Movimiento cuasiperiódico

Tipo de movimiento que es aproximadamente periódico

En matemáticas y física teórica , el movimiento cuasiperiódico es el movimiento sobre un toro que nunca regresa al mismo punto. Este comportamiento también puede llamarse evolución cuasiperiódica, dinámica o flujo . El toro puede ser un toro generalizado de modo que la vecindad de cualquier punto sea más que bidimensional. En cada punto del toro hay una dirección de movimiento que permanece en el toro. Una vez que se define o fija un flujo en un toro, determina trayectorias. Si las trayectorias regresan a un punto dado después de un cierto tiempo, entonces el movimiento es periódico con ese período, de lo contrario es cuasiperiódico.

El movimiento cuasiperiódico se caracteriza por un conjunto finito de frecuencias que pueden considerarse como las frecuencias a las que el movimiento gira alrededor del toro en diferentes direcciones. Por ejemplo, si el toro es la superficie de una rosquilla, entonces existe la frecuencia a la que el movimiento gira alrededor de la rosquilla y la frecuencia a la que gira hacia dentro y hacia fuera. Pero el conjunto de frecuencias no es único: al redefinir la forma en que se parametriza la posición en el toro, se puede generar otro conjunto del mismo tamaño. Estas frecuencias serán combinaciones enteras de las frecuencias anteriores (de tal manera que la transformación hacia atrás también es una combinación entera). Para ser cuasiperiódico, las razones de las frecuencias deben ser números irracionales. ^{[1] [2] [3] [4]}

En la mecánica hamiltoniana con n variables de posición y tasas de cambio asociadas, a veces es posible encontrar un conjunto de n cantidades conservadas. Esto se llama el caso completamente integrable. Entonces uno tiene nuevas variables de posición llamadas coordenadas de ángulo de acción , una para cada cantidad conservada, y estos ángulos de acción simplemente aumentan linealmente con el tiempo. Esto da movimiento en " conjuntos de niveles " de las cantidades conservadas, lo que resulta en un toro que es una variedad n , que localmente tiene la topología de un espacio n -dimensional. ^[5] El concepto está estrechamente relacionado con los hechos básicos sobre el flujo lineal en el toro . Estos sistemas esencialmente lineales y su comportamiento bajo perturbación juegan un papel importante en la teoría general de los sistemas dinámicos no lineales . ^[6] El movimiento cuasiperiódico no exhibe el efecto mariposa característico de los sistemas caóticos . En otras palabras, comenzar desde un punto inicial ligeramente diferente en el toro da como resultado una trayectoria que siempre es solo ligeramente diferente de la trayectoria original, en lugar de que la desviación se vuelva grande. ^[4]

Movimiento rectilíneo

El movimiento rectilíneo a lo largo de una línea en un espacio euclidiano da lugar a un movimiento cuasiperiódico si el espacio se convierte en un toro (un espacio compacto ) haciendo que cada punto sea equivalente a cualquier otro punto situado de la misma manera con respecto a la red entera (los puntos con coordenadas enteras), siempre que los cosenos directores del movimiento rectilíneo formen razones irracionales. Cuando la dimensión es 2, esto significa que los cosenos directores son inconmensurables . En dimensiones superiores significa que los cosenos directores deben ser linealmente independientes en el campo de los números racionales . ^[5]

Parte de un movimiento cuasiperiódico en el 2-toro (como unidad cuadrada )

Modelo de toro

Si imaginamos que el espacio de fases está modelado por un toro T (es decir, las variables son periódicas, como los ángulos), la trayectoria del sistema cuasiperiódico está modelada por una curva en T que envuelve al toro sin volver nunca exactamente sobre sí misma. Suponiendo que la dimensión de T es al menos dos, estos pueden considerarse como subgrupos de un parámetro del toro dada la estructura del grupo (especificando un cierto punto como el elemento identidad ).

Funciones cuasiperiódicas

Un movimiento cuasiperiódico puede expresarse como una función del tiempo cuyo valor es un vector de " funciones cuasiperiódicas ". Una función cuasiperiódica f sobre la recta real es una función obtenida a partir de una función F sobre un toro estándar T (definido por n ángulos), mediante una trayectoria en el toro en la que cada ángulo aumenta a una tasa constante. ^[7] Existen n "frecuencias internas", que son las tasas a las que progresan los n ángulos, pero como se mencionó anteriormente el conjunto no está determinado de forma unívoca. En muchos casos la función en el toro puede expresarse como una serie de Fourier múltiple . Para n igual a 2 esto es:

${\displaystyle F(\theta _{1},\theta _{2})=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{jk}\exp(ij\theta _{1})\exp(ik\theta _{2})}$

Si la trayectoria es

${\displaystyle \theta _{1}=a_{1}+\omega _{1}t}$

${\displaystyle \theta _{2}=a_{2}+\omega _{2}t}$

entonces la función cuasiperiódica es:

${\displaystyle f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{jk}\exp(ija_{1}+ika_{2}+i(j\omega _{1}+k\omega _{2})t)}$

