Trama de telaraña

Construcción de un gráfico de telaraña del mapa logístico y = 2,8 x (1-x), que muestra un punto fijo de atracción.

Un diagrama de telaraña animado del mapa logístico y = rx (1-x), que muestra un comportamiento caótico para la mayoría de los valores de r > 3,57.

Un diagrama de telaraña , también conocido como diagrama de Lémeray o diagrama de Verhulst, es una herramienta visual utilizada en el campo de los sistemas dinámicos de las matemáticas para investigar el comportamiento cualitativo de funciones iteradas unidimensionales , como el mapa logístico . La técnica fue introducida en la década de 1890 por E.-M. Lémeray. ^[1] Utilizando un diagrama de telaraña, es posible inferir el estado a largo plazo de una condición inicial bajo la aplicación repetida de un mapa. ^[2]

Método

Para una función iterada dada , el gráfico consta de una línea diagonal ( ) y una curva que representa . Para representar gráficamente el comportamiento de un valor , aplique los siguientes pasos. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

1. Encuentra el punto en la curva de función con una coordenada x de . Este tiene las coordenadas ( ). ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},f(x_{0})}$
2. Traza horizontalmente desde este punto hasta la línea diagonal. Esta tiene las coordenadas ( ). ${\displaystyle f(x_{0}),f(x_{0})}$
3. Grafica verticalmente desde el punto en la diagonal hasta la curva de función. Esta tiene las coordenadas ( ). ${\displaystyle f(x_{0}),f(f(x_{0}))}$
4. Repita desde el paso 2 según sea necesario.

Interpretación

En el diagrama de Lémeray, un punto fijo estable corresponde al segmento de la escalera con escalones de longitud progresivamente decreciente o a una espiral hacia adentro , mientras que un punto fijo inestable es el segmento de la escalera con escalones crecientes o una espiral hacia afuera. De la definición de un punto fijo se desprende que las escaleras convergen mientras que las espirales se centran en un punto donde la línea diagonal y=x cruza el gráfico de la función. Una órbita de período 2 se representa mediante un rectángulo, mientras que los ciclos de período mayor producen bucles cerrados adicionales y más complejos. Una órbita caótica mostraría un área "rellena", lo que indica un número infinito de valores no repetidos. ^[2]

Véase también

• Diagrama de Jones : técnica de trazado similar
• Iteración de punto fijo : algoritmo iterativo para encontrar puntos fijos (genera un gráfico de telaraña)

Referencias

1. Lémeray, E.-M. (1897). "Sur la convergencia de sustituciones uniformes" (PDF) . Nuevos anales de matemáticas, tercera serie . 16 : 306–319.
2. Agacharse, Ruedi; Steeb, Willi-Hans (2006). Berechenbares Chaos in dynamischen Systemen [ Caos Computable en sistemas dinámicos ] (en alemán). Birkhäuser Basilea. pag. 8. doi : 10.1007/3-7643-7551-5. ISBN 978-3-7643-7551-5.

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