Descomposición del espectro (análisis funcional)

Construction in functional analysis, useful to solve differential equations

El espectro de un operador lineal que opera en un espacio de Banach es un concepto fundamental del análisis funcional . El espectro consta de todos los escalares tales que el operador no tiene una inversa acotada en . El espectro tiene una descomposición estándar en tres partes: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda }$ ${\displaystyle X}$

• un espectro de puntos , que consiste en los valores propios de ; ${\displaystyle T}$
• un espectro continuo , que consiste en los escalares que no son valores propios pero que forman el rango de un subconjunto denso propio del espacio; ${\displaystyle T-\lambda }$
• un espectro residual , que consiste en todos los demás escalares del espectro.

Esta descomposición es relevante para el estudio de ecuaciones diferenciales y tiene aplicaciones en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería. Un ejemplo bien conocido de la mecánica cuántica es la explicación de las líneas espectrales discretas y la banda continua en la luz emitida por átomos excitados de hidrógeno .

Descomposición en espectro puntual, espectro continuo y espectro residual

Para operadores de espacio de Banach acotado

Sea X un espacio de Banach , B ( X ) la familia de operadores acotados en X y T ∈ B ( X ) . Por definición , un número complejo λ está en el espectro de T , denotado σ ( T ), si T − λ no tiene una inversa en B ( X ).

Si T − λ es uno a uno y sobreyectiva , es decir, biyectiva , entonces su inversa está acotada; esto se deduce directamente del teorema de aplicación abierta del análisis funcional. Por lo tanto, λ está en el espectro de T si y solo si T − λ no es uno a uno o no sobreyectiva. Se distinguen tres casos distintos:

1. T − λ no es inyectiva . Es decir, existen dos elementos distintos x , y en X tales que ( T − λ )( x ) = ( T − λ )( y ) . Entonces z = x − y es un vector distinto de cero tal que T ( z ) = λz . En otras palabras, λ es un valor propio de T en el sentido del álgebra lineal . En este caso, se dice que λ está en el espectro puntual de T , denotado σ _p ( T ) .
2. T − λ es inyectiva, y su rango es un subconjunto denso R de X ; pero no es la totalidad de X . En otras palabras, existe algún elemento x en X tal que ( T − λ )( y ) puede estar tan cerca de x como se desee, con y en X ; pero nunca es igual a x . Se puede demostrar que, en este caso, T − λ no está acotado por debajo (es decir, envía elementos muy separados de X demasiado juntos). De manera equivalente, el operador lineal inverso ( T − λ ) ⁻¹ , que está definido en el subconjunto denso R , no es un operador acotado y, por lo tanto, no se puede extender a la totalidad de X . Entonces se dice que λ está en el espectro continuo , σ _c ( T ) , de T .
3. T − λ es inyectiva pero no tiene rango denso. Es decir, hay algún elemento x en X y un entorno N de x tal que ( T − λ )( y ) nunca está en N . En este caso, la función ( T − λ ) ⁻¹ x → x puede ser acotada o no acotada, pero en ningún caso admite una extensión única a una función lineal acotada en todo X . Entonces se dice que λ está en el espectro residual de T , σ _r ( T ) .

Entonces σ ( T ) es la unión disjunta de estos tres conjuntos, el complemento del espectro se conoce como conjunto resolvente que es . $${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{p}(T)\cup \sigma _{c}(T)\cup \sigma _{r}(T).}$$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$

Además, cuando T − λ no tiene rango denso, ya sea inyectivo o no, entonces se dice que λ está en el espectro de compresión de T , σ _cp ( T ). El espectro de compresión consta de todo el espectro residual y parte del espectro puntual.

Para operadores ilimitados

El espectro de un operador ilimitado se puede dividir en tres partes de la misma manera que en el caso acotado, pero como el operador no está definido en todas partes, las definiciones de dominio, inverso, etc. son más complejas.

Ejemplos

Operador de multiplicación

Dado un espacio de medida σ-finito ( S , Σ , μ ), considérese el espacio de Banach L ^p ( μ ) . Una función h : S → C se llama esencialmente acotada si h está acotada μ -casi en todas partes. Una h esencialmente acotada induce un operador de multiplicación acotado T _h en L ^p ( μ ): $${\displaystyle (T_{h}f)(s)=h(s)\cdot f(s).}$$

La norma del operador T es el supremo esencial de h . El rango esencial de h se define de la siguiente manera: un número complejo λ está en el rango esencial de h si para todo ε > 0, la preimagen de la bola abierta B _ε ( λ ) bajo h tiene medida estrictamente positiva. Demostraremos primero que σ ( T _h ) coincide con el rango esencial de h y luego examinaremos sus distintas partes.

