Espiral

Curva que gira alrededor de un punto central

Corte transversal de la concha de un nautilus que muestra las cámaras dispuestas en una espiral aproximadamente logarítmica.

En matemáticas , una espiral es una curva que emana de un punto y se aleja a medida que gira alrededor del punto. ^{[1] [2] [3] [4]} Es un subtipo de patrones en espiral , un grupo amplio que también incluye objetos concéntricos .

Hélices

Una espiral de Arquímedes (negra), una hélice (verde) y una espiral cónica (roja)

Dos definiciones principales de "espiral" en el American Heritage Dictionary son: ^[5]

1. una curva en un plano que gira alrededor de un punto central fijo a una distancia que aumenta o disminuye continuamente desde el punto.
2. una curva tridimensional que gira alrededor de un eje a una distancia constante o que varía continuamente mientras se mueve paralela al eje; una hélice .

La primera definición describe una curva plana , que se extiende en ambas direcciones perpendiculares dentro de su plano; el surco en un lado de un disco de gramófono se aproxima mucho a una espiral plana (y es por el ancho y la profundidad finitos del surco, pero no por el espaciamiento más amplio entre ellos que dentro de las pistas, que no llega a ser un ejemplo perfecto); nótese que los bucles sucesivos difieren en diámetro. En otro ejemplo, las "líneas centrales" de los brazos de una galaxia espiral trazan espirales logarítmicas .

La segunda definición incluye dos tipos de parientes tridimensionales de las espirales:

• Un resorte cónico o de voluta (incluido el resorte utilizado para sostener y hacer contacto con los terminales negativos de las baterías AA o AAA en una caja de baterías ), y el vórtice que se crea cuando el agua se drena en un fregadero a menudo se describe como una espiral o como una hélice cónica .
• De manera bastante explícita, la definición 2 también incluye un resorte helicoidal cilíndrico y una hebra de ADN , ambos bastante helicoidales, de modo que "hélice" es una descripción más útil que "espiral" para cada uno de ellos; en general, "espiral" rara vez se aplica si los "bucles" sucesivos de una curva tienen el mismo diámetro. ^[5]

En la imagen lateral, la curva negra de la parte inferior es una espiral de Arquímedes , mientras que la curva verde es una hélice. La curva que se muestra en rojo es una espiral cónica.

Bidimensional

Una espiral bidimensional o plana se puede describir más fácilmente utilizando coordenadas polares , donde el radio es una función continua monótona del ángulo : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle r=r(\varphi )\;.}$

El círculo se consideraría como un caso degenerado (la función no es estrictamente monótona, sino más bien constante ).

En coordenadas - - la curva tiene la representación paramétrica: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \;.}$

Ejemplos

Algunos de los tipos más importantes de espirales bidimensionales incluyen:

• La espiral de Arquímedes : ${\displaystyle r=a\varphi }$
• La espiral hiperbólica : ${\displaystyle r=a/\varphi }$
• Espiral de Fermat : ${\displaystyle r=a\varphi ^{1/2}}$
• El lituus : ${\displaystyle r=a\varphi ^{-1/2}}$
• La espiral logarítmica : ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$
• La espiral de Cornu o clotoide
• La espiral de Fibonacci y la espiral áurea
• La espiral de Teodoro : una aproximación de la espiral de Arquímedes compuesta por triángulos rectángulos contiguos
• La evolvente de un círculo

• 
  Espiral de Arquímedes
• 
  espiral hiperbólica
• 
  La espiral de Fermat
• 
  Lituano
• 
  espiral logarítmica
• 
  Espiral de cornu
• 
  espiral de teodoro
• 
  Espiral de Fibonacci (espiral áurea)
• 
  La involuta de un círculo (negra) no es idéntica a la espiral de Arquímedes (roja).

