Pentágono

Forma con cinco lados

En geometría , un pentágono (del griego: πέντε ( pente) , "cinco", y γωνία ( gonia), "ángulo" ^{[1] ) es cualquier} polígono de cinco lados o 5 gónos. La suma de los ángulos internos de un pentágono simple es 540°.

Un pentágono puede ser simple o autointersecante . Un pentágono regular (o pentágono estrella ) que se interseca a sí mismo se llama pentagrama .

pentágonos regulares

Lado ( ), circunradio ( ), radio del círculo inscrito ( ), altura ( ) , ancho/diagonal ( ) ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R+r}$ ${\displaystyle \varphi t}$

Un pentágono regular tiene el símbolo de Schläfli {5} y ángulos interiores de 108°.

Un pentágono regular tiene cinco ejes de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 5 (a través de 72°, 144°, 216° y 288°). Las diagonales de un pentágono regular convexo están en la proporción áurea con sus lados. Dada la longitud de su lado , su altura (distancia de un lado al vértice opuesto), ancho (distancia entre dos puntos más separados, que es igual a la longitud diagonal ) y circunradio están dados por: ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902~R.\end{aligned}}}$

El área de un pentágono regular convexo con longitud de lado está dada por ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}\approx 1.720~t^{2}.\end{aligned}}}$

Si se da el circunradio de un pentágono regular, la longitud de su arista se encuentra mediante la expresión ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,}$

y su área es

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

dado que el área del círculo circunscrito es el pentágono regular ocupa aproximadamente 0,7568 de su círculo circunscrito. ${\displaystyle \pi R^{2},}$

Derivación de la fórmula del área.

El área de cualquier polígono regular es:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

donde P es el perímetro del polígono y r es el inradio (equivalentemente la apotema ). Sustituyendo los valores del pentágono regular por P y r se obtiene la fórmula

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5t^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}}$

con longitud lateral t .

radio

Al igual que todo polígono convexo regular, el pentágono convexo regular tiene un círculo inscrito . La apotema , que es el radio r del círculo inscrito, de un pentágono regular está relacionada con la longitud del lado t por

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan {\mathord {\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}$

Acordes desde el círculo circunscrito hasta los vértices

Como todo polígono regular convexo, el pentágono regular convexo tiene un círculo circunscrito . Para un pentágono regular con vértices sucesivos A, B, C, D, E, si P es cualquier punto de la circunferencia circunscrita entre los puntos B y C, entonces PA + PD = PB + PC + PE.

punto en el plano

Para un punto arbitrario en el plano de un pentágono regular con circunradio , cuyas distancias al centroide del pentágono regular y sus cinco vértices son y respectivamente, tenemos ^[2] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}&=5\left(R^{2}+L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+6R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+12R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+6R^{4}L^{4}\right).\end{aligned}}}$

Si son las distancias desde los vértices de un pentágono regular a cualquier punto de su circunferencia, entonces ^[2] ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle 3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}\right)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.}$

Construcciones geométricas

El pentágono regular se puede construir con compás y regla , ya que 5 es un primo de Fermat . Se conocen diversos métodos para construir un pentágono regular. Algunos se analizan a continuación.

El método de Richmond.

^{Richmond [3]} describe un método para construir un pentágono regular en un círculo dado y se analiza con más detalle en Cromwell's Polyhedra . ^[4]

El panel superior muestra la construcción utilizada en el método de Richmond para crear el lado del pentágono inscrito. El círculo que define el pentágono tiene radio unitario. Su centro está ubicado en el punto C y se marca un punto medio M en la mitad de su radio. Este punto se une a la periferia verticalmente sobre el centro en el punto D. El ángulo CMD es bisectriz y la bisectriz intersecta el eje vertical en el punto Q. Una línea horizontal que pasa por Q corta el círculo en el punto P , y la cuerda PD es el lado requerido del pentágono inscrito.

Para determinar la longitud de este lado, debajo del círculo se representan los dos triángulos rectángulos DCM y QCM . Usando el teorema de Pitágoras y dos lados, la hipotenusa del triángulo más grande se encuentra como . El lado h del triángulo más pequeño se encuentra entonces usando la fórmula del medio ángulo : ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

donde el coseno y el seno de ϕ se conocen del triángulo más grande. El resultado es:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

Si DP es realmente el lado de un pentágono regular, entonces DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos ² (54°), y CQ = 1 − 2cos ² (54°), que es igual a −cos(108°) según la fórmula del coseno del doble ángulo . Este es el coseno de 72°, que es igual a lo deseado. ${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)/4}$

círculos de carlyle

Método usando círculos de Carlyle

El círculo de Carlyle se inventó como método geométrico para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática . ^[5] Esta metodología conduce a un procedimiento para construir un pentágono regular. Los pasos son los siguientes: ^[6]

1. Dibuja un círculo en el que inscribir el pentágono y marca el punto central O.
2. Dibuja una línea horizontal que pase por el centro del círculo. Marque la intersección izquierda con el círculo como punto B.
3. Construya una línea vertical que pase por el centro. Marque una intersección con el círculo como punto A.
4. Construya el punto M como el punto medio de O y B.
5. Dibuja un círculo con centro en M que pase por el punto A. Marque su intersección con la línea horizontal (dentro del círculo original) como el punto W y su intersección fuera del círculo como el punto V.
6. Dibuja una circunferencia de radio OA y centro W. Intersecta al círculo original en dos de los vértices del pentágono.
7. Dibuja una circunferencia de radio OA y centro V. Intersecta al círculo original en dos de los vértices del pentágono.
8. El quinto vértice es la intersección más a la derecha de la línea horizontal con el círculo original.

Los pasos 6 a 8 son equivalentes a la siguiente versión, que se muestra en la animación:

6a. Construya el punto F como el punto medio de O y W.

7a. Construye una línea vertical que pase por F. Interseca el círculo original en dos de los vértices del pentágono. El tercer vértice es la intersección más a la derecha de la línea horizontal con el círculo original.

8a. Construye los otros dos vértices usando el compás y la longitud del vértice encontrada en el paso 7a.

El método de Euclides.

Método de Euclides para el pentágono en un círculo dado, usando el triángulo áureo , animación 1 min 39 s

Un pentágono regular se puede construir usando un compás y una regla , ya sea inscribiéndolo en un círculo determinado o construyendo uno en un borde determinado. Este proceso fue descrito por Euclides en sus Elementos alrededor del año 300 a.C. ^{[7] [8]}

Métodos de construcción física.

Nudo simple de una tira de papel.

• Se puede crear un pentágono regular a partir de solo una tira de papel haciendo un nudo simple en la tira y aplanando con cuidado el nudo tirando de los extremos de la tira de papel. Doblar uno de los extremos hacia atrás sobre el pentágono revelará un pentagrama cuando esté retroiluminado.
• Construya un hexágono regular sobre papel rígido o cartulina. Pliegue a lo largo de los tres diámetros entre los vértices opuestos. Corta desde un vértice hacia el centro para hacer una solapa triangular equilátera. Fija esta solapa debajo de su vecina para formar una pirámide pentagonal . La base de la pirámide es un pentágono regular.

Simetría

Simetrías de un pentágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Las líneas de espejo azules se dibujan a través de vértices y aristas. Las órdenes de giro se dan en el centro.

El pentágono regular tiene simetría Dih ₅ , orden 10. Dado que 5 es un número primo , hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih ₁ , y 2 simetrías de grupo cíclico : Z ₅ y Z ₁ .

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el pentágono. John Conway los etiqueta mediante letras y orden de grupo. ^[9] La simetría completa de la forma regular es r10 y ninguna simetría está etiquetada como a1 . Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares), y i cuando las líneas de reflexión pasan por ambas aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio están etiquetadas como g por sus órdenes de giro central.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g5 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .

Pentagrama regular

Un pentagrama o pentángulo es un pentágono estrella regular . Su símbolo Schläfli es {5/2}. Sus lados forman las diagonales de un pentágono convexo regular; en esta disposición, los lados de los dos pentágonos están en la proporción áurea .

pentágonos equiláteros

Pentágono equilátero construido con cuatro círculos iguales dispuestos en cadena.

Un pentágono equilátero es un polígono con cinco lados de igual longitud. Sin embargo, sus cinco ángulos internos pueden tomar una variedad de conjuntos de valores, lo que le permite formar una familia de pentágonos. En cambio, el pentágono regular es único hasta la semejanza, porque es equilátero y es equiangular (sus cinco ángulos son iguales).

pentágonos cíclicos

Un pentágono cíclico es aquel en el que un círculo llamado círculo circunstante pasa por los cinco vértices. El pentágono regular es un ejemplo de pentágono cíclico. El área de un pentágono cíclico, sea regular o no, se puede expresar como un cuarto de la raíz cuadrada de una de las raíces de una ecuación séptica cuyos coeficientes son funciones de los lados del pentágono. ^{[10] [11] [12]}

Existen pentágonos cíclicos con lados racionales y área racional; estos se llaman pentágonos de Robbins . Se ha demostrado que las diagonales de un pentágono de Robbins deben ser totalmente racionales o totalmente irracionales, y se conjetura que todas las diagonales deben ser racionales. ^[13]

Pentágonos convexos generales

Para todos los pentágonos convexos, la suma de los cuadrados de las diagonales es menor que 3 veces la suma de los cuadrados de los lados. ^{[14] : pág.75, #1854}

Pentágonos en mosaico

El empaquetado más conocido de pentágonos regulares de igual tamaño en un plano es una estructura de doble red que cubre el 92,131% del plano.

Un pentágono regular no puede aparecer en ningún mosaico de polígonos regulares. Primero, para demostrar que un pentágono no puede formar un mosaico regular (uno en el que todas las caras sean congruentes, por lo que se requiere que todos los polígonos sean pentágonos), observe que 360° / 108° = 3 1 ⁄ 3 (donde 108° es el ángulo interior ), que no es un número entero; por tanto, no existe un número entero de pentágonos que compartan un único vértice y no dejen espacios entre ellos. Más difícil es demostrar que un pentágono no puede estar en ningún mosaico de borde a borde formado por polígonos regulares:

La densidad de empaquetamiento máxima conocida de un pentágono regular se logra mediante el empaquetamiento de doble red que se muestra. En una preimpresión publicada en 2016, Thomas Hales y Wöden Kusner anunciaron una prueba de que este empaque de doble red del pentágono regular (conocido como el diseño de celosía chino "rayo de hielo pentagonal", que data de alrededor de 1900) tiene la densidad óptima entre todos los empaques. de pentágonos regulares en el plano. ^[15] En 2022 , su prueba aún no se había publicado en una revista revisada por pares . ${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921}$^[update]

No hay combinaciones de polígonos regulares con 4 o más que se encuentren en un vértice que contengan un pentágono. Para combinaciones con 3, si 3 polígonos se encuentran en un vértice y uno tiene un número impar de lados, los otros 2 deben ser congruentes. La razón de esto es que los polígonos que tocan los bordes del pentágono deben alternarse alrededor del pentágono, lo cual es imposible debido al número impar de lados del pentágono. Para el pentágono, esto da como resultado un polígono cuyos ángulos son todos (360 − 108) / 2 = 126° . Para encontrar el número de lados que tiene este polígono, el resultado es 360 / (180 − 126) = 6 2 ⁄ 3 , que no es un número entero. Por lo tanto, un pentágono no puede aparecer en ningún mosaico formado por polígonos regulares.

Hay 15 clases de pentágonos que pueden formar mosaicos monoédricos en el plano . Ninguno de los pentágonos tiene simetría en general, aunque algunos tienen casos especiales con simetría especular.

Pentágonos en poliedros

Pentágonos en la naturaleza

Plantas

• 
  Sección transversal pentagonal de okra .
• 
  Las campanillas , como muchas otras flores, tienen forma pentagonal.
• 
  Tubo de perigón de la flor de Rafflesia .
• 
  El gineceo de una manzana contiene cinco carpelos, dispuestos en una estrella de cinco puntas.
• 
  La carambola es otra fruta con simetría quíntuple.

animales

• 
  Una estrella de mar . Muchos equinodermos tienen simetría radial quíntuple.
• 
  Otro ejemplo de equinodermo, un endoesqueleto de erizo de mar .
• 
  Una ilustración de estrellas quebradizas , también equinodermos con forma pentagonal.