Si λ no está en el rango esencial de h , tomemos ε > 0 tal que h ⁻¹ ( B _ε ( λ )) tiene medida cero. La función g ( s ) = 1/( h ( s ) − λ ) está acotada casi en todas partes por 1/ ε . ​​El operador de multiplicación T _g satisface T _g · ( T _h − λ ) = ( T _h − λ ) · T _g = I . Por lo tanto , λ no se encuentra en el espectro de T _h . Por otro lado, si λ se encuentra en el rango esencial de h , consideremos la secuencia de conjuntos { S _n = h ⁻¹ ( B _{1/ n} ( λ ))} . Cada S _n tiene medida positiva. Sea f _n la función característica de S _n . Podemos calcular directamente $${\displaystyle \|(T_{h}-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\|(h-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{S_{n}}|h-\lambda \;|^{p}d\mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}\;\mu (S_{n})={\frac {1}{n^{p}}}\|f_{n}\|_{p}^{p}.}$$

Esto demuestra que T _h − λ no está acotado inferiormente y, por lo tanto, no es invertible.

Si λ es tal que μ ( h ⁻¹ ({ λ })) > 0, entonces λ se encuentra en el espectro puntual de T _h de la siguiente manera. Sea f la función característica del conjunto medible h ⁻¹ ( λ ), entonces al considerar dos casos, encontramos que λ es un valor propio de T _h . $${\displaystyle \forall s\in S,\;(T_{h}f)(s)=\lambda f(s),}$$

Cualquier λ en el rango esencial de h que no tenga una preimagen de medida positiva está en el espectro continuo de T _h . Para demostrar esto, debemos demostrar que T _h − λ tiene rango denso. Dado f ∈ L ^p ( μ ) , nuevamente consideramos la secuencia de conjuntos { S _n = h ⁻¹ ( B _1/n ( λ ))} . Sea g _n la función característica de S − S _n . Definir $${\displaystyle f_{n}(s)={\frac {1}{h(s)-\lambda }}\cdot g_{n}(s)\cdot f(s).}$$

El cálculo directo muestra que f _n ∈ L ^p ( μ ), con . Luego, por el teorema de convergencia dominada , en la norma L ^p ( μ ). ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}\leq n\|f\|_{p}}$ $${\displaystyle (T_{h}-\lambda )f_{n}\rightarrow f}$$

Por lo tanto, los operadores de multiplicación no tienen espectro residual. En particular, por el teorema espectral , los operadores normales en un espacio de Hilbert no tienen espectro residual.

Turnos

En el caso especial en que S es el conjunto de números naturales y μ es la medida de conteo, el L ^p ( μ ) correspondiente se denota por l ^p . Este espacio consta de secuencias de valores complejos { x _n } tales que $${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

Para 1 < p < ∞, l ^p es reflexivo . Defina el desplazamiento a la izquierda T  : l ^p → l ^p por $${\displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots ).}$$

T es una isometría parcial con norma de operador 1. Por lo tanto, σ ( T ) se encuentra en el disco unitario cerrado del plano complejo.

T* es el desplazamiento a la derecha (o desplazamiento unilateral ), que es una isometría en l ^q , donde 1/ p + 1/ q = 1: $${\displaystyle T^{*}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots ).}$$

Para λ ∈ C con | λ | < 1, y T x = λ x . En consecuencia, el espectro puntual de T contiene el disco unitario abierto. Ahora, T* no tiene valores propios, es decir, σ _p ( T* ) está vacío. Por lo tanto, invocando la reflexividad y el teorema en Espectro_(análisis_funcional)#Espectro_del_operador_adjunto (que σ _p ( T ) ⊂ σ _r ( T *) ∪ σ _p ( T *)), podemos deducir que el disco unitario abierto se encuentra en el espectro residual de T* . $${\displaystyle x=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots )\in l^{p}}$$

El espectro de un operador acotado es cerrado, lo que implica que el círculo unitario, { | λ | = 1 } ⊂ C , está en σ ( T ). Nuevamente por reflexividad de l ^p y el teorema dado anteriormente (esta vez, que σ _r ( T ) ⊂ σ _p ( T *) ), tenemos que σ _r ( T ) también está vacío. Por lo tanto, para un número complejo λ con norma unitaria, uno debe tener λ ∈ σ _p ( T ) o λ ∈ σ _c ( T ). Ahora bien, si | λ | = 1 y entonces que no puede estar en l ^p , una contradicción. Esto significa que el círculo unitario debe estar en el espectro continuo de T . $${\displaystyle Tx=\lambda x,\qquad i.e.\;(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )=\lambda (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),}$$ $${\displaystyle x=x_{1}(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots ),}$$

Entonces, para el desplazamiento a la izquierda T , σ _p ( T ) ​​es el disco unitario abierto y σ _c ( T ) ​​es el círculo unitario, mientras que para el desplazamiento a la derecha T* , σ _r ( T* ) es el disco unitario abierto y σ _c ( T* ) es el círculo unitario.

