Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser

Resultado en sistemas dinámicos

El teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser ( KAM ) es un resultado de sistemas dinámicos sobre la persistencia de movimientos cuasiperiódicos bajo pequeñas perturbaciones. El teorema resuelve parcialmente el problema del divisor pequeño que surge en la teoría de perturbaciones de la mecánica clásica .

El problema es si una pequeña perturbación de un sistema dinámico conservativo da como resultado o no una órbita cuasiperiódica duradera . El avance original en este problema lo dio Andrey Kolmogorov en 1954. ^[1] Esto fue rigurosamente demostrado y ampliado por Jürgen Moser en 1962 ^[2] (para mapas de torsión suave) y Vladimir Arnold en 1963 ^[3] (para sistemas hamiltonianos analíticos ), y el resultado general se conoce como el teorema KAM.

Arnold pensó originalmente que este teorema podría aplicarse a los movimientos del Sistema Solar u otros casos del problema de n cuerpos , pero resultó que sólo funcionaba para el problema de tres cuerpos debido a una degeneración en su formulación del problema para un mayor número de cuerpos. Más tarde, Gabriella Pinzari demostró cómo eliminar esta degeneración desarrollando una versión del teorema invariante a la rotación. ^[4]

Declaración

Sistemas hamiltonianos integrables

El teorema KAM se suele enunciar en términos de trayectorias en el espacio de fases de un sistema hamiltoniano integrable . El movimiento de un sistema integrable está confinado a un toro invariante (una superficie con forma de rosquilla ). Diferentes condiciones iniciales del sistema hamiltoniano integrable trazarán diferentes toros invariantes en el espacio de fases. Si se trazan las coordenadas de un sistema integrable, se demostraría que son cuasiperiódicos.

Perturbaciones

El teorema KAM establece que si el sistema se somete a una perturbación no lineal débil, algunos de los toros invariantes se deforman y sobreviven, es decir, hay una función desde la variedad original a la deformada que es continua en la perturbación. Por el contrario, otros toros invariantes se destruyen: incluso perturbaciones arbitrariamente pequeñas hacen que la variedad ya no sea invariante y no exista tal función con las variedades cercanas. Los toros supervivientes cumplen la condición de no resonancia, es decir, tienen frecuencias "suficientemente irracionales". Esto implica que el movimiento en el toro deformado sigue siendo cuasiperiódico , con los periodos independientes cambiados (como consecuencia de la condición de no degeneración). El teorema KAM cuantifica el nivel de perturbación que se puede aplicar para que esto sea cierto.

Los toros KAM que son destruidos por la perturbación se convierten en conjuntos de Cantor invariantes , llamados Cantori por Ian C. Percival en 1979. ^[5]

Las condiciones de no resonancia y no degeneración del teorema KAM se hacen cada vez más difíciles de satisfacer para sistemas con más grados de libertad. A medida que aumenta el número de dimensiones del sistema, el volumen ocupado por los toros disminuye.

A medida que aumenta la perturbación y las curvas suaves se desintegran, pasamos de la teoría KAM a la teoría de Aubry-Mather, que requiere hipótesis menos estrictas y trabaja con conjuntos tipo Cantor.

La existencia de un teorema KAM para perturbaciones de sistemas integrables cuánticos de muchos cuerpos todavía es una cuestión abierta, aunque se cree que perturbaciones arbitrariamente pequeñas destruirán la integrabilidad en el límite de tamaño infinito.

Consecuencias

Una consecuencia importante del teorema KAM es que, para un conjunto grande de condiciones iniciales, el movimiento permanece perpetuamente cuasiperiódico. ^{[ ¿cuál? ]}

Teoría KAM

Los métodos introducidos por Kolmogorov, Arnold y Moser han dado lugar a un gran conjunto de resultados relacionados con los movimientos cuasiperiódicos, ahora conocidos como teoría KAM . Cabe destacar que se han extendido a sistemas no hamiltonianos (empezando por Moser), a situaciones no perturbativas (como en el trabajo de Michael Herman ) y a sistemas con frecuencias rápidas y lentas (como en el trabajo de Mikhail B. Sevryuk).