Espiral hiperbólica como proyección central de una hélice

Una espiral de Arquímedes se genera, por ejemplo, al enrollar una alfombra. ^[6]

Una espiral hiperbólica aparece como la imagen de una hélice con una proyección central especial (ver diagrama). A veces, una espiral hiperbólica se denomina espiral recíproca , porque es la imagen de una espiral de Arquímedes con una inversión de círculo (ver abajo). ^[7]

El nombre de espiral logarítmica se debe a la ecuación . En la naturaleza se encuentran aproximaciones de esta. ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}$

Espirales que no encajan en este esquema de los primeros 5 ejemplos:

Una espiral de Cornu tiene dos puntos asintóticos.
La espiral de Teodoro es un polígono.
La espiral de Fibonacci consiste en una secuencia de arcos circulares.
La involuta de un círculo parece una espiral de Arquímedes, pero no lo es: consulte Involuta#Ejemplos .

Propiedades geométricas

Las consideraciones que siguen tratan de espirales que pueden describirse mediante una ecuación polar , especialmente para los casos (espirales de Arquímedes, hiperbólicas, de Fermat, de Litius) y la espiral logarítmica . ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )=a\varphi ^{n}}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

Definición de sector (azul claro) y ángulo de pendiente polar ${\displaystyle \alpha }$

Ángulo de pendiente polar

El ángulo entre la tangente espiral y el círculo polar correspondiente (ver diagrama) se llama ángulo de la pendiente polar y pendiente polar . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \tan \alpha }$

Del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}$

Por lo tanto la pendiente de la espiral es ${\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}$

En el caso de una espiral de Arquímedes ( ) la pendiente polar es ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}$

En una espiral logarítmica , es constante. ${\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }$

Curvatura

La curvatura de una curva con ecuación polar es ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

Para una espiral con uno se consigue ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

• ${\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}$

En el caso de (espiral de Arquímedes) . Solo porque la espiral tiene un punto de inflexión . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}$
${\displaystyle -1<n<0}$

La curvatura de una espiral logarítmica es ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}$

Área sectorial

El área de un sector de una curva (ver diagrama) con ecuación polar es ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}$

Para una espiral con ecuación se obtiene ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{if}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}$

La fórmula para una espiral logarítmica es ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}$

Longitud del arco

La longitud de un arco de una curva con ecuación polar es ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Para la espiral la longitud es ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}$

No todas estas integrales pueden resolverse mediante una tabla adecuada. En el caso de una espiral de Fermat, la integral puede expresarse únicamente mediante integrales elípticas .

La longitud del arco de una espiral logarítmica es ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

Inversión del círculo

La inversión en el círculo unitario tiene en coordenadas polares la descripción simple: . ${\displaystyle \ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\ }$

• La imagen de una espiral bajo la inversión en el círculo unitario es la espiral con ecuación polar . Por ejemplo: La inversa de una espiral de Arquímedes es una espiral hiperbólica. ${\displaystyle \ r=a\varphi ^{n}\ }$ ${\displaystyle \ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\ }$

Una espiral logarítmica se proyecta sobre la espiral logarítmica ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.}$

Espirales delimitadas

Espirales delimitadas: (izquierda), (derecha)
${\displaystyle r=a\arctan(k\varphi )}$
${\displaystyle r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)}$

La función de una espiral suele ser estrictamente monótona, continua y no acotada . En el caso de las espirales estándar, se trata de una función exponencial o de una función de potencia. Si se opta por una función acotada , la espiral también lo estará. Una función acotada adecuada es la función arctan : ${\displaystyle r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )}$

Ejemplo 1

La configuración y la elección dan como resultado una espiral que comienza en el origen (como una espiral de Arquímedes) y se aproxima al círculo con radio (diagrama, izquierda). ${\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}$ ${\displaystyle \;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;}$ ${\displaystyle \;r=a\pi /2\;}$

Ejemplo 2

Porque se obtiene una espiral que se aproxima al origen (como una espiral hiperbólica) y se aproxima al círculo con radio (diagrama, derecha). ${\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}$ ${\displaystyle \;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;}$ ${\displaystyle \;r=a\pi \;}$

Tridimensional

Dos curvas espaciales espirales bien conocidas son las espirales cónicas y las espirales esféricas , definidas a continuación. Otro ejemplo de espirales espaciales es la espiral toroidal . ^[8] Una espiral enrollada alrededor de una hélice, ^[9] también conocida como hélice de doble torsión , ^[10] representa objetos como filamentos de bobinas enrolladas .

