La densidad de empaquetamiento o fracción de empaquetamiento de un empaquetamiento en un espacio determinado es la fracción del espacio que ocupan las figuras que forman el empaquetamiento. En términos más simples, se trata de la relación entre el volumen de los cuerpos en un espacio y el volumen del espacio en sí. En los problemas de empaquetamiento , el objetivo suele ser obtener un empaquetamiento de la mayor densidad posible.
Si K 1 ,..., K n son subconjuntos medibles de un espacio de medida compacto X y sus interiores no se intersecan por pares, entonces la colección [ K i ] es un empaquetamiento en X y su densidad de empaquetamiento es
Si el espacio que se está empaquetando es infinito en medida, como el espacio euclidiano , se acostumbra a definir la densidad como el límite de densidades exhibidas en bolas de radios cada vez mayores. Si B t es la bola de radio t centrada en el origen, entonces la densidad de un empaquetamiento [ K i : i ∈ ] es
Como este límite no siempre existe, también es útil definir las densidades superior e inferior como el límite superior y el límite inferior de los anteriores respectivamente. Si la densidad existe, las densidades superior e inferior son iguales. Siempre que cualquier bola del espacio euclidiano intersecta solo un número finito de elementos del empaquetamiento y que los diámetros de los elementos están acotados desde arriba, la densidad (superior, inferior) no depende de la elección del origen, y μ ( K i ∩ B t ) puede reemplazarse por μ ( K i ) para cada elemento que intersecta B t . [1] La bola también puede reemplazarse por dilataciones de algún otro cuerpo convexo, pero en general las densidades resultantes no son iguales.
A menudo, se está interesado en empaquetamientos restringidos a elementos de uso de una cierta colección de suministro. Por ejemplo, la colección de suministro puede ser el conjunto de todas las bolas de un radio dado. La densidad de empaquetamiento óptima o constante de empaquetamiento asociada con una colección de suministro es el supremo de las densidades superiores obtenidas por empaquetamientos que son subcolecciones de la colección de suministro. Si la colección de suministro consiste en cuerpos convexos de diámetro acotado, existe un empaquetamiento cuya densidad de empaquetamiento es igual a la constante de empaquetamiento, y esta constante de empaquetamiento no varía si las bolas en la definición de densidad se reemplazan por dilataciones de algún otro cuerpo convexo. [1]
Un conjunto de suministros de interés particular son todos los movimientos euclidianos de un cuerpo convexo fijo K . En este caso, llamamos a la constante de empaquetamiento la constante de empaquetamiento de K . La conjetura de Kepler se ocupa de la constante de empaquetamiento de 3-bolas. La conjetura de empaquetamiento de Ulam establece que las 3-bolas tienen la constante de empaquetamiento más baja de cualquier sólido convexo. Todas las traslaciones de un cuerpo fijo también son un conjunto de suministros de interés común y define la constante de empaquetamiento traslativa de ese cuerpo.
