyle L/K}$

Dada una extensión de campo , el campo mayor L es un espacio vectorial K. La dimensión de este espacio vectorial se denomina grado de la extensión y se denota por . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle [L:K]}$

El grado de una extensión es 1 si y solo si los dos cuerpos son iguales. En este caso, la extensión es unaextensión trivial . Las extensiones de grado 2 y 3 se denominanextensiones cuadráticasyextensiones cúbicas, respectivamente. Unaextensión finitaes una extensión que tiene un grado finito.

Dadas dos extensiones y , la extensión es finita si y solo si ambas y son finitas. En este caso, se tiene ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle M/L}$ ${\displaystyle M/K}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle M/L}$

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

Dada una extensión de campo y un subconjunto S de L , existe un subcampo más pequeño de L que contiene a K y S . Es la intersección de todos los subcampos de L que contienen a K y S , y se denota por K ( S ) (que se lee como " K ${\displaystyle L/K}$ Se dice queK(S) es el campogeneradoporSsobreK, y queSes unconjunto generadordeK(S) sobreK. Cuandoes finito, se escribeen lugar dey se dice queK(S)es ${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),}$finitamente generado sobre K . Si S consiste en un solo elemento s , la extensión K ( s ) / K se llama extensión simple ^{[4] [5]} y s se llama elemento primitivo de la extensión. ^[6]

A menudo se dice que un campo de extensión de la forma K ( S ) resulta de laAdjunción deSaK.^[7][8]

En la característica 0, cada extensión finita es una extensión simple. Este es el teorema del elemento primitivo , que no es válido para cuerpos de característica distinta de cero.

Si una extensión simple K ( s ) / K no es finita, el campo K ( s ) es isomorfo al campo de fracciones racionales en s sobre K .

Advertencias

La notación L / K es puramente formal y no implica la formación de un anillo de cocientes o un grupo de cocientes ni ningún otro tipo de división. En cambio, la barra oblicua expresa la palabra "sobre". En alguna literatura se utiliza la notación L : K .

A menudo es deseable hablar de extensiones de campo en situaciones en las que el campo pequeño no está realmente contenido en el más grande, sino que está naturalmente incluido. Para este propósito, se define de manera abstracta una extensión de campo como un homomorfismo de anillo inyectivo entre dos campos. Todo homomorfismo de anillo no nulo entre campos es inyectivo porque los campos no poseen ideales propios no triviales , por lo que las extensiones de campo son precisamente los morfismos en la categoría de campos .

De ahora en adelante suprimiremos el homomorfismo inyectivo y asumiremos que estamos tratando con subcampos reales.

Ejemplos

El cuerpo de los números complejos es un cuerpo de extensión del cuerpo de los números reales , y a su vez es un cuerpo de extensión del cuerpo de los números racionales . Claramente, entonces, es también una extensión del cuerpo. Tenemos porque es una base, por lo que la extensión es finita. Esta es una extensión simple porque (la cardinalidad del continuo ), por lo que esta extensión es infinita. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$ ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i).}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}}$

El campo

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},}$

es un campo de extensión de también claramente una extensión simple. El grado es 2 porque puede servir como base. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {2}}\right\}}$

El campo

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}}$

es un campo de extensión de ambos y de grado 2 y 4 respectivamente. También es una extensión simple, como se puede demostrar que ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}}$

Las extensiones finitas de también se denominan cuerpos de números algebraicos y son importantes en la teoría de números . Otro cuerpo de extensión de los racionales, que también es importante en la teoría de números, aunque no es una extensión finita, es el cuerpo de números p-ádicos para un número primo p . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Es común construir un cuerpo de extensión de un cuerpo dado K como un anillo cociente del anillo de polinomios K [ X ] para "crear" una raíz para un polinomio dado f ( X ). Supongamos, por ejemplo, que K no contiene ningún elemento x con x ² = −1. Entonces el polinomio es irreducible en K [ X ], en consecuencia, el ideal generado por este polinomio es maximal , y es un cuerpo de extensión de K que contiene un elemento cuyo cuadrado es −1 (a saber, la clase de residuo de X ). ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle L=K[X]/(X^{2}+1)}$

Al iterar la construcción anterior, se puede construir un campo de división de cualquier polinomio de K [ X ]. Este es un campo de extensión L de K en el que el polinomio dado se divide en un producto de factores lineales.

Si p es cualquier número primo y n es un entero positivo, existe un cuerpo finito único (salvo isomorfismo) con p ⁿ elementos; este es un cuerpo de extensión del cuerpo primo con p elementos. ${\displaystyle GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Dado un cuerpo K , podemos considerar el cuerpo K ( X ) de todas las funciones racionales en la variable X con coeficientes en K ; los elementos de K ( X ) son fracciones de dos polinomios sobre K , y de hecho K ( X ) es el cuerpo de fracciones del anillo de polinomios K [ X ]. Este cuerpo de funciones racionales es un cuerpo de extensión de K . Esta extensión es infinita.

Dada una superficie de Riemann M , el conjunto de todas las funciones meromórficas definidas en M es un cuerpo, denotado por Es un cuerpo de extensión trascendental de si identificamos cada número complejo con la función constante correspondiente definida en M . De manera más general, dada una variedad algebraica V sobre algún cuerpo K , el cuerpo de funciones K ( V ), que consiste en las funciones racionales definidas en V , es un cuerpo de extensión de K . ${\displaystyle \mathbb {C} (M).}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Extensión algebraica

Un elemento x de una extensión de cuerpo es algebraico sobre K si es raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes en K . Por ejemplo, es algebraico sobre los números racionales, porque es raíz de Si un elemento x de L es algebraico sobre K , el polinomio mónico de menor grado que tiene a x como raíz se denomina polinomio minimal de x . Este polinomio minimal es irreducible sobre K . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$

Un elemento s de L es algebraico sobre K si y solo si la extensión simple K ( s ) / K es una extensión finita. En este caso el grado de la extensión es igual al grado del polinomio mínimo, y una base del espacio vectorial K ( s ) consiste en donde d es el grado del polinomio mínimo. ${\displaystyle 1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},}$

El conjunto de los elementos de L que son algebraicos sobre K forman una subextensión, que se llama clausura algebraica de K en L . Esto resulta de la caracterización precedente: si s y t son algebraicos, las extensiones K ( s ) / K y K ( s )( t ) / K ( s ) son finitas. Por tanto, K ( s , t ) / K también es finito, así como las subextensiones K ( s ± t ) / K , K ( st ) / K y K (1/ s ) / K (si s ≠ 0 ). De ello se deduce que s ± t , st y 1/ s son todas algebraicas.

Una extensión algebraica es una extensión tal que cada elemento de L es algebraico sobre K . De manera equivalente, una extensión algebraica es una extensión que se genera a partir de elementos algebraicos. Por ejemplo, es una extensión algebraica de , porque y son algebraicos sobre ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Una extensión simple es algebraica si y solo si es finita. Esto implica que una extensión es algebraica si y solo si es la unión de sus subextensiones finitas, y que toda extensión finita es algebraica.

Todo cuerpo K tiene una clausura algebraica, que es hasta un isomorfismo el cuerpo de extensión más grande de K que es algebraico sobre K , y también el cuerpo de extensión más pequeño tal que todo polinomio con coeficientes en K tiene una raíz en él. Por ejemplo, es una clausura algebraica de , pero no una clausura algebraica de , ya que no es algebraico sobre (por ejemplo π no es algebraico sobre ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Extensión trascendental

Dada una extensión de cuerpo , un subconjunto S de L se llama algebraicamente independiente sobre K si no existe ninguna relación polinómica no trivial con coeficientes en K entre los elementos de S. La cardinalidad más grande de un conjunto algebraicamente independiente se llama grado de trascendencia de L / K . Siempre es posible encontrar un conjunto S , algebraicamente independiente sobre K , tal que L / K ( S ) sea algebraico. Tal conjunto S se llama base de trascendencia de L / K . Todas las bases de trascendencia tienen la misma cardinalidad, igual al grado de trascendencia de la extensión. Se dice que una extensión es ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$puramente trascendental si y solo si existe una base de trascendenciaSdetal queL=K(S). Tal extensión tiene la propiedad de que todos los elementos deLexcepto los deKson trascendentales sobreK, pero, sin embargo, hay extensiones con esta propiedad que no son puramente trascendentales: una clase de tales extensiones toman la formaL/Kdonde tantoLcomoKson algebraicamente cerradas. ${\displaystyle L/K}$

Si L / K es puramente trascendental y S es una base de trascendencia de la extensión, no se sigue necesariamente que L = K ( S ). Por el contrario, incluso cuando se conoce una base de trascendencia, puede ser difícil decidir si la extensión es puramente separable y, si lo es, puede ser difícil encontrar una base de trascendencia S tal que L = K ( S ).

Por ejemplo, considere la extensión donde es trascendental sobre y es una raíz de la ecuación Tal extensión puede definirse como en la que y son las clases de equivalencia de y Obviamente, el conjunto singleton es trascendental sobre y la extensión es algebraica; por lo tanto, es una base de trascendencia que no genera la extensión . De manera similar, es una base de trascendencia que no genera toda la extensión. Sin embargo, la extensión es puramente trascendental ya que, si un conjunto tiene y y, por lo tanto, genera toda la extensión. ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle t=y/x,}$ ${\displaystyle x=t^{2}}$ ${\displaystyle y=t^{3},}$ ${\displaystyle t}$

Las extensiones puramente trascendentales de un cuerpo algebraicamente cerrado se dan como cuerpos de funciones de variedades racionales . El problema de encontrar una parametrización racional de una variedad racional es equivalente al problema de encontrar una base de trascendencia que genere toda la extensión.

Extensiones normales, separables y de Galois

Una extensión algebraica se llama normal si todo polinomio irreducible en K [ X ] que tiene una raíz en L se factoriza completamente en factores lineales sobre L . Toda extensión algebraica F / K admite una clausura normal L , que es un cuerpo de extensión de F tal que es normal y que es minimal con esta propiedad. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$

Una extensión algebraica se denomina separable si el polinomio mínimo de cada elemento de L sobre K es separable , es decir, no tiene raíces repetidas en un cierre algebraico sobre K. Una extensión de Galois es una extensión de campo que es a la vez normal y separable. ${\displaystyle L/K}$

Una consecuencia del teorema del elemento primitivo establece que toda extensión separable finita tiene un elemento primitivo (es decir, es simple).

Dada cualquier extensión de cuerpo , podemos considerar su grupo de automorfismos , que consiste en todos los automorfismos de cuerpo α : L → L con α ( x )= x para todo x en K. Cuando la extensión es de Galois, este grupo de automorfismos se denomina grupo de Galois de la extensión. Las extensiones cuyo grupo de Galois es abeliano se denominan extensiones abelianas . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K)}$

Para una extensión de campo dada , a menudo nos interesan los campos intermedios F (subcampos de L que contienen a K ). La importancia de las extensiones de Galois y de los grupos de Galois es que permiten una descripción completa de los campos intermedios: existe una biyección entre los campos intermedios y los subgrupos del grupo de Galois, descrita por el teorema fundamental de la teoría de Galois . ${\displaystyle L/K}$

Generalizaciones

Las extensiones de campo se pueden generalizar a extensiones de anillo que consisten en un anillo y uno de sus subanillos . Un análogo no conmutativo más cercano son las álgebras simples centrales (CSAs): extensiones de anillo sobre un cuerpo, que son álgebras simples (sin ideales bilaterales no triviales, como para un cuerpo) y donde el centro del anillo es exactamente el cuerpo. Por ejemplo, la única extensión de cuerpo finito de los números reales son los números complejos, mientras que los cuaterniones son un álgebra simple central sobre los reales, y todas las CSA sobre los reales son equivalentes de Brauer a los reales o los cuaterniones. Las CSA se pueden generalizar aún más a las álgebras de Azumaya , donde el cuerpo base se reemplaza por un anillo local conmutativo .

Extensión de escalares

Dada una extensión de campo, se pueden " extender escalares " sobre objetos algebraicos asociados. Por ejemplo, dado un espacio vectorial real, se puede producir un espacio vectorial complejo mediante complejización . Además de los espacios vectoriales, se puede realizar la extensión de escalares para álgebras asociativas definidas sobre el campo, como polinomios o álgebras de grupo y las representaciones de grupo asociadas . La extensión de escalares de polinomios se utiliza a menudo de forma implícita, simplemente considerando los coeficientes como elementos de un campo mayor, pero también se puede considerar de forma más formal. La extensión de escalares tiene numerosas aplicaciones, como se analiza en extensión de escalares: aplicaciones .

Véase también

• Teoría de campos
• Glosario de teoría de campos
• Torre de campos
• Extensión primaria
• Extensión regular

Notas

1. Fraleigh (1976, pág. 293)
2. Herstein (1964, pág. 167)
3. McCoy (1968, pág. 116)
4. Fraleigh (1976, pág. 298)
5. Herstein (1964, pág. 193)
6. Fraleigh (1976, pág. 363)
7. Fraleigh (1976, pág. 319)
8. Herstein (1964, pág. 169)

Referencias

• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (cuarta edición corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
• McCoy, Neal H. (1968), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn and Bacon , LCCN  68015225

Enlaces externos

• "Extensión de un campo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]