Espirales cónicas

Espiral cónica con espiral de Arquímedes como plano de planta

Si en el plano - - se forma una espiral con representación paramétrica ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

se da, entonces se puede agregar una tercera coordenada , de modo que la curva espacial actual se encuentra en el cono con ecuación : ${\displaystyle z(\varphi )}$ ${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Las espirales basadas en este procedimiento se denominan espirales cónicas .

Ejemplo

Partiendo de una espiral arquimediana se obtiene la espiral cónica (ver diagrama) ${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

Espirales esféricas

Curva de Clelia con ${\displaystyle c=8}$

Cualquier proyección cartográfica cilíndrica puede utilizarse como base para una espiral esférica : dibuje una línea recta en el mapa y encuentre su proyección inversa sobre la esfera, una especie de curva esférica .

Una de las familias más básicas de espirales esféricas son las curvas de Clelia , que se proyectan en líneas rectas en una proyección equirectangular . Se trata de curvas en las que la longitud y la colatitud están en una relación lineal, análoga a las espirales de Arquímedes en el plano; bajo la proyección equidistante azimutal, una curva de Clelia se proyecta en una espiral de Arquímedes plana.

Si se representa una esfera unitaria mediante coordenadas esféricas

${\displaystyle x=\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad y=\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad z=\cos \theta ,}$

Luego, al establecer la dependencia lineal para las coordenadas de los ángulos, se obtiene una curva paramétrica en términos del parámetro ⁠ ⁠ , ^[11] ${\displaystyle \varphi =c\theta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\bigl (}\sin \theta \,\cos c\theta ,\,\sin \theta \,\sin c\theta ,\,\cos \theta \,{\bigr )}.}$

• 
  Curva de Clelia
• 
  Loxodromo

Otra familia de espirales esféricas son las loxodromias , que se proyectan en líneas rectas en la proyección de Mercator . Se trata de las trayectorias trazadas por un barco que viaja con rumbo constante . Cualquier loxodromia (excepto los meridianos y paralelos) se despliega en espiral infinitamente alrededor de cada polo, cada vez más cerca, a diferencia de una curva de Clelia que mantiene un espaciado uniforme en colatitud. En la proyección estereográfica , una loxodromia se proyecta en una espiral logarítmica en el plano.

En la naturaleza

El estudio de las espirales en la naturaleza tiene una larga historia. Christopher Wren observó que muchas conchas forman una espiral logarítmica ; Jan Swammerdam observó las características matemáticas comunes de una amplia gama de conchas desde Helix hasta Spirula ; y Henry Nottidge Moseley describió las matemáticas de las conchas univalvas . On Growth and Form de D'Arcy Wentworth Thompson ofrece un tratamiento extenso de estas espirales. Describe cómo se forman las conchas al rotar una curva cerrada alrededor de un eje fijo: la forma de la curva permanece fija pero su tamaño crece en una progresión geométrica . En algunas conchas, como Nautilus y amonitas , la curva generadora gira en un plano perpendicular al eje y la concha formará una forma discoide plana. En otras, sigue una trayectoria oblicua que forma un patrón helico -espiral. Thompson también estudió las espirales que se producen en los cuernos , los dientes , las garras y las plantas . ^[12]

H. Vogel propuso un modelo para el patrón de florecillas en la cabeza de un girasol ^{[13] . Este tiene la forma}

${\displaystyle \theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}}$

donde n es el número de índice del flósculo y c es un factor de escala constante, y es una forma de espiral de Fermat . El ángulo 137,5° es el ángulo áureo que está relacionado con la proporción áurea y da como resultado un empaquetamiento compacto de flósculos. ^[14]

Las espirales en plantas y animales se describen frecuentemente como verticilos . Este es también el nombre que se le da a las huellas dactilares en forma de espiral .