Para p = 1, se puede realizar un análisis similar. Los resultados no serán exactamente los mismos, ya que la reflexividad ya no se cumple.

Operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert

Los espacios de Hilbert son espacios de Banach, por lo que la discusión anterior se aplica también a los operadores acotados en espacios de Hilbert. Un punto sutil se refiere al espectro de T *. Para un espacio de Banach, T * denota la transpuesta y σ ( T* ) = σ ( T ). Para un espacio de Hilbert, T * normalmente denota el adjunto de un operador T ∈ B ( H ), no la transpuesta, y σ ( T* ) no es σ ( T ) sino su imagen bajo conjugación compleja.

Para un autoadjunto T ∈ B ( H ), el cálculo funcional de Borel proporciona formas adicionales de dividir el espectro de forma natural.

Cálculo funcional de Borel

En esta subsección se esboza brevemente el desarrollo de este cálculo. La idea es establecer primero el cálculo funcional continuo y luego pasar a las funciones mensurables mediante el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani . Para el cálculo funcional continuo, los ingredientes clave son los siguientes:

1. Si T es autoadjunto, entonces para cualquier polinomio P , la norma del operador satisface $${\displaystyle \|P(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|P(\lambda )|.}$$
2. El teorema de Stone-Weierstrass , que implica que la familia de polinomios (con coeficientes complejos), es densa en C ( σ ( T )), las funciones continuas en σ ( T ).

La familia C ( σ ( T )) es un álgebra de Banach cuando está dotada de la norma uniforme. Por lo tanto, la aplicación es un homomorfismo isométrico de un subconjunto denso de C ( σ ( T )) a B ( H ). Extendiendo la aplicación por continuidad se obtiene f ( T ) para f ∈ C( σ ( T )): sean P _n polinomios tales que P _n → f uniformemente y definamos f ( T ) = lim P _n ( T ). Este es el cálculo funcional continuo. $${\displaystyle P\rightarrow P(T)}$$

Para un h fijo ∈ H , observamos que es un funcional lineal positivo en C ( σ ( T )). Según el teorema de representación de Riesz–Markov–Kakutani existe una medida única μ _h en σ ( T ) tal que $${\displaystyle f\rightarrow \langle h,f(T)h\rangle }$$ $${\displaystyle \int _{\sigma (T)}f\,d\mu _{h}=\langle h,f(T)h\rangle .}$$

Esta medida a veces se denomina medida espectral asociada a h . Las medidas espectrales se pueden utilizar para extender el cálculo funcional continuo a funciones de Borel acotadas. Para una función acotada g que sea medible mediante Borel, defina, para una g ( T ) propuesta $${\displaystyle \int _{\sigma (T)}g\,d\mu _{h}=\langle h,g(T)h\rangle .}$$

A través de la identidad de polarización , se puede recuperar (ya que se supone que H es complejo) y por lo tanto g ( T ) h para h arbitrario . $${\displaystyle \langle k,g(T)h\rangle .}$$

En el presente contexto, las medidas espectrales, combinadas con un resultado de la teoría de la medida, dan una descomposición de σ ( T ).

Descomposición en absolutamente continua, continua singular y punto puro

Sea h ∈ H y μ _h su medida espectral correspondiente en σ ( T ) ⊂ R . Según un refinamiento del teorema de descomposición de Lebesgue , μ _h se puede descomponer en tres partes mutuamente singulares: donde μ _ac es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue, μ _sc es singular con respecto a la medida de Lebesgue y sin átomos, y μ _pp es una medida puntual pura. ^{[1] [2]} $${\displaystyle \mu _{h}=\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }}$$

Los tres tipos de medidas son invariantes bajo operaciones lineales. Sea H _ac el subespacio que consiste en vectores cuyas medidas espectrales son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue . Definamos H _pp y H _sc de manera análoga. Estos subespacios son invariantes bajo T. Por ejemplo, si h ∈ H _ac y k = T h . Sea χ la función característica de algún conjunto de Borel en σ ( T ), entonces So y k ∈ H _ac . Además, aplicando el teorema espectral obtenemos $${\displaystyle \langle k,\chi (T)k\rangle =\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\cdot \lambda ^{2}d\mu _{h}(\lambda )=\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\;d\mu _{k}(\lambda ).}$$ $${\displaystyle \lambda ^{2}d\mu _{h}=d\mu _{k}}$$ $${\displaystyle H=H_{\mathrm {ac} }\oplus H_{\mathrm {sc} }\oplus H_{\mathrm {pp} }.}$$

Esto nos lleva a las siguientes definiciones:

1. El espectro de T restringido a H _ac se llama espectro absolutamente continuo de T , σ _ac ( T ).
2. El espectro de T restringido a H _sc se llama su espectro singular , σ _sc ( T ).
3. El conjunto de valores propios de T se denomina espectro puntual puro de T , σ _pp ( T ).

El cierre de los valores propios es el espectro de T restringido a H _pp . ^{[3] [nb 1]} Por lo tanto $${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)\cup {{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}.}$$

Comparación

Un operador autoadjunto acotado en el espacio de Hilbert es, a fortiori, un operador acotado en un espacio de Banach. Por lo tanto, también se puede aplicar a T la descomposición del espectro que se logró anteriormente para operadores acotados en un espacio de Banach. A diferencia de la formulación del espacio de Banach, ^{[ aclaración necesaria ]} la unión no necesita ser disjunta. Es disjunta cuando el operador T es de multiplicidad uniforme, digamos m , es decir, si T es unitariamente equivalente a la multiplicación por λ en la suma directa para algunas medidas de Borel . Cuando aparece más de una medida en la expresión anterior, vemos que es posible que la unión de los tres tipos de espectros no sea disjunta. Si λ ∈ σ _ac ( T ) ∩ σ _pp ( T ) , λ a veces se llama un valor propio incrustado en el espectro absolutamente continuo. $${\displaystyle \sigma (T)={{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}\cup \sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)}$$ $${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{m}L^{2}(\mathbb {R} ,\mu _{i})}$$ ${\displaystyle \mu _{i}}$

Cuando T es unitariamente equivalente a la multiplicación por λ en la descomposición de σ ( T ) del cálculo funcional de Borel es un refinamiento del caso del espacio de Banach. $${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mu ),}$$

Mecánica cuántica

Los comentarios anteriores pueden extenderse a los operadores autoadjuntos no acotados, ya que Riesz-Markov es válido para espacios de Hausdorff localmente compactos .

En mecánica cuántica , los observables son operadores autoadjuntos (a menudo ilimitados) y sus espectros son los posibles resultados de las mediciones.

El espectro de puntos puros corresponde a los estados ligados de la siguiente manera:

• Un estado cuántico es un estado ligado si y sólo si es finitamente normalizable para todos los tiempos . ^[4] ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
• Un observable tiene espectro puntual puro si y sólo si sus estados propios forman una base ortonormal de . ^[5] ${\displaystyle H}$

Se dice que una partícula está en un estado ligado si permanece "localizada" en una región limitada del espacio. ^[6] Intuitivamente, se podría pensar que la "discreción" del espectro está íntimamente relacionada con la "localización" de los estados correspondientes. Sin embargo, un análisis matemático cuidadoso muestra que esto no es cierto en general. ^[7] Por ejemplo, considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}n&{\text{if }}x\in \left[n,n+{\frac {1}{n^{4}}}\right]\\0&{\text{else}}\end{cases}},\quad \forall n\in \mathbb {N} .}$

Esta función es normalizable (es decir ) como ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \int _{n}^{n+{\frac {1}{n^{4}}}}n^{2}\,dx={\frac {1}{n^{2}}}\Rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

Conocida como el problema de Basilea , esta serie converge a . Sin embargo, aumenta a medida que , es decir, el estado "escapa al infinito". Los fenómenos de localización de Anderson y localización dinámica describen cuándo las funciones propias están localizadas en un sentido físico. La localización de Anderson significa que las funciones propias decaen exponencialmente a medida que . La localización dinámica es más sutil de definir. ${\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle x\to \infty }$

A veces, al realizar mediciones mecánicas cuánticas, uno se encuentra con " estados propios " que no están localizados, por ejemplo, estados cuánticos que no se encuentran en L ² ( R ). Estos son estados libres que pertenecen al espectro absolutamente continuo. En el teorema espectral para operadores autoadjuntos no acotados , estos estados se denominan "vectores propios generalizados" de un observable con "valores propios generalizados" que no pertenecen necesariamente a su espectro. Alternativamente, si se insiste en que la noción de vectores propios y valores propios sobreviva al paso a lo riguroso, se pueden considerar operadores en espacios de Hilbert manipulados . ^[8]

Un ejemplo de un observable cuyo espectro es absolutamente continuo es el operador de posición de una partícula libre que se mueve sobre toda la línea real. Además, dado que el operador de momento es unitariamente equivalente al operador de posición, a través de la transformada de Fourier , también tiene un espectro absolutamente continuo.

El espectro singular corresponde a resultados físicamente imposibles. Durante algún tiempo se creyó que el espectro singular era algo artificial. Sin embargo, ejemplos como el operador casi Mathieu y los operadores aleatorios de Schrödinger han demostrado que todos los tipos de espectros surgen de forma natural en física. ^{[9] [10]}

Descomposición en espectro esencial y espectro discreto

Sea un operador cerrado definido en el dominio que es denso en X . Entonces hay una descomposición del espectro de A en una unión disjunta , ^[11] donde ${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(A)\subset X}$ $${\displaystyle \sigma (A)=\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\sqcup \sigma _{\mathrm {d} }(A),}$$

1. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$es el quinto tipo del espectro esencial de A (si A es un operador autoadjunto , entonces para todo ); ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A)=\sigma _{\mathrm {ess} }(A)}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 5}$
2. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$es el espectro discreto de A , que consiste en valores propios normales o, equivalentemente, en puntos aislados de tales que el proyector de Riesz correspondiente tiene un rango finito. Es un subconjunto propio del espectro de puntos , es decir , , ya que el conjunto de valores propios de A no necesariamente tiene que ser puntos aislados del espectro. ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma _{d}(A)\subset \sigma _{p}(A)}$

Véase también

• Espectro de puntos , el conjunto de valores propios.
• Espectro esencial , espectro de un operador módulo perturbaciones compactas.
• Espectro discreto (matemáticas) , el conjunto de valores propios normales .
• Teoría espectral de las C*-álgebras normales
• Espectro (análisis funcional)

Notas

1. Alternativamente, el espectro puntual puro puede considerarse como el cierre del espectro puntual, es decir ${\displaystyle \sigma _{pp}={\overline {\sigma _{p}}}}$

1. Simon 2005, pág. 43.
2. Teschl 2014, págs. 114-119.
3. Simon 2005, pág. 44.
4. Ruelle 1969.
5. Simon 1978, pág. 3.
6. Blanchard y Brüning 2015, pag. 430.
7. Blanchard y Brüning 2015, pag. 432.
8. de la Madrid Modino 2001, págs.
9. Jitomirskaya y Simon 1994.
10. Simon y Stolz 1996.
11. Teschl 2014, pág. 170.

Referencias

• Blanchard, Philippe; Brüning, Erwin (2015). Métodos Matemáticos en Física . Birkhäuser. ISBN 978-3-319-14044-5.
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1988). Operadores lineales, parte 1: teoría general . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60848-3.
• Jitomirskaya, S.; Simon, B. (1994). "Operadores con espectro continuo singular: III. Operadores de Schrödinger casi periódicos". Communications in Mathematical Physics . 165 (1): 201–205. doi :10.1007/BF02099743. ISSN  0010-3616.
• de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje espacial de Hilbert amañado (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.
• Reed, M.; Simon, B. (1980). Métodos de física matemática moderna: I: Análisis funcional . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Ruelle, D. (1969). "Una observación sobre los estados ligados en la teoría de dispersión de potencial" (PDF) . Il Nuovo Cimento A. 61 ( 4). Springer Science and Business Media LLC. doi :10.1007/bf02819607. ISSN  0369-3546.
• Simon, B. (1978). "Una visión general de la teoría de dispersión rigurosa".
• Simon, B.; Stolz, G. (1996). "Operadores con espectro continuo singular, V. Potenciales dispersos". Actas de la American Mathematical Society . 124 (7): 2073–2080. doi : 10.1090/S0002-9939-96-03465-X . ISSN  0002-9939.
• Simon, Barry (2005). Polinomios ortogonales en el círculo unitario. Parte 1. Teoría clásica . Publicaciones del Colloquium de la American Mathematical Society. Vol. 54. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-3446-6.Señor 2105088  .
• Teschl, G. (2014). Métodos matemáticos en mecánica cuántica . Providence (RI): American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1704-8.