Elasticidad de sustitución constante

Concepto en economía

La elasticidad de sustitución constante ( CES ) es una especificación común de muchas funciones de producción y funciones de utilidad en la economía neoclásica . La CES sostiene que la capacidad de sustituir un factor de entrada por otro (por ejemplo, trabajo por capital) para mantener el mismo nivel de producción se mantiene constante en diferentes niveles de producción. Para las funciones de utilidad, la CES significa que el consumidor tiene preferencias constantes de cómo le gustaría sustituir diferentes bienes (por ejemplo, trabajo por consumo) manteniendo el mismo nivel de utilidad, para todos los niveles de utilidad. Lo que esto significa es que tanto los productores como los consumidores tienen estructuras de entrada y preferencias similares sin importar el nivel de producción o utilidad.

El elemento económico vital de la medida es que proporciona al productor una imagen clara de cómo moverse entre diferentes modos o tipos de producción, por ejemplo, entre modos de producción que dependen de más mano de obra. Varios economistas han participado en el tema y han contribuido a la determinación final de la constante. Entre ellos se encuentran Tom McKenzie, John Hicks y Joan Robinson .

En concreto, surge en un tipo particular de función de agregación que combina dos o más tipos de bienes de consumo, o dos o más tipos de insumos de producción en una cantidad agregada. Esta función de agregación exhibe una elasticidad de sustitución constante .

Función de producción CES

A pesar de tener varios factores de producción en sustituibilidad, las más comunes son las formas de elasticidad de sustitución. Por el contrario de restringir la evaluación empírica directa, las constantes de Elasticidad de Sustitución son sencillas de utilizar y por lo tanto se utilizan ampliamente. ^[1] McFadden afirma que;

El supuesto de que la ES es constante es una restricción de la forma de las posibilidades de producción, y se puede caracterizar la clase de funciones de producción que tienen esta propiedad. Esto lo han hecho Arrow-Chenery-Minhas-Solow para el caso de producción de dos factores. ^[1]

La función de producción CES es una función de producción neoclásica que muestra una elasticidad de sustitución constante . En otras palabras, la tecnología de producción tiene un cambio porcentual constante en las proporciones de los factores (por ejemplo, trabajo y capital ) debido a un cambio porcentual en la tasa marginal de sustitución técnica . La función de producción CES de dos factores (capital, trabajo) introducida por Solow [ ^2] y posteriormente popularizada por Arrow , Chenery , Minhas y Solow es: ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle Q=F\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{\frac {\upsilon }{\rho }}}$

dónde

• ${\displaystyle Q}$= Cantidad de producción
• ${\displaystyle F}$= Productividad total de los factores
• ${\displaystyle a}$= Compartir parámetro
• ${\displaystyle K}$, = Cantidades de factores de producción primaria (Capital y Trabajo) ${\displaystyle L}$
• ${\displaystyle \rho }$= = Parámetro de sustitución ${\displaystyle {\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$
• ${\displaystyle \sigma }$= = Elasticidad de sustitución ${\displaystyle {\frac {1}{1-\rho }}}$
• ${\displaystyle \upsilon }$= grado de homogeneidad de la función de producción. Donde = 1 (Rendimiento constante a escala) , < 1 (Rendimiento decreciente a escala) , > 1 (Rendimiento creciente a escala) . ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle \upsilon }$

Como sugiere su nombre, la función de producción CES exhibe una elasticidad de sustitución constante entre el capital y el trabajo. Las funciones Leontief, lineal y Cobb-Douglas son casos especiales de la función de producción CES. Es decir,

• Si tiende a 1, tenemos una función sustitutiva lineal o perfecta; ${\displaystyle \rho }$
• Si tiende a cero en el límite, obtenemos la función de producción Cobb-Douglas ; ${\displaystyle \rho }$
• Si se acerca al infinito negativo obtenemos la función de producción de complementos perfectos o de Leontief . ${\displaystyle \rho }$

La forma general de la función de producción CES, con n insumos, es: ^[7]

${\displaystyle Q=F\cdot \left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{r}\ \right]^{\frac {1}{r}}}$

dónde

• ${\displaystyle Q}$= Cantidad de producción
• ${\displaystyle F}$= Productividad total de los factores
• ${\displaystyle a_{i}}$= Compartir parámetro de entrada i, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}$
• ${\displaystyle X_{i}}$= Cantidades de factores de producción (i = 1,2...n)
• ${\displaystyle s={\frac {1}{1-r}}}$= Elasticidad de sustitución.

Extender la forma funcional CES (Solow) para dar cabida a múltiples factores de producción genera algunos problemas. Sin embargo, no existe una forma completamente general de hacerlo. Uzawa demostró que las únicas funciones de producción de n factores posibles (n>2) con elasticidades parciales de sustitución constantes requieren que todas las elasticidades entre pares de factores sean idénticas o, si alguna difiere, todas deben ser iguales entre sí y todas las elasticidades restantes deben ser la unidad. ^[8] Esto es cierto para cualquier función de producción. Esto significa que el uso de la forma funcional CES para más de 2 factores generalmente significará que no hay una elasticidad de sustitución constante entre todos los factores.

Las funciones CES anidadas se encuentran comúnmente en modelos de equilibrio parcial y de equilibrio general . Diferentes anidaciones (niveles) permiten la introducción de la elasticidad de sustitución adecuada.

Función de utilidad CES

La misma forma funcional CES surge como función de utilidad en la teoría del consumidor . Por ejemplo, si existen tipos de bienes de consumo , entonces el consumo agregado podría definirse utilizando el agregador CES: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{s}}x_{i}^{\frac {s-1}{s}}\ \right]^{\frac {s}{s-1}}.}$

Aquí nuevamente, los coeficientes son parámetros de participación, y es la elasticidad de sustitución. Por lo tanto, los bienes de consumo son sustitutos perfectos cuando tiende a infinito y complementos perfectos cuando tiende a cero. En el caso en que tiende a uno, nuevamente se trata de un caso límite en el que se aplica la regla de L'Hôpital . El agregador CES también se denomina a veces agregador de Armington , que fue analizado por Armington (1969). ^[9] ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$

Las funciones de utilidad CES son un caso especial de preferencias homotéticas .

El siguiente es un ejemplo de una función de utilidad CES para dos bienes, y , con proporciones iguales: ^{[10] : 112} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle u(x,y)=(x^{r}+y^{r})^{1/r}.}$

La función de gasto en este caso es:

${\displaystyle e(p_{x},p_{y},u)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(r-1)/r}\cdot u.}$

La función de utilidad indirecta es su inversa:

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},I)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(1-r)/r}\cdot I.}$

Las funciones de demanda son:

${\displaystyle x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I,}$

${\displaystyle y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I.}$

Una función de utilidad CES es uno de los casos considerados por Dixit y Stiglitz (1977) en su estudio de la diversidad óptima de productos en un contexto de competencia monopolística . ^[11]

Obsérvese la diferencia entre la utilidad CES y la utilidad isoelástica : la función de utilidad CES es una función de utilidad ordinal que representa las preferencias en determinados paquetes de bienes de consumo, mientras que la función de utilidad isoelástica es una función de utilidad cardinal que representa las preferencias en loterías. Se ha utilizado una función de utilidad indirecta (dual) CES para derivar sistemas de demanda de marca consistentes con la utilidad, donde las demandas de categorías están determinadas endógenamente por una función de utilidad indirecta (dual) CES multicategoría. También se ha demostrado que las preferencias CES son autoduales y que tanto las preferencias CES primarias como las duales producen sistemas de curvas de indiferencia que pueden exhibir cualquier grado de convexidad. ^[12]

Referencias

1. McFadden, Daniel (junio de 1963). "Elasticidad constante de las funciones de producción de sustitución". The Review of Economic Studies . 30 (2): 73–83. doi :10.2307/2295804. ISSN  0034-6527. JSTOR  2295804.
2. Solow, RM (1956). "Una contribución a la teoría del crecimiento económico". The Quarterly Journal of Economics . 70 (1): 65–94. doi :10.2307/1884513. hdl : 10338.dmlcz/143862 . JSTOR  1884513.
3. Arrow, KJ; Chenery, HB; Minhas, BS; Solow, RM (1961). "Sustitución de capital por trabajo y eficiencia económica". Revista de Economía y Estadística . 43 (3): 225–250. doi :10.2307/1927286. JSTOR  1927286.
4. Jorgensen, Dale W. (2000). Econometría, vol. 1: Modelado econométrico del comportamiento del productor . Cambridge, MA: MIT Press. p. 2. ISBN 978-0-262-10082-3.
5. Klump, R; McAdam, P; Willman, A. (2007). "Sustitución de factores y aumento de factores en el progreso técnico en los Estados Unidos: un enfoque sistémico normalizado del lado de la oferta". Revista de economía y estadística . 89 (1): 183–192. doi :10.1162/rest.89.1.183. hdl : 10419/152801 . S2CID  57570638.
6. de La Grandville, Olivier (2016). Crecimiento económico: un enfoque unificado . Cambridge University Press. doi :10.1017/9781316335703. ISBN 9781316335703.
7. http://www.econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/GraduateTheoryUCSB/elasticity%20of%20substitutionrevised.tex.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
8. Uzawa, H (1962). "Funciones de producción con elasticidades de sustitución constantes". Review of Economic Studies . 29 (4): 291–299. doi :10.2307/2296305. JSTOR  2296305.
9. Armington, PS (1969). "Una teoría de la demanda de productos diferenciados por el lugar de producción". Documentos del personal del FMI . 16 (1): 159–178. doi :10.2307/3866403. JSTOR  3866403.
10. Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (tercera edición). Nueva York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
11. Dixit, Avinash; Stiglitz, Joseph (1977). "Competencia monopolística y diversidad óptima de productos". American Economic Review . 67 (3): 297–308. JSTOR  1831401.
12. Baltas, George (2001). "Sistemas de demanda de marca consistentes con la utilidad con consumo de categorías endógenas: principios y aplicaciones de marketing". Decision Sciences . 32 (3): 399–421. doi :10.1111/j.1540-5915.2001.tb00965.x.

Enlaces externos

• Anatomía de las funciones de producción tipo CES en 3D
• Solución de formato cerrado para una empresa con tecnología CES N-dimensional
• Función de ingresos de los monopolistas