Mapa logístico

Mapa polinomial simple que muestra un comportamiento caótico

El mapa logístico es una función polinómica (equivalentemente, una relación de recurrencia ) de grado 2 , a menudo considerada como un ejemplo arquetípico de cómo puede surgir un comportamiento complejo y caótico a partir de ecuaciones dinámicas no lineales muy simples . El mapa, utilizado inicialmente por Edward Lorenz en la década de 1960 para mostrar soluciones irregulares (por ejemplo, la ecuación 3 de ^[1] ), se popularizó en un artículo de 1976 del biólogo Robert May ^[2] , en parte como un modelo demográfico de tiempo discreto análogo a la ecuación logística escrita por Pierre François Verhulst ^[3] . Matemáticamente, el mapa logístico se escribe

donde x _n es un número entre cero y uno, que representa la relación entre la población existente y la población máxima posible. Esta ecuación diferencial no lineal pretende captar dos efectos:

• reproducción , donde la población aumentará a una tasa proporcional a la población actual cuando el tamaño de la población es pequeño,
• hambruna (mortalidad dependiente de la densidad), donde la tasa de crecimiento disminuirá a una tasa proporcional al valor obtenido al restar la "capacidad de carga" teórica del medio ambiente a la población actual.

Los valores habituales de interés para el parámetro r son aquellos en el intervalo [0, 4] , de modo que x _n permanece acotado en [0, 1] . El caso r = 4 del mapa logístico es una transformación no lineal tanto del mapa de desplazamiento de bits como del caso μ = 2 del mapa de tiendas de campaña . Si r > 4 , esto conduce a tamaños de población negativos. (Este problema no aparece en el antiguo modelo de Ricker , que también exhibe dinámica caótica). También se pueden considerar valores de r en el intervalo [−2, 0] , de modo que x _n permanece acotado en [−0.5, 1.5] . ^[4]

Características del mapa

Comportamiento dependiente dea

La siguiente imagen muestra el contenido de amplitud y frecuencia de algunas iteraciones de mapas logísticos para valores de parámetros que van de 2 a 4.

Variando el parámetro r se observa el siguiente comportamiento:

Evolución de diferentes condiciones iniciales en función de r (el parámetro k de la figura corresponde al parámetro r de la definición del artículo)

• Con r entre 0 y 1, la población eventualmente morirá, independientemente de la población inicial.
• Con r entre 1 y 2, la población se acercará rápidamente al valor ⁠r -1/a⁠ , independientemente de la población inicial.

• 

  Evolución de diferentes condiciones iniciales en función de r con sesgo (el parámetro k de la figura corresponde al parámetro r de la definición del artículo)