• 
  Representación artística de una galaxia espiral.
• 
  Cabeza de girasol que muestra floretes en espirales de 34 y 55 alrededor del exterior.

Como símbolo

Se ha encontrado una forma similar a una espiral en Mezine , Ucrania , como parte de un objeto decorativo que data del 10 000 a. C. ^{[ cita requerida ]} Los motivos en espiral y triple espiral sirvieron como símbolos neolíticos en Europa ( Templos megalíticos de Malta ). La triple espiral celta es, de hecho, un símbolo precelta. ^[15] Está tallada en la roca de un rombo de piedra cerca de la entrada principal del monumento prehistórico de Newgrange en el condado de Meath , Irlanda . Newgrange se construyó alrededor del 3200 a. C., antes de los celtas; las espirales triples se tallaron al menos 2500 años antes de que los celtas llegaran a Irlanda, pero desde hace mucho tiempo se han convertido en parte de la cultura celta. ^[16] El símbolo del triskelion , que consiste en tres espirales entrelazadas o tres piernas humanas dobladas, aparece en muchas culturas tempranas: los ejemplos incluyen vasos micénicos , monedas de Licia , estáteros de Panfilia (en Aspendos , 370-333 a. C.) y Pisidia , así como el emblema heráldico en los escudos de los guerreros representados en la cerámica griega. ^[17]

Las espirales son comunes en el arte precolombino de América Latina y América Central. Los más de 1400 petroglifos (grabados rupestres) de Las Plazuelas, Guanajuato , México , que datan de 750 a 1200 d. C., representan predominantemente espirales, figuras de puntos y modelos a escala. ^[18] En Colombia, las figuras parecidas a monos, ranas y lagartijas representadas en petroglifos o como figuras de ofrendas de oro con frecuencia incluyen espirales, por ejemplo en las palmas de las manos. ^[19] En la Baja América Central, las espirales junto con los círculos, las líneas onduladas, las cruces y los puntos son caracteres petroglifos universales. ^[20] Las espirales también aparecen entre las Líneas de Nazca en el desierto costero de Perú, que datan de 200 a. C. a 500 d. C. Los geoglifos se cuentan por miles y representan animales, plantas y motivos geométricos, incluidas espirales. ^[21]

Las formas espirales, incluidas la esvástica , el triskel , etc., se han interpretado a menudo como símbolos solares . ^{[ cita requerida ]} Se han encontrado tejas que datan de la dinastía Tang con este símbolo al oeste de la antigua ciudad de Chang'an (actual Xi'an). ^{[ cita requerida ] [ año necesario ]}

Las espirales también son un símbolo de hipnosis , que se deriva del cliché de personas y personajes de dibujos animados que son hipnotizados al mirar fijamente una espiral giratoria (un ejemplo es Kaa en El libro de la selva de Disney ). También se utilizan como símbolo de vértigo , donde los ojos de un personaje de dibujos animados, especialmente en anime y manga , se convertirán en espirales para sugerir que están mareados o aturdidos. La espiral también se encuentra en estructuras tan pequeñas como la doble hélice del ADN y tan grandes como una galaxia . Debido a esta frecuente ocurrencia natural, la espiral es el símbolo oficial del Movimiento Panteísta Mundial . ^[22] La espiral también es un símbolo del proceso dialéctico y del monismo dialéctico .

