Difusión de Arnold

Fenómeno de inestabilidad de sistemas hamiltonianos integrables

En matemáticas aplicadas , la difusión de Arnold es el fenómeno de inestabilidad de los sistemas hamiltonianos casi integrables . El fenómeno recibe su nombre de Vladimir Arnold, quien fue el primero en publicar un resultado en el campo en 1964. ^{[1] [2]} Más precisamente, la difusión de Arnold se refiere a los resultados que afirman la existencia de soluciones para sistemas hamiltonianos casi integrables que exhiben un cambio significativo en las variables de acción.

La difusión de Arnold describe la difusión de trayectorias debida al teorema ergódico en una porción del espacio de fases no limitada por ninguna restricción ( es decir, no limitada por toros lagrangianos que surgen de constantes de movimiento ) en sistemas hamiltonianos . Ocurre en sistemas con más de N = 2 grados de libertad, ya que los toros invariantes N -dimensionales ya no separan el espacio de fases 2N -1 dimensional. Por lo tanto, una perturbación arbitrariamente pequeña puede hacer que varias trayectorias vaguen de forma pseudoaleatoria por toda la porción del espacio de fases dejada por los toros destruidos.

Antecedentes y declaración

En el caso de los sistemas integrables, se tiene la conservación de las variables de acción . Según el teorema KAM, si perturbamos ligeramente un sistema integrable, muchas de las soluciones del sistema perturbado (aunque ciertamente no todas) se mantienen cercanas, para siempre, al sistema no perturbado. En particular, dado que las variables de acción se conservaron originalmente, el teorema nos dice que solo hay un pequeño cambio en la acción para muchas soluciones del sistema perturbado.

Sin embargo, como se señaló por primera vez en el artículo de Arnold, ^[1] existen sistemas casi integrables para los cuales existen soluciones que exhiben un crecimiento arbitrariamente grande en las variables de acción. Más precisamente, Arnold consideró el ejemplo de un sistema hamiltoniano casi integrable con un hamiltoniano

${\displaystyle H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1)+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}}$

Los tres primeros términos de este hamiltoniano describen un sistema de péndulo rotador. Arnold demostró que para este sistema, para cualquier elección de , y para , existe una solución para el sistema para el cual ${\displaystyle I_{+}>I_{-}>0}$ ${\displaystyle 0<\mu \ll \epsilon \ll 1}$

${\displaystyle I(0)<I_{-}{\text{ and }}I(T)>I_{+}}$

por algún tiempo ${\displaystyle T\gg 0.}$

Su demostración se basa en la existencia de "cadenas de transición" de toros "bigoteados", es decir, secuencias de toros con dinámica transitiva tal que la variedad inestable (bigotes) de uno de estos toros interseca transversalmente la variedad estable (bigotes) del siguiente. Arnold conjeturó que "el mecanismo de las 'cadenas de transición' que garantiza la no estabilidad en nuestro ejemplo también es aplicable al caso general (por ejemplo, al problema de los tres cuerpos)". ^[1]

El teorema KAM y la difusión de Arnold han dado lugar a un compendio de resultados matemáticos rigurosos, con aportes de la física. ^{[3] [4]}

Caso general

En el modelo de Arnold, el término de perturbación es de un tipo especial. El caso general del problema de difusión de Arnold se refiere a sistemas hamiltonianos de una de las formas

(1) ${\displaystyle H_{\epsilon }(I,\phi ,p,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)}$

donde , , y describe un sistema de péndulo rotador, o ${\displaystyle (I,\phi ,p,q,t)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}}$ ${\displaystyle m,n\geq 1}$ ${\displaystyle H_{0}(I,p,q)}$

(2) ${\displaystyle H_{\epsilon }(I,\phi )=H_{0}(I)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,t)}$

dónde , ${\displaystyle (I,\phi ,t)\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N}\times \mathbb {T} ^{1}}$ ${\displaystyle N\geq 2.}$

Para sistemas como en (1) , el hamiltoniano no perturbado posee familias suaves de toros invariantes que tienen variedades hiperbólicas estables e inestables ; tales sistemas se denominan inestables a priori . Para sistemas como en (2) , el espacio de fase del hamiltoniano no perturbado está foliado por toros invariantes lagrangianos ; tales sistemas se denominan estables a priori . ^[5] En cualquier caso, el problema de difusión de Arnold afirma que, para sistemas "genéricos", existen tales que para cada suficientemente pequeño existen curvas solución para las cuales ${\displaystyle \rho >0}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \|I(T)-I(0)\|\geq \rho }$

Durante algún tiempo, se pueden encontrar formulaciones precisas de posibles condiciones de genericidad en el contexto de un sistema a priori inestable y a priori estable en ^{[6] [7]} respectivamente. De manera informal, el problema de difusión de Arnold dice que pequeñas perturbaciones pueden acumularse para dar lugar a grandes efectos. ${\displaystyle T\gg 0.}$

Resultados recientes en el caso inestable a priori incluyen, ^{[8] [9] [10] [11] [12]} y en el caso estable a priori. ^{[13] [14]}

En el contexto del problema restringido de los tres cuerpos , la difusión de Arnold puede interpretarse en el sentido de que, para todos los valores suficientemente pequeños y distintos de cero de la excentricidad de las órbitas elípticas de los cuerpos masivos, existen soluciones a lo largo de las cuales la energía de la masa despreciable cambia en una cantidad que es independiente de la excentricidad. ^{[15] [16] [17]}

Véase también

• Teorema KAM
• Estimaciones de Nekhoroshev

Referencias

1. Arnold, Vladimir I. (1964). "Inestabilidad de sistemas dinámicos con varios grados de libertad". Matemáticas soviéticas . 5 : 581–585.
2. Florin Diacu ; Philip Holmes (1996). Encuentros celestiales: los orígenes del caos y la estabilidad. Princeton University Press. pág. 193. ISBN 0-691-00545-1.
3. Pierre Lochak, (1999) Difusión de Arnold; un compendio de observaciones y preguntas En "Sistemas hamiltonianos con tres o más grados de libertad" (S'Agar´o, 1995), C. Sim´o, ed, NATO ASI Series C: Math. Phys. Sci., Vol. 533, Kluwer Academic, Dordrecht (1999), 168–183.
4. Henk W. Broer, Mikhail B. Sevryuk (2007) Teoría KAM: cuasiperiodicidad en sistemas dinámicos En: HW Broer, B. Hasselblatt y F. Takens (eds.), Handbook of Dynamical Systems Vol. 3, Holanda Septentrional, 2010
5. Chierchia, Luigi; Gallavotti, Giovanni (1994). "Deriva y difusión en el espacio de fases". Annales de l'IHP: Physique Théorique . 60 : 1–144. SEÑOR  1259103. Zbl  1010.37039. (Fe de erratas: [Annales de l'IHP: Physique Théorique. 68: 135 (1998)] . Si se ha comprobado la fe de erratas y no afecta al material citado, sustitúyala por .{{erratum|...}}{{erratum|...|checked=yes}} )
6. Chen, Qinbo; de la Llave, Rafael (9 de marzo de 2022). "Genericidad analítica de órbitas difusoras en sistemas hamiltonianos inestables a priori". No linealidad . 35 (4). IOP Publishing: 1986–2019. arXiv : 2103.03847 . Bibcode :2022Nonli..35.1986C. doi : 10.1088/1361-6544/ac50bb . ISSN  0951-7715.
7. Mather, John N. (2012). "Difusión de Arnold por métodos variacionales". Ensayos sobre matemáticas y sus aplicaciones . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. págs. 271–285. doi :10.1007/978-3-642-28821-0_11. ISBN 978-3-642-28820-3.
8. Bolotin, S; Treschev, D (1999-01-01). "Crecimiento ilimitado de energía en sistemas hamiltonianos no autónomos". No linealidad . 12 (2). IOP Publishing: 365–388. Bibcode :1999Nonli..12..365B. doi :10.1088/0951-7715/12/2/013. ISSN  0951-7715. S2CID  250852828.
9. Cheng, Chong-Qing; Yan, Jun (1 de julio de 2004). "Existencia de órbitas de difusión en sistemas hamiltonianos inestables a priori". Journal of Differential Geometry . 67 (3). International Press of Boston. doi : 10.4310/jdg/1102091356 . ISSN  0022-040X.
10. Delshams, Amadeu; de la Llave, Rafael; M-Seara, Tere (2006). "Un mecanismo geométrico para la difusión en sistemas hamiltonianos que supera el problema de la brecha grande: Heurística y verificación rigurosa en un modelo". Mem. Am. Math. Soc . 179 (844). doi :10.1090/memo/0844. hdl : 2117/872 .
11. Gelfreich, Vassili; Turaev, Dmitry (24 de abril de 2017). "Difusión de Arnold en mapas simplécticos caóticos a priori". Comunicaciones en física matemática . 353 (2). Springer Science and Business Media LLC: 507–547. Bibcode :2017CMaPh.353..507G. doi :10.1007/s00220-017-2867-0. hdl : 10044/1/44044 . ISSN  0010-3616. S2CID  253744630.
12. Gidea, Marian; Llave, Rafael; M-Seara, Tere (24 de julio de 2019). "Un mecanismo general de difusión en sistemas hamiltonianos: resultados cualitativos". Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas . 73 (1). Wiley: 150–209. doi :10.1002/cpa.21856. hdl : 2117/188944 . ISSN  0010-3640. S2CID  119150120.
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14. Kaloshin, Vadim; Zhang, Ke (12 de noviembre de 2020). Difusión de Arnold para sistemas suaves de dos grados y medio de libertad (PDF) . Princeton University Press. doi :10.1515/9780691204932. ISBN 978-0-691-20493-2.
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16. Delshams, Amadeu; Kaloshin, Vadim; de la Rosa, Abraham; Seara, Tere M. (5 de septiembre de 2018). "Inestabilidad global en el problema de los tres cuerpos elípticos planos restringidos". Comunicaciones en física matemática . 366 (3). Springer Science and Business Media LLC: 1173–1228. doi :10.1007/s00220-018-3248-z. hdl : 2117/123338 . ISSN  0010-3616. S2CID  253752812.
17. Capiński, Maciej; Gidea, Marian (2021). "Un mecanismo general de inestabilidad en sistemas hamiltonianos: saltos a lo largo de una variedad invariante normalmente hiperbólica". Communications on Pure and Applied Mathematics . doi : 10.1002/cpa.22014 .