Minerales

• 
  Un cuasicristal icosaédrico de Ho-Mg-Zn formado como un dodecaedro pentagonal . Las caras son verdaderos pentágonos regulares.
• 
  Un cristal piritoédrico de pirita . Un piritoedro tiene 12 caras pentagonales idénticas que no están obligadas a ser regulares.

Otros ejemplos

• 
  El Pentágono , sede del Departamento de Defensa de Estados Unidos .
• 
  Plato de home de un campo de béisbol

Ver también

• asociaedro ; Un pentágono es un asociaedro de orden 4.
• Dodecaedro , un poliedro cuya forma regular se compone de 12 caras pentagonales
• proporción áurea
• Lista de formas geométricas
• números pentagonales
• Pentagrama
• mapa de pentagrama
• Pentastar , el logotipo de Chrysler
• Teorema de Pitágoras#Figuras similares en los tres lados
• Constantes trigonométricas para un pentágono

Notas y referencias en línea

1. "pentágono, adj. y n." DEO en línea. Oxford University Press, junio de 2014. Web. 17 de agosto de 2014.
2. Meskhishvili, Mamuka (2020). "Promedios cíclicos de polígonos regulares y sólidos platónicos". Comunicaciones en Matemáticas y Aplicaciones . 11 : 335–355.
3. Richmond, Herbert W. (1893). "Una construcción para un polígono regular de diecisiete lados". La revista trimestral de matemáticas puras y aplicadas . 26 : 206–207.
4. Peter R. Cromwell (22 de julio de 1999). Poliedros . pag. 63.ISBN _ 0-521-66405-5.
5. Eric W. Weisstein (2003). Enciclopedia concisa de matemáticas CRC (2ª ed.). Prensa CRC. pag. 329.ISBN _ 1-58488-347-2.
6. DeTemple, Duane W. (febrero de 1991). "Círculos de Carlyle y simplicidad de Lemoine en las construcciones poligonales" (PDF) . El Mensual Matemático Estadounidense . 98 (2): 97-108. doi :10.2307/2323939. JSTOR  2323939. Archivado desde el original (PDF) el 21 de diciembre de 2015.
7. George Edward Martín (1998). Construcciones geométricas. Saltador. pag. 6.ISBN _ 0-387-98276-0.
8. Fitzpatrick, Richard (2008). Elementos de geometría de Euklid, libro 4, proposición 11 (PDF) . Traducido por Richard Fitzpatrick. pag. 119.ISBN _ 978-0-615-17984-1.
9. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275- 278) 
10. Weisstein, Eric W. "Pentágono cíclico". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. [1]
11. Robbins, DP (1994). "Áreas de polígonos inscritos en un círculo". Geometría Discreta y Computacional . 12 (2): 223–236. doi : 10.1007/bf02574377 .
12. Robbins, DP (1995). "Áreas de polígonos inscritos en un círculo". El Mensual Matemático Estadounidense . 102 (6): 523–530. doi :10.2307/2974766. JSTOR  2974766.
13. * Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), "Polígonos cíclicos con área y lados racionales", Journal of Number Theory , 128 (1): 17–48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 , MR  2382768.
14. Desigualdades propuestas en “ Crux Mathematicorum ” , [2].
15. Hales, Thomas ; Kusner, Wöden (septiembre de 2016), Empaquetamientos de pentágonos regulares en el plano , arXiv : 1602.07220

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Pentágono". MundoMatemático .
• Demostración animada sobre la construcción de un pentágono inscrito con compás y regla.
• Cómo construir un pentágono regular con sólo un compás y una regla.
• Cómo doblar un pentágono regular usando sólo una tira de papel
• Definición y propiedades del pentágono, con animación interactiva.
• Construcciones aproximadas de pentágonos regulares de artistas del Renacimiento
• Pentágono. Cómo calcular varias dimensiones de pentágonos regulares.