Toro KAM

Una variedad invariante bajo la acción de un flujo se llama invariante -toro, si existe un difeomorfismo en el -toro estándar tal que el movimiento resultante en es uniforme lineal pero no estático, es decir , donde es un vector constante distinto de cero, llamado vector de frecuencia . ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$ ${\displaystyle \phi ^{t}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}:{\mathcal {T}}^{d}\rightarrow \mathbb {T} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}:=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{d}}$

Si el vector de frecuencia es: ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• racionalmente independiente ( también conocido como inconmensurable, es decir para todos ) ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$
• y "mal" aproximado por racionales, típicamente en un sentido diofántico : , ${\displaystyle \exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$

entonces el invariante -toro ( ) se llama toro KAM . El caso normalmente se excluye en la teoría KAM clásica porque no involucra divisores pequeños. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle d=1}$

Véase también

• Estabilidad del sistema solar
• Difusión de Arnold
• Teoría ergódica
• La mariposa de Hofstadter
• Estimaciones de Nekhoroshev

Notas

1. AN Kolmogorov, "Sobre la conservación de movimientos condicionalmente periódicos bajo pequeñas perturbaciones del hamiltoniano [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона]", Dokl. Akád. Nauk RSS 98 (1954).
2. J. Moser, "Sobre curvas invariantes de aplicaciones de preservación de área de un anillo", Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1962 (1962), 1–20.
3. VI Arnold, "Prueba de un teorema de AN Kolmogorov sobre la preservación de movimientos condicionalmente periódicos bajo una pequeña perturbación del hamiltoniano [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]", Mat. Nauk 18 (1963) (traducción al inglés: Russ. Math. Surv. 18 , 9-36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130).
4. Khesin, Boris (24 de octubre de 2011), Colliander, James (ed.), "Addendum to Arnold Memorial Workshop: Khesin on Pinzari's talk", Blog de James Colliander , archivado del original el 29 de marzo de 2017 , consultado el 29 de marzo de 2017
5. Percival, IC (1979-03-01). "Un principio variacional para toros invariantes de frecuencia fija". Journal of Physics A: Mathematical and General . 12 (3): L57–L60. Bibcode :1979JPhA...12L..57P. doi :10.1088/0305-4470/12/3/001.

Referencias

• Arnold, Weinstein, Vogtmann. Métodos matemáticos de la mecánica clásica , 2.ª ed., Apéndice 8: Teoría de perturbaciones del movimiento condicionalmente periódico y teorema de Kolmogorov. Springer 1997.
• Sevryuk, MB Traducción del artículo de VI Arnold “De las superposiciones a la teoría KAM” (Vladimir Igorevich Arnold. Selected — 60, Moscú: PHASIS, 1997, pp. 727–740). Regul. Chaot. Dyn. 19, 734–744 (2014) . https://doi.org/10.1134/S1560354714060100
• Wayne, C. Eugene (enero de 2008). "An Introduction to KAM Theory" (PDF) . Preimpresión : 29. Consultado el 20 de junio de 2012 .
• Jürgen Pöschel (2001). "Una conferencia sobre el teorema KAM clásico" (PDF) . Actas de simposios sobre matemáticas puras . 69 : 707–732. CiteSeerX  10.1.1.248.8987 . doi :10.1090/pspum/069/1858551. ISBN . 9780821826829Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2016. Consultado el 6 de junio de 2006 .
• Rafael de la Llave (2001) Un tutorial sobre la teoría KAM .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser". MathWorld .
• La teoría KAM: el legado del trabajo de Kolmogorov de 1954
• Teoría de Kolmogorov-Arnold-Moser de Scholarpedia
• H Scott Dumas. La historia de KAM: una introducción amistosa al contenido, la historia y la importancia de la teoría clásica de Kolmogorov-Arnold-Moser , 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3 . Capítulo 1: Introducción