La espiral es un símbolo frecuente de purificación espiritual , tanto dentro del cristianismo como fuera de él (se piensa en la espiral como el símbolo neoplatónico de la oración y la contemplación, girando alrededor de un sujeto y ascendiendo al mismo tiempo, y como un símbolo budista para el proceso gradual en el Camino a la Iluminación ). [...] mientras que una hélice es repetitiva, una espiral se expande y, por lo tanto, personifica el crecimiento , conceptualmente hasta el infinito . ^[23]

• 
  Espirales de la cultura Cucuteni sobre un cuenco con soporte, un recipiente con soporte y una ánfora, 4300-4000 a. C., cerámica, Palacio de la Cultura , Iași , Rumania
• 
  Espirales neolíticas en la losa de entrada de Newgrange , escultor o arquitecto desconocido, tercer milenio a. C.
• 
  Espirales micénicas en una estela funeraria, Círculo de tumbas A, c. 1550 a. C., piedra, Museo Arqueológico Nacional , Atenas , Grecia
• 
  Espirales meroíticas en un ariete del callejón del Templo de Amón de Naqa , escultor desconocido, siglo I d.C., piedra, in situ
• 
  Diseño espiral islámico de la Gran Mezquita de Samarra , Samarra , Irak , arquitecto desconocido, c. 851
• 
  Campanario en espiral de estilo gótico de la Maison des compagnons du tour de France, Nantes , arquitecto desconocido, c. 1910

En el arte

La espiral ha inspirado a artistas de todas las épocas. Entre las obras de arte inspiradas en espirales más famosas se encuentra el movimiento de tierra de Robert Smithson , " Spiral Jetty ", en el Gran Lago Salado de Utah. ^[24] El tema de la espiral también está presente en el Spiral Resonance Field de David Wood en el Balloon Museum de Albuquerque, así como en el álbum conceptual de Nine Inch Nails de 1994, aclamado por la crítica , The Downward Spiral . La espiral también es un tema destacado en el anime Gurren Lagann , donde representa una filosofía y una forma de vida. También es central en el trabajo de Mario Merz y Andy Goldsworthy. La espiral es el tema central del manga de terror Uzumaki de Junji Ito , donde un pequeño pueblo costero se ve afectado por una maldición que involucra espirales. 2012 A Piece of Mind de Wayne A Beale también representa una gran espiral en este libro de sueños e imágenes. ^{[25] [ cita completa requerida ] [26] [ verificación requerida ]} La espiral enroscada es una imagen central en la iconografía gótica suburbana de la artista australiana Tanja Stark , que incorpora elementos de estufas eléctricas en espiral como símbolos de la alquimia y la espiritualidad domésticas. ^{[27] [28]}

Véase también

• Laberinto celta (espiral en línea recta)
• Círculos concéntricos
• ADN
• Número de Fibonacci
• Hipogeo de Hal-Saflieni
• Templos megalíticos de Malta
• Patrones en la naturaleza
• Superficie de concha marina
• Espiral
• Cortadora de verduras en espiral
• Escaleras de caracol
• Trisquel