  Con r entre 2 y 3, la población también acabará acercándose al mismo valor .r -1/a⁠ , pero primero fluctuará alrededor de ese valor durante algún tiempo. La tasa de convergencia es lineal, excepto para r = 3 , cuando es dramáticamente lenta, menos que lineal (ver Memoria de bifurcación ).
• Con r entre 3 y 1 +  √ 6 ≈ 3,44949 la población se aproximará a oscilaciones permanentes entre dos valores. Estos dos valores dependen de r y están dados por ^[4] . ${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{2r}}\left(r+1\pm {\sqrt {(r-3)(r+1)}}\right)}$
• Con r entre 3,44949 y 3,54409 (aproximadamente), desde casi todas las condiciones iniciales la población se aproximará a oscilaciones permanentes entre cuatro valores. El último número es una raíz de un polinomio de grado 12 (secuencia A086181 en la OEIS ).
• Con r aumentando más allá de 3,54409, desde casi todas las condiciones iniciales la población se acercará a oscilaciones entre 8 valores, luego 16, 32, etc. Las longitudes de los intervalos de parámetros que producen oscilaciones de una longitud dada disminuyen rápidamente; la relación entre las longitudes de dos intervalos de bifurcación sucesivos se acerca a la constante de Feigenbaum δ ≈ 4,66920 . Este comportamiento es un ejemplo de una cascada de duplicación de períodos .
• En r ≈ 3,56995 (secuencia A098587 en la OEIS ) se produce el inicio del caos, al final de la cascada de duplicación del período. A partir de casi todas las condiciones iniciales, ya no vemos oscilaciones de período finito. Pequeñas variaciones en la población inicial producen resultados radicalmente diferentes a lo largo del tiempo, una característica fundamental del caos.
• La mayoría de los valores de r superiores a 3,56995 muestran un comportamiento caótico, pero todavía hay ciertos rangos aislados de r que muestran un comportamiento no caótico; a estos a veces se los llama islas de estabilidad . Por ejemplo, a partir de 1 +  √ 8 ^[5] (aproximadamente 3,82843) hay un rango de parámetros r que muestran oscilación entre tres valores, y para valores ligeramente superiores de r oscilación entre 6 valores, luego 12, etc.
• En , surge el ciclo estable del período 3. ^[6] ${\displaystyle r=1+{\sqrt {8}}=3.8284...}$
• El desarrollo del comportamiento caótico de la secuencia logística a medida que el parámetro r varía de aproximadamente 3,56995 a aproximadamente 3,82843 se denomina a veces escenario de Pomeau-Manneville , caracterizado por una fase periódica (laminar) interrumpida por ráfagas de comportamiento aperiódico. Este escenario tiene una aplicación en dispositivos semiconductores. ^[7] Hay otros rangos que producen oscilación entre 5 valores, etc.; todos los períodos de oscilación ocurren para algunos valores de r . Una ventana de duplicación de período con parámetro c es un rango de valores r que consiste en una sucesión de subrangos. El k ésimo subrango contiene los valores de r para los que hay un ciclo estable (un ciclo que atrae un conjunto de puntos iniciales de unidad de medida) de período 2 ^k c . Esta secuencia de subrangos se denomina cascada de armónicos . ^[8] En un subrango con un ciclo estable de período 2 ^{k *} c , existen ciclos inestables de período 2 ^k c para todo k < k * . El valor r al final de la secuencia infinita de subrangos se denomina punto de acumulación de la cascada de armónicos. A medida que r aumenta hay una sucesión de nuevas ventanas con diferentes valores de c . La primera es para c = 1 ; todas las ventanas posteriores que involucran c impar ocurren en orden decreciente de c comenzando con c arbitrariamente grande . ^{[8] [9]}
• En , dos bandas caóticas del diagrama de bifurcación se intersecan en el primer punto de Misiurewicz para el mapa logístico. Satisface las ecuaciones . ^[10] ${\displaystyle r=3.678...,x=0.728...}$ ${\displaystyle r^{3}-2r^{2}-4r-8=0,x=1-1/r}$
• Más allá de r = 4 , casi todos los valores iniciales eventualmente abandonan el intervalo [0,1] y divergen. El conjunto de condiciones iniciales que permanecen dentro de [0,1] forman un conjunto de Cantor y la dinámica restringida a este conjunto de Cantor es caótica. ^[11]

Para cualquier valor de r existe como máximo un ciclo estable. Si existe un ciclo estable, es globalmente estable y atrae a casi todos los puntos. ^{[12] : 13} Algunos valores de r con un ciclo estable de algún período tienen infinitos ciclos inestables de varios períodos.

El diagrama de bifurcación de la derecha resume esto. El eje horizontal muestra los valores posibles del parámetro r, mientras que el eje vertical muestra el conjunto de valores de x que las iteraciones de la ecuación logística con ese valor r visitan asintóticamente desde casi todas las condiciones iniciales .

Diagrama de bifurcación para el mapa logístico. El atractor para cualquier valor del parámetro r se muestra en la línea vertical en ese r .

El diagrama de bifurcación es autosimilar : si ampliamos el valor r ≈ 3,82843 mencionado anteriormente y nos centramos en un brazo de los tres, la situación cercana parece una versión encogida y ligeramente distorsionada de todo el diagrama. Lo mismo ocurre con todos los demás puntos no caóticos. Este es un ejemplo de la conexión profunda y ubicua entre el caos y los fractales .

Ampliación de la región caótica del mapa.

Regiones estables dentro de la región caótica, donde se produce una bifurcación tangente en el límite entre el atractor caótico y periódico, dando lugar a trayectorias intermitentes como las descritas en el escenario de Pomeau-Manneville .