Esto demuestra que puede haber un número infinito de frecuencias en la expansión, no múltiplos de un número finito de frecuencias. Dependiendo de qué coeficientes no sean cero, las "frecuencias internas" y ellas mismas pueden no contribuir con términos en esta expansión, incluso si se utiliza un conjunto alternativo de frecuencias internas como y ^[8]. Si las no son cero solo cuando la razón es alguna constante específica, entonces la función es en realidad periódica en lugar de cuasiperiódica. ${\displaystyle C_{jk}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}.}$ ${\displaystyle C_{jk}}$ ${\displaystyle i/j}$

Véase el teorema de Kronecker para la teoría geométrica y de Fourier asociada al número de modos. La clausura de (la imagen de) cualquier subgrupo de un parámetro en T es un subtoro de alguna dimensión d . En ese subtoro se aplica el resultado de Kronecker: hay d números reales, linealmente independientes sobre los números racionales, que son las frecuencias correspondientes.

En el caso cuasiperiódico, donde la imagen es densa, se puede demostrar un resultado sobre la ergodicidad del movimiento: para cualquier subconjunto medible A de T (para la medida de probabilidad habitual), la proporción promedio de tiempo empleado por el movimiento en A es igual a la medida de A. ^[9 ]

Terminología e historia

La teoría de funciones casi periódicas es, en términos generales, para la misma situación pero permitiendo que T sea un toro con un número infinito de dimensiones. La discusión temprana de funciones cuasi-periódicas, por Ernest Esclangon siguiendo el trabajo de Piers Bohl , de hecho condujo a una definición de función casi-periódica, la terminología de Harald Bohr . ^[10] Ian Stewart escribió que la posición por defecto de la mecánica celeste clásica , en este período, era que los movimientos que podían ser descritos como cuasiperiódicos eran los más complejos que ocurrían. ^[11] Para el Sistema Solar , ese aparentemente sería el caso si las atracciones gravitacionales de los planetas entre sí pudieran ser descuidadas: pero esa suposición resultó ser el punto de partida de las matemáticas complejas. ^[12] La dirección de investigación iniciada por Andrei Kolmogorov en la década de 1950 condujo a la comprensión de que el flujo cuasiperiódico en toros del espacio de fases podía sobrevivir a la perturbación. ^[13]

NB: El concepto de función cuasiperiódica , por ejemplo el sentido en el que se dice que las funciones theta y la función zeta de Weierstrass en el análisis complejo tienen cuasiperíodos con respecto a una red de períodos , es algo distinto de este tema.

Referencias

1. Sergey Vasilevich Sidorov; Nikolai Alexandrovich Magnitskii. Nuevos métodos para la dinámica caótica . World Scientific. págs. 23-24. ISBN 9789814477918.
2. Weisstein, Eric W. (12 de diciembre de 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. pág. 2447. ISBN 978-1-4200-3522-3.
3. Ruelle, David (7 de septiembre de 1989). Evolución caótica y atractores extraños. Cambridge University Press. pág. 4. ISBN 978-0-521-36830-8.
4. Broer, Hendrik W.; Huitema, George B.; Sevryuk, Mikhail B. (25 de enero de 2009). Movimientos cuasiperiódicos en familias de sistemas dinámicos: orden en medio del caos. Springer. p. 2. ISBN 978-3-540-49613-7.
5. "Movimiento cuasiperiódico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
6. Broer, Hendrik W.; Huitema, George B.; Sevryuk, Mikhail B. (25 de enero de 2009). Movimientos cuasiperiódicos en familias de sistemas dinámicos: orden en medio del caos. Springer. pp. 1–4. ISBN 978-3-540-49613-7.
7. Komlenko, Yu. V.; Tonkov, EL (2001) [1994], "Función cuasi-periódica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
8. Por ejemplo, si solo y son distintos de cero. ${\displaystyle C_{1,2},\,C_{2,1},}$ ${\displaystyle C_{2,2}}$
9. Giorgilli, Antonio (5 de mayo de 2022). Notas sobre sistemas dinámicos hamiltonianos. Cambridge University Press. pág. 131. ISBN 978-1-009-15114-6.
10. Ginoux, Jean-Marc (18 de abril de 2017). Historia de la teoría de oscilaciones no lineales en Francia (1880-1940). Springer. pp. 311–312. ISBN 978-3-319-55239-2.
11. Howe, Leo; Wain, Alan (25 de marzo de 1993). Predicción del futuro. Cambridge University Press. pág. 30. ISBN 978-0-521-41323-7.
12. Broer, Henk; Tomadas, Floris (20 de octubre de 2010). Sistemas dinámicos y caos. Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 89–90. ISBN 978-1-4419-6870-8.
13. Dumas, H. Scott (28 de febrero de 2014). Kam Story, The: A Friendly Introduction To The Content, History, And Significance Of Classical Kolmogorov-Arnold-Moser Theory. World Scientific Publishing Company. pág. 67. ISBN 978-981-4556-60-6.

Véase también

• Cuasiperiodicidad
• Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser