Bosón de Goldstone

En física de partículas y materia condensada , los bosones de Goldstone o bosones de Nambu-Goldstone ( NGB ) son bosones que aparecen necesariamente en modelos que exhiben ruptura espontánea de simetrías continuas . Fueron descubiertos por Yoichiro Nambu en física de partículas dentro del contexto del mecanismo de superconductividad BCS , ^[1] y posteriormente elucidados por Jeffrey Goldstone , ^[2] y generalizados sistemáticamente en el contexto de la teoría cuántica de campos . ^[3] En física de materia condensada, dichos bosones son cuasipartículas y se conocen como modos de Anderson-Bogoliubov. ^[4]^[5]^[6]

Estos bosones sin espín corresponden a los generadores de simetría interna que se rompen espontáneamente y se caracterizan por los números cuánticos de estos. Se transforman de forma no lineal (se desplazan) bajo la acción de estos generadores y, por lo tanto, pueden ser excitados fuera del vacío asimétrico por estos generadores. Por lo tanto, pueden considerarse como las excitaciones del campo en las direcciones de simetría rota en el espacio de grupo, y no tienen masa si la simetría que se rompe espontáneamente no se rompe también de forma explícita .

Si, en cambio, la simetría no es exacta, es decir, si se rompe explícitamente además de espontáneamente, entonces los bosones de Nambu-Goldstone no carecen de masa, aunque suelen permanecer relativamente ligeros; se los llama entonces bosones pseudo-Goldstone o bosones pseudo-Nambu-Goldstone (abreviados PNGB ).

Teorema de Goldstone

El teorema de Goldstone examina una simetría continua genérica que se rompe espontáneamente , es decir, sus corrientes se conservan, pero el estado fundamental no es invariante bajo la acción de las cargas correspondientes. Entonces, necesariamente, aparecen nuevas partículas escalares sin masa (o ligeras, si la simetría no es exacta) en el espectro de posibles excitaciones. Hay una partícula escalar, llamada bosón de Nambu-Goldstone, por cada generador de la simetría que se rompe, es decir, que no conserva el estado fundamental . El modo de Nambu-Goldstone es una fluctuación de longitud de onda larga del parámetro de orden correspondiente .

En virtud de sus propiedades especiales en el acoplamiento al vacío de la respectiva teoría de ruptura de simetría, los bosones de Goldstone con momento evanescente ("blandos") involucrados en amplitudes de teoría de campo hacen que dichas amplitudes se desvanezcan ("ceros de Adler").

Ejemplos

Natural

En los fluidos , el fonón es longitudinal y es el bosón de Goldstone de la simetría galileana rota espontáneamente . En los sólidos , la situación es más complicada; los bosones de Goldstone son los fonones longitudinales y transversales y resultan ser los bosones de Goldstone de la simetría galileana, traslacional y rotacional rota espontáneamente sin una correspondencia biunívoca simple entre los modos de Goldstone y las simetrías rotas.
En los imanes , la simetría rotacional original (presente en ausencia de un campo magnético externo) se rompe espontáneamente de modo que la magnetización apunta en una dirección específica. Los bosones de Goldstone son entonces los magnones , es decir, ondas de espín en las que oscila la dirección de magnetización local.
Los piones son los pseudobosones de Goldstone que resultan de la ruptura espontánea de las simetrías de sabor quiral de la QCD, efectuada por la condensación de quarks debido a la interacción fuerte. Estas simetrías se rompen aún más explícitamente por las masas de los quarks, de modo que los piones no carecen de masa, pero su masa es significativamente menor que las masas típicas de los hadrones.
Los componentes de polarización longitudinal de los bosones W y Z corresponden a los bosones de Goldstone de la parte espontáneamente rota de la simetría electrodébil SU(2)⊗U(1), que, sin embargo, no son observables. ^{[nb 1]} Debido a que esta simetría es calibrada, los tres posibles bosones de Goldstone son absorbidos por los tres bosones de calibración correspondientes a los tres generadores rotos; esto da a estos tres bosones de calibración una masa y el tercer grado de libertad de polarización necesario asociado. Esto se describe en el Modelo Estándar a través del mecanismo de Higgs . Un fenómeno análogo ocurre en la superconductividad , que sirvió como fuente original de inspiración para Nambu, a saber, el fotón desarrolla una masa dinámica (expresada como exclusión de flujo magnético de un superconductor), cf. la teoría de Ginzburg-Landau .
Las fluctuaciones primordiales durante la inflación pueden verse como bosones de Goldstone que surgen debido a la ruptura espontánea de la simetría de traslación temporal de un universo de Sitter . Estas fluctuaciones en el campo escalar del inflatón posteriormente generan la formación de la estructura cósmica . ^[7]
Ricciardi y Umezawa propusieron en 1967 una teoría general (cerebro cuántico) sobre el posible mecanismo cerebral de almacenamiento y recuperación de la memoria en términos de bosones de Nambu-Goldstone. ^[8] Esta teoría fue posteriormente ampliada en 1995 por Giuseppe Vitiello teniendo en cuenta que el cerebro es un sistema "abierto" (el modelo cuántico disipativo del cerebro). ^[9] Aplicaciones de la ruptura espontánea de simetría y del teorema de Goldstone a sistemas biológicos, en general, han sido publicadas por E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani y G. Vitiello, ^[10]^[11] y por E. Del Giudice, G. Preparata y G. Vitiello. ^[12] Mari Jibu y Kunio Yasue ^[13] y Giuseppe Vitiello, ^[14] basándose en estos hallazgos, discutieron las implicaciones para la conciencia.

Teoría

Consideremos un campo escalar complejo $ϕ$ , con la restricción de que , es una constante. Una forma de imponer una restricción de este tipo es incluir un término de interacción potencial en su densidad lagrangiana , $\phi ^{*}\phi =v^{2}$

\lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,

y tomando el límite como $λ \to \infty$ . Esto se llama el "modelo σ no lineal abeliano". ^{[nb 2]}

La restricción y la acción que se indican a continuación son invariantes bajo una transformación de fase U (1), $δϕ =i εϕ$ . El campo se puede redefinir para dar un campo escalar real (es decir, una partícula de espín cero) $θ$ sin ninguna restricción mediante

\phi = ve^{i\theta}

donde $θ$ es el bosón de Nambu-Goldstone (en realidad lo es) y la transformación de simetría U (1) produce un desplazamiento en $θ$ , es decir ${\estilo de visualización v\theta}$

\delta \theta =\epsilon ~,

pero no conserva el estado fundamental $|0〉$ (es decir, la transformación infinitesimal anterior no lo aniquila —el sello distintivo de la invariancia), como es evidente en la carga de la corriente a continuación.

Así, el vacío es degenerado y no invariante bajo la acción de la simetría rota espontáneamente.

La densidad lagrangiana correspondiente viene dada por

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _ {\mu }\phi -m^{2 }\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta)(ive^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},

y por lo tanto

={\frac {v^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta)(\partial _ {\mu }\theta )-m^{2}v^{2 }~.

Tenga en cuenta que el término constante en la densidad lagrangiana no tiene significado físico y el otro término es simplemente el término cinético para un escalar sin masa. $Estilo de visualización m^{2}v^{2}}$

La corriente U (1) conservada inducida por simetría es

J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.

La carga, Q , resultante de esta corriente desplaza $θ$ y el estado fundamental a un nuevo estado fundamental degenerado. Por lo tanto, un vacío con $〈 θ 〉 = 0$ se desplazará a un vacío diferente con $〈 θ 〉 = ε$ . La corriente conecta el vacío original con el estado del bosón de Nambu-Goldstone, $〈0| J 0 (0)| θ 〉\neq 0$ .

En general, en una teoría con varios campos escalares, $ϕ j$ , el modo de Nambu–Goldstone $ϕ g$ no tiene masa y parametriza la curva de posibles estados de vacío (degenerados). Su característica distintiva bajo la transformación de simetría rota es la expectativa de vacío no nula $〈 δϕ g 〉$ , un parámetro de orden , para nulidad $〈 ϕ g 〉 = 0$ , en algún estado fundamental |0〉 elegido en el mínimo del potencial, $〈\partial V /\partial ϕ i 〉 = 0$ . En principio, el vacío debería ser el mínimo del potencial efectivo que tiene en cuenta los efectos cuánticos, sin embargo, es igual al potencial clásico en primera aproximación. La simetría dicta que todas las variaciones del potencial con respecto a los campos en todas las direcciones de simetría se desvanecen. El valor de vacío de la variación de primer orden en cualquier dirección se desvanece como se acaba de ver; mientras que el valor de vacío de la variación de segundo orden también debe desaparecer, como sigue. La desaparición de los valores de vacío de los incrementos de transformación de simetría de campo no agrega información nueva.

Por el contrario, sin embargo, las expectativas de vacío no nulas de los incrementos de transformación , $〈 δϕ g 〉$ , especifican los vectores propios nulos relevantes (Goldstone) de la matriz de masa ,

$\left\langle {\partial ^{2}V \over \partial \phi _{i}\partial \phi _{j}}\right\rangle \langle \delta \phi _{j}\rangle =0~,$

y por lo tanto los valores propios de masa cero correspondientes.

El argumento de Goldstone

El principio que sustenta el argumento de Goldstone es que el estado fundamental no es único. Normalmente, por conservación de la corriente, el operador de carga para cualquier corriente de simetría es independiente del tiempo.

{d \sobre dt}Q={d \sobre dt}\int _{x}J^{0}(x)=0.

Al actuar con el operador de carga sobre el vacío, se aniquila el vacío , si es simétrico; de lo contrario, si no lo es , como es el caso en la ruptura espontánea de la simetría, se produce un estado de frecuencia cero a partir de él, mediante su característica de transformación de desplazamiento ilustrada anteriormente. En realidad, aquí, la carga en sí misma está mal definida, véase el argumento de Fabri-Picasso a continuación.

Pero sus conmutadores con mejor comportamiento con campos, es decir, los desplazamientos de transformación no nulos $〈 δϕ g 〉$ , son, sin embargo, invariantes en el tiempo ,

{\frac {d\langle \delta \phi _{g}\rangle }{dt}}=0,

generando así un $δ(k 0)$ en su transformada de Fourier. ^[15] (Esto garantiza que insertar un conjunto completo de estados intermedios en un conmutador de corriente que no se desvanece puede llevar a una evolución temporal que se desvanece solo cuando uno o más de estos estados no tienen masa).

Así, si el vacío no es invariante bajo la simetría, la acción del operador de carga produce un estado distinto del vacío elegido, pero que tiene frecuencia cero. Se trata de una oscilación de longitud de onda larga de un campo que es casi estacionario: hay estados físicos con frecuencia cero, $k 0$ , de modo que la teoría no puede tener una brecha de masa .

Este argumento se aclara aún más si tomamos el límite con cuidado. Si se aplica al vacío un operador de carga aproximado que actúa en una región $A enorme pero finita,$

{d \sobre dt}Q_{A}={d \sobre dt}\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}J^{0}(x)=-\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\nabla \cdot J=\int _{x}\nabla \left(e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\right)\cdot J,

Se produce un estado con una derivada temporal que se desvanece aproximadamente,

\left\|{d \sobre dt}Q_{A}|0\rangle \right\|\aprox {\frac {1}{A}}\left\|Q_{A}|0\rangle \right\|.

Suponiendo una brecha de masa no nula $m 0$ , la frecuencia de cualquier estado como el anterior, que es ortogonal al vacío, es al menos $m 0$ ,

\left\|{\frac {d}{dt}}|\theta \rangle \right\|=\|H|\theta \rangle \|\geq m_{0}\||\theta \rangle \|.

Si se hace que $A$ sea grande se produce una contradicción. En consecuencia, $m$ ₀ = 0. Sin embargo, este argumento falla cuando la simetría es calibrada, porque entonces el generador de simetría solo está realizando una transformación de calibración. Un estado transformado de calibración es exactamente el mismo estado, de modo que actuar con un generador de simetría no permite salir del vacío (véase el mecanismo de Higgs ).

Teorema de Fabri-Picasso.

Q

no existe propiamente en el espacio de Hilbert, a menos que

Q |0〉 = 0

El argumento ^[16]^[17] requiere que tanto el vacío como la carga $Q$ sean invariantes traslacionalmente, $P |0〉 = 0$ , $[P,Q]= 0$ .

Consideremos la función de correlación de la carga consigo misma,

{\begin{aligned}\langle 0|QQ|0\rangle &=\int d^{3}x\langle 0|j_{0}(x)Q|0\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Q\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Qe^{iPx}e^{-iPx}\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|j_{0}(0)Q\right|0\right\rangle \end{aligned}}

Por lo tanto, el integrando en el lado derecho no depende de la posición.

Por lo tanto, su valor es proporcional al volumen total del espacio, a menos que la simetría sea ininterrumpida, $Q$ $|0〉 = 0$ . En consecuencia, $Q$ no existe propiamente en el espacio de Hilbert. $\|Q|0\rangle \|^{2}=\infty$

Infrapartículas

El teorema tiene una laguna discutible. Si se lee con atención, solo afirma que existen estados que no son de vacío con energías arbitrariamente pequeñas. Tomemos como ejemplo un modelo de QCD super quiral N = 1 con un VEV de squark distinto de cero que es conforme en el IR . La simetría quiral es una simetría global que se rompe (parcialmente) espontáneamente. Algunos de los "bosones de Goldstone" asociados con esta ruptura espontánea de simetría están cargados bajo el grupo de calibración ininterrumpido y, por lo tanto, estos bosones compuestos tienen un espectro de masa continuo con masas arbitrariamente pequeñas, pero aún así no hay ningún bosón de Goldstone con masa exactamente cero . En otras palabras, los bosones de Goldstone son infrapartículas .

Extensiones

Teorías no relativistas

Una versión del teorema de Goldstone también se aplica a las teorías no relativistas . ^[18]^[19] Básicamente, establece que, para cada simetría rota espontáneamente, corresponde alguna cuasipartícula que es típicamente un bosón y no tiene brecha de energía . En la materia condensada, estos bosones de Goldstone también se denominan modos sin brecha (es decir, estados donde la relación de dispersión de energía es como y es cero para ), la versión no relativista de las partículas sin masa (es decir, fotones donde la relación de dispersión también es y cero para ). Nótese que la energía en el caso de la materia condensada no relativista es $H$ $-$ $μN$ $-$ $α$ $\to$ $\cdot$ $P$ $\to$ y no $H$ como sería en un caso relativista. Sin embargo, dos generadores diferentes rotos espontáneamente ahora pueden dar lugar al mismo bosón de Nambu-Goldstone. $E\propto p^{n}$ $p=0$ $E=pc$ $p=0$

Como primer ejemplo un antiferromagnético tiene 2 bosones goldstone, un ferromagnético tiene 1 bosón goldstone, donde en ambos casos estamos rompiendo la simetría de SO(3) a SO(2), para el antiferromagnético la dispersión es y el valor esperado del estado fundamental es cero, para el ferromagnético en cambio la dispersión es y el valor esperado del estado fundamental no es cero, es decir hay una simetría rota espontáneamente para el estado fundamental ^[20]^[21] $E\propto p$ $E\propto p^{2}$

Como segundo ejemplo, en un superfluido , tanto la simetría del número de partículas U(1) como la simetría galileana se rompen espontáneamente. Sin embargo, el fonón es el bosón de Goldstone para ambas. ^[22]^[23]

En relación con la ruptura de simetría, también existe una estrecha analogía entre los modos sin brecha en la materia condensada y el bosón de Higgs, por ejemplo, en la transición de fase de paramagnético a ferromagnético ^[24]^[25]

Ruptura de simetrías del espacio-tiempo

A diferencia del caso de la ruptura de simetrías internas, cuando se rompen simetrías espaciotemporales como la de Lorentz , la conforme, la rotacional o la traslacional, el parámetro de orden no necesita ser un campo escalar, sino que puede ser un campo tensorial, y el número de modos independientes sin masa puede ser menor que el número de generadores que se rompen espontáneamente. Para una teoría con un parámetro de orden que rompe espontáneamente una simetría espaciotemporal, el número de generadores que se rompen menos el número de soluciones independientes no triviales para $\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle$ $Estilo de visualización T^{a}}$ $c_{a}({\boldsymbol {r}})$

c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0

es el número de modos de Goldstone que surgen. ^[26] Para simetrías internas, la ecuación anterior no tiene soluciones no triviales, por lo que se cumple el teorema habitual de Goldstone. Cuando existen soluciones, esto se debe a que los modos de Goldstone son linealmente dependientes entre sí, en el sentido de que el modo resultante se puede expresar como gradientes de otro modo. Dado que la dependencia espaciotemporal de las soluciones está en la dirección de los generadores no rotos, cuando todos los generadores de traslación están rotos, no existen soluciones no triviales y el número de modos de Goldstone es una vez más exactamente el número de generadores rotos. $c_{a}({\boldsymbol {r}})$

En general, el fonón es efectivamente el bosón de Nambu-Goldstone para la simetría de traducción rota espontáneamente ^[27] .

Fermiones de Nambu-Goldstone

Las simetrías fermiónicas globales rotas espontáneamente, que ocurren en algunos modelos supersimétricos , conducen a fermiones de Nambu-Goldstone o goldstinos . ^[28]^[29] Estos tienen espín ⁠ 1 /2⁠ , en lugar de 0, y llevan todos los números cuánticos de los respectivos generadores de supersimetría rotos espontáneamente.

La ruptura espontánea de la supersimetría destruye ("reduce") las estructuras de supermultipletes en las realizaciones no lineales características de la supersimetría rota, de modo que los goldstinos son supercompañeros de todas las partículas en la teoría, de cualquier espín , y los únicos supercompañeros, además. Es decir, dos partículas no goldstinos están conectadas solo con goldstinos a través de transformaciones de supersimetría, y no entre sí, incluso si estaban conectadas de esa manera antes de la ruptura de la supersimetría. Como resultado, las masas y las multiplicidades de espín de tales partículas son arbitrarias.

Véase también

Notas

^ En las teorías con simetría de norma , los bosones de Goldstone están ausentes. Sus grados de libertad son absorbidos ("comidos", eliminados) por los bosones de norma , a través del mecanismo de Higgs . Estos últimos se vuelven masivos y su nueva polarización longitudinal es proporcionada por el bosón de Goldstone, en un elaborado reordenamiento de los grados de libertad.
^ Corresponde al potencial del sombrero Goldstone donde la punta y los lados disparan al infinito, conservando la ubicación del mínimo en su base.

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