También podemos considerar valores negativos de r :

• Para r entre -2 y -1 la secuencia logística también presenta un comportamiento caótico. ^[4]
• Con r entre -1 y 1 -  √ 6 y para x ₀ entre 1/ r y 1-1/ r , la población se aproximará a oscilaciones permanentes entre dos valores, como en el caso de r entre 3 y 1 +  √ 6 , y dado por la misma fórmula. ^[4]

El caos y el mapa logístico

Diagrama de telaraña del mapa logístico, que muestra un comportamiento caótico para la mayoría de los valores de r > 3,57

Función logística f (azul) y sus versiones iteradas f ² , f ³ , f ⁴ y f ⁵ para r = 3,5 . Por ejemplo, para cualquier valor inicial en el eje horizontal, f ⁴ da el valor de la iteración cuatro iteraciones más tarde.

La relativa simplicidad del mapa logístico lo convierte en un punto de entrada ampliamente utilizado para considerar el concepto de caos. Una descripción aproximada del caos es que los sistemas caóticos exhiben una gran sensibilidad a las condiciones iniciales, una propiedad del mapa logístico para la mayoría de los valores de r entre aproximadamente 3,57 y 4 (como se señaló anteriormente). ^[2] Una fuente común de dicha sensibilidad a las condiciones iniciales es que el mapa representa un plegado y estiramiento repetidos del espacio en el que está definido. En el caso del mapa logístico, la ecuación diferencial cuadrática que lo describe puede considerarse como una operación de estiramiento y plegado en el intervalo (0,1) . ^[13]

La siguiente figura ilustra el estiramiento y plegado sobre una secuencia de iteraciones del mapa. La figura (a), izquierda, muestra un gráfico de Poincaré bidimensional del espacio de estados del mapa logístico para r = 4 y muestra claramente la curva cuadrática de la ecuación diferencial ( 1 ). Sin embargo, podemos incrustar la misma secuencia en un espacio de estados tridimensional, para investigar la estructura más profunda del mapa. La figura (b), derecha, demuestra esto, mostrando cómo los puntos inicialmente cercanos comienzan a divergir, particularmente en aquellas regiones de x _t correspondientes a las secciones más empinadas del gráfico.

Los gráficos de Poincaré bidimensionales y tridimensionales muestran la estructura de estiramiento y plegado del mapa logístico.

Este estiramiento y plegado no sólo produce una divergencia gradual de las secuencias de iteraciones, sino una divergencia exponencial (ver exponentes de Lyapunov ), evidenciada también por la complejidad e imprevisibilidad del mapa logístico caótico. De hecho, la divergencia exponencial de las secuencias de iteraciones explica la conexión entre el caos y la imprevisibilidad: un pequeño error en el supuesto estado inicial del sistema tenderá a corresponder a un gran error más adelante en su evolución. Por lo tanto, las predicciones sobre estados futuros se vuelven progresivamente (de hecho, exponencialmente ) peores cuando hay incluso errores muy pequeños en nuestro conocimiento del estado inicial. Esta cualidad de imprevisibilidad y aparente aleatoriedad llevó a que la ecuación del mapa logístico se usara como un generador de números pseudoaleatorios en las primeras computadoras. ^[13]

En r = 2, la función se interseca precisamente en el punto máximo, por lo que la convergencia al punto de equilibrio es del orden de . En consecuencia, el punto de equilibrio se denomina "superestable". Su exponente de Lyapunov es . Un argumento similar muestra que hay un valor superestable dentro de cada intervalo donde el sistema dinámico tiene un ciclo estable. Esto se puede ver en el gráfico del exponente de Lyapunov como caídas pronunciadas. ^[14] ${\displaystyle rx(1-x)}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle \delta ^{2^{n}}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle r}$

Dado que el mapa está confinado a un intervalo en la línea de números reales, su dimensión es menor o igual a la unidad. Las estimaciones numéricas arrojan una dimensión de correlación de0,500 ± 0,005 ( Grassberger , 1983), una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 0,538 ( Grassberger, 1981) y una dimensión de información de aproximadamente 0,5170976 ( Grassberger , 1983) para r ≈ 3,5699456 (inicio del caos). Nota: Se puede demostrar que la dimensión de correlación está ciertamente entre 0,4926 y 0,5024.