Referencias

1. "Espiral | matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
2. "Definición de espiral (Diccionario ilustrado de matemáticas)" www.mathsisfun.com . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
3. "spiral.htm". www.math.tamu.edu . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
4. "Patrones matemáticos en la naturaleza". The Franklin Institute . 2017-06-01 . Consultado el 2020-10-08 .
5. "Spiral, American Heritage Dictionary of the English Language , Houghton Mifflin Company, cuarta edición, 2009.
6. Weisstein, Eric W. "Espiral de Arquímedes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
7. Weisstein, Eric W. "Espiral hiperbólica". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
8. von Seggern, DH (1994). Manual práctico de diseño y generación de curvas. Taylor y Francisco. pag. 241.ISBN​ 978-0-8493-8916-0. Consultado el 3 de marzo de 2022 .
9. "Slinky -- de Wolfram MathWorld". Wolfram MathWorld . 13 de septiembre de 2002 . Consultado el 3 de marzo de 2022 .
10. Ugajin, R.; Ishimoto, C.; Kuroki, Y.; Hirata, S.; Watanabe, S. (2001). "Análisis estadístico de una hélice de torsión múltiple". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 292 (1–4). Elsevier BV: 437–451. Bibcode :2001PhyA..292..437U. doi :10.1016/s0378-4371(00)00572-0. ISSN  0378-4371.
11. Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659 , 9783322853653, pág.132 
12. Thompson, D'Arcy (1942) [1917]. Sobre el crecimiento y la forma. Cambridge: University Press; Nueva York: Macmillan. págs. 748–933.
13. Ben Sparks. "Geogebra: Los girasoles son irracionalmente bonitos".
14. Prusinkiewicz, Przemyslaw ; Lindenmayer, Aristid (1990). La belleza algorítmica de las plantas. Springer-Verlag. pp. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.
15. Anthony Murphy y Richard Moore, La isla del sol poniente: en busca de los antiguos astrónomos de Irlanda, 2.ª ed., Dublín: The Liffey Press, 2008, págs. 168-169
16. "Newgrange Ireland - Megalithic Passage Tomb - World Heritage Site". Knowth.com. 2007-12-21. Archivado desde el original el 2013-07-26 . Consultado el 2013-08-16 .
17. Por ejemplo, el trislele del escudo redondo de Aquiles en una hidria ática de finales del siglo VI en el Museo de Bellas Artes de Boston , ilustrado en John Boardman, Jasper Griffin y Oswyn Murray, Greece and the Hellenistic World (Oxford History of the Classical World) vol. I (1988), pág. 50.
18. "Arte rupestre de América Latina y el Caribe" (PDF) . Consejo Internacional de Monumentos y Sitios. Junio ​​de 2006. p. 5. Archivado (PDF) desde el original el 5 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
19. "Arte rupestre de América Latina y el Caribe" (PDF) . Consejo Internacional de Monumentos y Sitios. Junio ​​de 2006. p. 99. Archivado (PDF) desde el original el 5 de enero de 2014. Consultado el 4 de enero de 2014 .
20. "Arte rupestre de América Latina y el Caribe" (PDF) . Consejo Internacional de Monumentos y Sitios. Junio ​​de 2006. p. 17. Archivado (PDF) desde el original el 5 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
21. Jarus, Owen (14 de agosto de 2012). «Líneas de Nazca: misteriosos geoglifos en Perú». LiveScience. Archivado desde el original el 4 de enero de 2014. Consultado el 4 de enero de 2014 .
22. Harrison, Paul. "Pantheist Art" (PDF) . Movimiento panteísta mundial . Consultado el 7 de junio de 2012 .
23. Bruhn, Siglind (1997). "El intercambio de naturalezas y la naturaleza(s) del tiempo y el silencio". Imágenes e ideas en la música para piano francesa moderna: el subtexto extramusical en las obras para piano de Ravel, Debussy y Messiaen. Estética en la música, ISSN 1062-404X, número 6. Stuyvesant, Nueva York: Pendragon Press. p. 353. Consultado el 30 de junio de 2024 .
24. Israel, Nico (2015). Espirales: la imagen en espiral en la literatura y el arte del siglo XX . Nueva York, Columbia University Press. pp. 161–186. ISBN. 978-0-231-15302-7.
25. 2012 Un poco de tranquilidad Por Wayne A. Beale
26. http://www.blurb.com/distribution?id=573100/#/project/573100/project-details/edit (se requiere suscripción)
27. Stark, Tanja (4 de julio de 2012). "Viajes en espiral: giros y retornos". tanjastark.com .
28. Stark, Tanja. "Conferencia: Corrientes subterráneas en espiral: símbolos arquetípicos de dolor, esperanza y sanación". Jung Society Melbourne .

Publicaciones relacionadas

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• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Curvas de transición en espiral y sus aplicaciones . Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195-206.
• Dimulyo, Sarpono; Habib, Zulfiqar; Sakai, Manabu (2009). "Transición cúbica justa entre dos círculos con un círculo dentro o tangente al otro". Algoritmos numéricos . 51 (4): 461–476. Bibcode :2009NuAlg..51..461D. doi :10.1007/s11075-008-9252-1. S2CID  22532724.
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Enlaces externos

• [11] Archivado el 2 de julio de 2021 en Wayback Machine.
• La espiral de Arquímedes se transforma en la espiral de Galileo. Mijaíl Gaichenkov, OEIS