Una densidad de empaque o fracción de empaque de un empaque en algún espacio es la fracción del espacio ocupado por las figuras que componen el empaque. En términos más simples, esta es la relación entre el volumen de los cuerpos en un espacio y el volumen del espacio mismo. En los problemas de empaquetamiento , el objetivo suele ser obtener un empaque de la mayor densidad posible.
Si K 1 ,..., K n son subconjuntos medibles de un espacio de medida compacto X y sus interiores por pares no se cruzan, entonces la colección [ K i ] es un empaquetamiento en X y su densidad de empaquetamiento es
Si el espacio que se está empaquetando es de medida infinita, como el espacio euclidiano , se acostumbra definir la densidad como el límite de densidades exhibidas en bolas de radios cada vez mayores. Si B t es la bola de radio t centrada en el origen, entonces la densidad de un empaque [ K i : i ∈ ] es
Dado que este límite no siempre existe, también es útil definir las densidades superior e inferior como el límite superior y el límite inferior de las anteriores respectivamente. Si la densidad existe, las densidades superior e inferior son iguales. Siempre que cualquier bola del espacio euclidiano interseque solo un número finito de elementos del empaquetamiento y que los diámetros de los elementos estén acotados desde arriba, la densidad (superior, inferior) no depende de la elección del origen, y μ ( K i ∩ B t ) se puede reemplazar por μ ( K i ) para cada elemento que cruza a B t . [1] La bola también puede ser reemplazada por dilataciones de algún otro cuerpo convexo, pero en general las densidades resultantes no son iguales.
A menudo nos interesan los embalajes restringidos a elementos de uso de una determinada colección de suministros. Por ejemplo, la colección de suministros puede ser el conjunto de todas las bolas de un radio determinado. La densidad de empaquetamiento óptima o la constante de empaquetamiento asociada con una colección de suministros es el supremo de las densidades superiores obtenidas por los empaques que son subcolecciones de la colección de suministros. Si la colección de suministro consta de cuerpos convexos de diámetro acotado, existe un empaque cuya densidad de empaquetamiento es igual a la constante de empaquetamiento, y esta constante de empaquetamiento no varía si las bolas en la definición de densidad se reemplazan por dilataciones de algún otro cuerpo convexo. . [1]
Un conjunto particular de oferta de interés son todos los movimientos euclidianos de un cuerpo convexo fijo K. En este caso, llamamos a la constante de empaquetamiento constante de empaquetamiento de K. La conjetura de Kepler se refiere a la constante de empaquetamiento de 3 bolas. La conjetura de empaquetamiento de Ulam establece que las 3 bolas tienen la constante de empaquetamiento más baja de cualquier sólido convexo. Todas las traslaciones de un cuerpo fijo también son una colección de suministro común de interés y definen la constante de empaquetamiento traslativa de ese cuerpo.