Sin embargo, a menudo es posible hacer afirmaciones precisas y exactas sobre la probabilidad de un estado futuro en un sistema caótico. Si un sistema dinámico (posiblemente caótico) tiene un atractor , entonces existe una medida de probabilidad que da la proporción de tiempo a largo plazo que el sistema pasa en las diversas regiones del atractor. En el caso del mapa logístico con parámetro r = 4 y un estado inicial en (0,1) , el atractor es también el intervalo (0,1) y la medida de probabilidad corresponde a la distribución beta con parámetros a = 0,5 y b = 0,5 . Específicamente, ^[15] la medida invariante es

${\displaystyle {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}.}$

La imprevisibilidad no es aleatoriedad, pero en algunas circunstancias se parece mucho a ella. Por lo tanto, y afortunadamente, incluso si sabemos muy poco sobre el estado inicial del mapa logístico (o de algún otro sistema caótico), aún podemos decir algo sobre la distribución de estados en un futuro arbitrario y utilizar este conocimiento para fundamentar decisiones basadas en el estado del sistema.

Mapa logístico con función exponente de Lyapunov .

Representación gráfica

El diagrama de bifurcación del mapa logístico se puede visualizar con el siguiente código Python :

importar  numpy  como  npimportar  matplotlib.pyplot  como  pltintervalo  =  ( 2.8 ,  4 )  # inicio, finprecisión  =  0,0001reps  =  600  # número de repeticionesnumtoplot  =  200lims  =  np . ceros ( repeticiones )fig ,  biax  =  plt . subparcelas ()Figura . set_size_inches ( 16 ,  9 )lims [ 0 ]  =  np . random . rand ()para  r  en  np . arange ( intervalo [ 0 ],  intervalo [ 1 ],  precisión ): para  i  en  rango ( repeticiones  -  1 ): lím [ i  +  1 ]  =  r  *  lím [ i ]  *  ( 1  -  lím [ i ]) biax . plot ([ r ]  *  numtoplot ,  lims [ reps  -  numtoplot  :],  "b." ,  tamaño del marcador = 0.02 )biax . set ( xlabel = "r" ,  ylabel = "x" ,  title = "mapa logístico" )plt . mostrar ()

Casos especiales del mapa

Límite superior cuando0 ≤ r ≤ 1

Aunque las soluciones exactas para la relación de recurrencia solo están disponibles en un pequeño número de casos, se conoce un límite superior de forma cerrada en el mapa logístico cuando 0 ≤ r ≤ 1 . ^[16] Hay dos aspectos del comportamiento del mapa logístico que deberían ser capturados por un límite superior en este régimen: el decaimiento geométrico asintótico con r constante y el decaimiento inicial rápido cuando x ₀ está cerca de 1, impulsado por el término (1 − x _n ) en la relación de recurrencia. El siguiente límite captura ambos efectos:

${\displaystyle \forall n\in \{0,1,\ldots \}\quad {\text{and}}\quad x_{0},r\in [0,1],\quad x_{n}\leq {\frac {x_{0}}{r^{-n}+x_{0}n}}.}$

Solución cuandor = 4

El caso especial de r = 4 puede de hecho resolverse exactamente, al igual que el caso con r = 2 ; ^[17] sin embargo, el caso general solo puede predecirse estadísticamente. ^[18] La solución cuando r = 4 es, ^{[17] [19]}

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2^{n}\theta \pi \right),}$

donde el parámetro de condición inicial θ viene dado por

${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}\left({\sqrt {x_{0}}}\right).}$

Para θ racional , después de un número finito de iteraciones, x _n se convierte en una secuencia periódica. Pero casi todos los θ son irracionales y, para θ irracionales , x _n nunca se repite: es no periódico. Esta ecuación de solución demuestra claramente las dos características clave del caos: estiramiento y plegado: el factor 2 ⁿ muestra el crecimiento exponencial del estiramiento, que resulta en una dependencia sensible de las condiciones iniciales , mientras que la función seno al cuadrado mantiene a x _n plegado dentro del rango [0,1] .

Para r = 4 una solución equivalente en términos de números complejos en lugar de funciones trigonométricas es ^[17]

${\displaystyle x_{n}={\frac {-\alpha ^{2^{n}}-\alpha ^{-2^{n}}+2}{4}}}$

donde α es cualquiera de los números complejos

${\displaystyle \alpha =1-2x_{0}\pm {\sqrt {\left(1-2x_{0}\right)^{2}-1}}}$

con módulo igual a 1. Así como la función seno al cuadrado en la solución trigonométrica no produce ni contracción ni expansión del conjunto de puntos visitados, en la última solución este efecto se logra mediante el módulo unitario de α .

Por el contrario, la solución cuando r = 2 es ^[17]

${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\left(1-2x_{0}\right)^{2^{n}}}$

para x ₀ ∈ [0,1) . Como (1 − 2 x ₀ ) ∈ (−1,1) para cualquier valor de x ₀ distinto del punto fijo inestable 0, el término (1 − 2 x ₀ ) ^{2 n} tiende a 0 cuando n tiende a infinito, por lo que x _n tiende al punto fijo estable ⁠1/2⁠ .

Encontrar ciclos de cualquier longitud cuandor = 4

Para el caso r = 4 , desde casi todas las condiciones iniciales la secuencia iterativa es caótica. Sin embargo, existe un número infinito de condiciones iniciales que conducen a ciclos, y de hecho existen ciclos de longitud k para todos los enteros k > 0 . Podemos explotar la relación de la función logística con la transformación diádica (también conocida como función de desplazamiento de bits ) para encontrar ciclos de cualquier longitud. Si x sigue la función logística x _{n + 1} = 4 x _n (1 − x _n ) e y sigue la transformación diádica

${\displaystyle y_{n+1}={\begin{cases}2y_{n}&0\leq y_{n}<{\tfrac {1}{2}}\\2y_{n}-1&{\tfrac {1}{2}}\leq y_{n}<1,\end{cases}}}$

Entonces los dos están relacionados por un homeomorfismo.

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2\pi y_{n}\right).}$

La razón por la que la transformación diádica también se denomina mapa de desplazamiento de bits es que cuando y se escribe en notación binaria, el mapa mueve el punto binario un lugar a la derecha (y si el bit a la izquierda del punto binario se ha convertido en un "1", este "1" se cambia a un "0"). Un ciclo de longitud 3, por ejemplo, ocurre si una iteración tiene una secuencia repetitiva de 3 bits en su expansión binaria (que no es también una secuencia repetitiva de un bit): 001, 010, 100, 110, 101 o 011. La iteración 001001001... se asigna a 010010010..., que se asigna a 100100100..., que a su vez se asigna al 001001001... original; por lo que este es un ciclo de 3 del mapa de desplazamiento de bits. Y las otras tres secuencias repetidas de expansión binaria dan el 3-ciclo 110110110... → 101101101... → 011011011... → 110110110.... Cualquiera de estos 3-ciclos se puede convertir a forma fraccionaria: por ejemplo, el primer 3-ciclo dado se puede escribir como ⁠1/7⁠ → ⁠2/7⁠ → ⁠4/7⁠ → ⁠1/7⁠ . Usando la traducción anterior del mapa de desplazamiento de bits al mapa logístico se obtiene el ciclo logístico correspondiente 0,611260467... → 0,950484434... → 0,188255099... → 0,611260467.... De manera similar, podríamos traducir el otro 3-ciclo de desplazamiento de bits en su ciclo logístico correspondiente. Del mismo modo, se pueden encontrar ciclos de cualquier longitud k en el mapa de desplazamiento de bits y luego traducirlos en los ciclos logísticos correspondientes. ${\displaystyle r=4}$

Sin embargo, dado que casi todos los números en [0,1) son irracionales, casi todas las condiciones iniciales del mapa de desplazamiento de bits conducen a la no periodicidad del caos. Esta es una forma de ver que el mapa logístico r = 4 es caótico para casi todas las condiciones iniciales.

El número de ciclos de longitud (mínima) k = 1, 2, 3,… para la función logística con r = 4 ( función de tienda con μ = 2 ) es una secuencia entera conocida (secuencia A001037 en la OEIS ): 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161.... Esto nos dice que la función logística con r = 4 tiene 2 puntos fijos, 1 ciclo de longitud 2, 2 ciclos de longitud 3 y así sucesivamente. Esta secuencia toma una forma particularmente simple para el primo k : 2 ⋅ ⁠2k ^- 1-1^​/a⁠ . Por ejemplo: 2 ⋅  ⁠2 ^{13 − 1} − 1/13⁠ = 630 es el número de ciclos de longitud 13. Dado que este caso del mapa logístico es caótico para casi todas las condiciones iniciales, todos estos ciclos de longitud finita son inestables.

Universalidad

La ruta de la duplicación de períodos hacia el caos

En el mapa logístico, tenemos una función y queremos estudiar qué sucede cuando iteramos el mapa muchas veces. El mapa puede caer en un punto fijo, un ciclo fijo o caos. Cuando el mapa cae en un ciclo fijo estable de longitud , encontraríamos que el gráfico de y el gráfico de se interseca en puntos, y la pendiente del gráfico de está acotada en en esas intersecciones. ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

Por ejemplo, cuando , tenemos una única intersección, con pendiente acotada en , lo que indica que es un único punto fijo estable. ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

A medida que aumenta más allá de , el punto de intersección se divide en dos, lo que es una duplicación del período. Por ejemplo, cuando , hay tres puntos de intersección, con el del medio inestable y los otros dos estables. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle r=3.4}$

A medida que se acerca a , se produce otra duplicación del período de la misma manera. Las duplicaciones del período se producen cada vez con mayor frecuencia, hasta que en un cierto , las duplicaciones del período se vuelven infinitas y el mapa se vuelve caótico. Esta es la ruta de duplicación del período hacia el caos . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.45}$ ${\displaystyle r\approx 3.56994567}$

Límite de escala

Aproximación al límite de escala a medida que se acerca desde abajo. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

En el punto de caos , a medida que repetimos las duplicaciones de períodos , los gráficos parecen asemejarse entre sí, excepto que se encogen hacia el medio y giran 180 grados, convergiendo en un fractal. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

Al observar las imágenes, se puede observar que en el punto de caos , la curva de parece un fractal. Además, a medida que repetimos las duplicaciones de períodos , los gráficos parecen parecerse entre sí, excepto que se encogen hacia el medio y se rotan 180 grados. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

Esto nos sugiere un límite de escala: si duplicamos repetidamente la función, luego la escalamos hacia arriba por para una cierta constante : entonces en el límite, terminaríamos con una función que satisface . Esta es una función de Feigenbaum , que aparece en la mayoría de las rutas de duplicación de período hacia el caos (por lo tanto, es un ejemplo de universalidad ). Además, a medida que los intervalos de duplicación de período se vuelven cada vez más cortos, la relación entre dos intervalos de duplicación de período converge a un límite, la primera constante de Feigenbaum . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \delta =4.6692016\cdots }$

Para los valores incorrectos del factor de escala , el mapa no converge a un límite, pero cuando , converge. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

En el punto de caos , a medida que repetimos la iteración de la ecuación funcional con , encontramos que el mapa converge a un límite. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

La constante se puede encontrar numéricamente probando muchos valores posibles. Para los valores incorrectos, la función no converge a un límite, pero cuando es , converge. Esta es la segunda constante de Feigenbaum. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

Régimen caótico

En el régimen caótico, , el límite de las iteraciones del mapa, se convierte en bandas oscuras caóticas intercaladas con bandas brillantes no caóticas. ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

En el régimen caótico, , el límite de las iteraciones del mapa, se convierte en bandas oscuras caóticas intercaladas con bandas brillantes no caóticas. ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

Otros límites de escala

Cuando se acerca a , tenemos otro enfoque de duplicación de período para el caos, pero esta vez con períodos 3, 6, 12, ... Esto nuevamente tiene las mismas constantes de Feigenbaum . El límite de también es la misma función de Feigenbaum . Este es un ejemplo de universalidad . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\approx 3.8494344}$ ${\displaystyle \delta ,\alpha }$ ${\textstyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$

Mapa logístico que se acerca al límite de escala del caos que duplica el período desde abajo. En el límite, tiene la misma forma que la de , ya que todas las rutas de duplicación del período hacia el caos son las mismas (universalidad). ${\displaystyle r^{*}=3.84943\dots }$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

También podemos considerar la ruta de triplicación de períodos hacia el caos al elegir una secuencia de tal que sea el valor más bajo en la ventana de períodos del diagrama de bifurcación. Por ejemplo, tenemos , con el límite . Esto tiene un par diferente de constantes de Feigenbaum . ^[20] Y converge al punto fijo a Como otro ejemplo, el período-4-pling tiene un par de constantes de Feigenbaum distintas de las de la duplicación del período, aunque el período-4-pling se alcanza mediante dos duplicaciones del período. En detalle, defina tal que sea el valor más bajo en la ventana de períodos del diagrama de bifurcación. Entonces tenemos , con el límite . Esto tiene un par diferente de constantes de Feigenbaum . ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 3^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.8284,r_{2}=3.85361,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty }=3.854077963\dots }$ ${\displaystyle \delta =55.26\dots ,\alpha =9.277\dots }$ ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(f(-x/\alpha )))}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 4^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.960102,r_{2}=3.9615554,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty }=3.96155658717\dots }$ ${\displaystyle \delta =981.6\dots ,\alpha =38.82\dots }$

En general, cada ruta de multiplicación de períodos hacia el caos tiene su propio par de constantes de Feigenbaum. De hecho, normalmente hay más de una. Por ejemplo, para la multiplicación de períodos, hay al menos 9 pares diferentes de constantes de Feigenbaum. ^[20]

Generalmente, , y la relación se vuelve exacta a medida que ambos números aumentan hasta el infinito: . ${\textstyle 3\delta \approx 2\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle \lim \delta /\alpha ^{2}=2/3}$

Universalidad de mapas 1-D de Feigenbaum

Universalidad de mapas unidimensionales con máximos parabólicos y constantes de Feigenbaum , . ^{[21] [22]} ${\displaystyle \delta =4.669201...}$ ${\displaystyle \alpha =2.502907...}$

El aumento gradual de la dinámica de cambios en el intervalo pasa de regular a caótica ^{[23] con} un diagrama de bifurcación cualitativamente igual al del mapa logístico. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Estimación de renormalización

Las constantes de Feigenbaum se pueden estimar mediante un argumento de renormalización. (Sección 10.7, ^[14] ).

Por universalidad, podemos utilizar otra familia de funciones que también sufre duplicaciones de período repetidas en su camino hacia el caos, y aunque no es exactamente el mapa logístico, aún así produciría las mismas constantes de Feigenbaum.

Definir la familia La familia tiene un punto de equilibrio en cero y, a medida que aumenta, sufre una bifurcación de duplicación de período en . $${\displaystyle f_{r}(x)=-(1+r)x+x^{2}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=r_{0},r_{1},r_{2},...}$

La primera bifurcación ocurre en . Después de la bifurcación de duplicación de período, podemos resolver la órbita estable de período 2 mediante , lo que produce En algún punto , la órbita estable de período 2 experimenta nuevamente una bifurcación de duplicación de período, lo que produce una órbita estable de período 4. Para averiguar cómo es la órbita estable, "hacemos zoom" alrededor de la región de , utilizando la transformada afín . Ahora, por álgebra de rutina, tenemos donde . Aproximadamente en , ocurre la segunda bifurcación, por lo tanto . ${\displaystyle r=r_{0}=0}$ ${\displaystyle f_{r}(p)=q,f_{r}(q)=p}$ $${\displaystyle {\begin{cases}p={\frac {1}{2}}(r+{\sqrt {r(r+4)}})\\q={\frac {1}{2}}(r-{\sqrt {r(r+4)}})\end{cases}}}$$ ${\displaystyle r=r_{1}}$ ${\displaystyle x=p}$ ${\displaystyle T(x)=x/c+p}$ $${\displaystyle (T^{-1}\circ f_{r}^{2}\circ T)(x)=-(1+S(r))x+x^{2}+O(x^{3})}$$ ${\displaystyle S(r)=r^{2}+4r-2,c=r^{2}+4r-3{\sqrt {r(r+4)}}}$ ${\displaystyle S(r)=0}$ ${\displaystyle S(r_{1})\approx 0}$

Por autosimilitud, la tercera bifurcación cuando , y así sucesivamente. Por lo tanto, tenemos , o . Iterando este mapa, encontramos , y . ${\displaystyle S(r)\approx r_{1}}$ ${\displaystyle r_{n}\approx S(r_{n+1})}$ ${\displaystyle r_{n+1}\approx {\sqrt {r_{n}+6}}-2}$ ${\displaystyle r_{\infty }=\lim _{n}r_{n}\approx \lim _{n}S^{-n}(0)={\frac {1}{2}}({\sqrt {17}}-3)}$ ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {r_{\infty }-r_{n}}{r_{\infty }-r_{n+1}}}\approx S'(r_{\infty })\approx 1+{\sqrt {17}}}$

Por lo tanto, tenemos las estimaciones , y . Estas están dentro del 10% de los valores reales. ${\displaystyle \delta \approx 1+{\sqrt {17}}=5.12...}$ ${\displaystyle \alpha \approx r_{\infty }^{2}+4r_{\infty }-3{\sqrt {r_{\infty }^{2}+4r_{\infty }}}\approx -2.24...}$

Relación con la ecuación diferencial ordinaria logística

El mapa logístico exhibe numerosas características de soluciones periódicas y caóticas, mientras que la ecuación diferencial ordinaria logística (EDO) exhibe soluciones regulares, comúnmente conocidas como función sigmoidea en forma de S. El mapa logístico puede verse como la contraparte discreta de la EDO logística, y su correlación ha sido ampliamente discutida en la literatura ^[24].

Ocurrencias

En un modelo de juguete para la dinámica láser discreta: , donde representa la amplitud del campo eléctrico, ^[25] es la ganancia del láser como parámetro de bifurcación. ${\displaystyle x\rightarrow Gx(1-\tanh(x))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

Véase también

• Función logística , solución de la contraparte continua del mapa logístico: la ecuación diferencial logística .
• Estabilidad de Lyapunov#Definición para sistemas de tiempo discreto
• Modelo de crecimiento maltusiano
• Puntos periódicos de aplicaciones cuadráticas complejas , de las cuales la aplicación logística es un caso especial confinado a la línea real
• Red de funciones de base radial , que ilustra el problema inverso para el mapa logístico.
• La ecuación de Schröder
• Ecuación rígida

Notas

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24. Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger A.; Zeng, Xubin (12 de agosto de 2023). "El 50 aniversario del efecto mariposa metafórico desde Lorenz (1972): multiestabilidad, predictibilidad multiescala y sensibilidad en modelos numéricos". Atmósfera . 14 (8): 1279. Bibcode :2023Atmos..14.1279S. doi : 10.3390/atmos14081279 . ISSN  2073-4433.
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Referencias

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• Sprott, Julien Clinton (2003). Caos y análisis de series temporales . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850840-3.
• Strogatz, Steven (2000). Dinámica no lineal y caos . Perseus Publishing. ISBN 978-0-7382-0453-6.
• Tufillaro, Nicholas; Abbott, Tyler; Reilly, Jeremiah (1992). Un enfoque experimental de la dinámica no lineal y el caos . Addison-Wesley, Nueva York. ISBN 978-0-201-55441-0.

Enlaces externos

• El hipertexto del caos. Una introducción al caos y los fractales.
• Una visualización interactiva del mapa logístico como un cuaderno Jupyter
• El mapa logístico y el caos de Elmer G. Wiens
• Complejidad y caos (audiolibro) de Roger White. El capítulo 5 trata sobre la ecuación logística.
• "Historia de los mapas iterados", en A New Kind of Science de Stephen Wolfram . Champaign, IL: Wolfram Media, pág. 918, 2002.
• "Una breve historia de la universalidad en la duplicación de períodos" por P. Cvitanović
• "Una historia no tan breve de la función universal" de P. Cvitanović
• Ecuación logística discreta de Marek Bodnar después del trabajo de Phil Ramsden, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Acoplamiento multiplicativo de dos mapas logísticos por C. Pellicer-Lostao y R. Lopez-Ruiz después del trabajo de Ed Pegg Jr, Wolfram Demonstrations Project .
• Uso de SAGE para investigar la ecuación logística discreta