Teorema de Kronecker

En matemáticas , el teorema de Kronecker es un teorema sobre la aproximación diofántica, introducido por Leopold Kronecker  (1884).

El teorema de aproximación de Kronecker fue demostrado por primera vez por L. Kronecker a finales del siglo XIX. Ahora se ha demostrado que está relacionado con la idea del n-toro y la medida de Mahler desde la segunda mitad del siglo XX. En términos de sistemas físicos, tiene la consecuencia de que los planetas en órbitas circulares que se mueven uniformemente alrededor de una estrella asumirán, con el tiempo, todas las alineaciones, a menos que haya una dependencia exacta entre sus períodos orbitales.

Declaración

El teorema de Kronecker es un resultado de aproximaciones diofánticas aplicadas a varios números reales x _i , para 1 ≤ i ≤ n , que generaliza el teorema de aproximación de Dirichlet a múltiples variables.

El teorema de aproximación clásico de Kronecker se formula de la siguiente manera.

Dadas n - tuplas reales y , la condición: ${\displaystyle \alpha _{i}=(\alpha _{i1},\dots ,\alpha _{in})\in \mathbb {R} ^{n},i=1,\dots ,m}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists q_{i},p_{j}\in \mathbb {Z} :{\biggl |}\sum _{i=1}^{m}q_{i}\alpha _{ij}-p_{j}-\beta _{j}{\biggr |}<\epsilon ,1\leq j\leq n}$

se cumple si y sólo si para cualquier con ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{ij}r_{j}\in \mathbb {Z} ,\ \ i=1,\dots ,m\ ,}$

El número también es un entero. ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}r_{j}}$

En términos más sencillos, la primera condición establece que la tupla puede aproximarse arbitrariamente bien mediante combinaciones lineales de s (con coeficientes enteros) y vectores enteros. ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Para el caso de a y , el teorema de aproximación de Kronecker se puede enunciar de la siguiente manera. ^[1] Para cualquier con irracionales y existen números enteros y con , tales que ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\epsilon \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle |\alpha q-p-\beta |<\epsilon .}$

Relación con los toros

En el caso de N números, tomados como una única N - tupla y el punto P del toro

T = R ^N /Z ^N ,

el cierre del subgrupo < P > generado por P será finito, o algún toro T′ contenido en T . El teorema original de Kronecker ( Leopold Kronecker , 1884) establecía que la condición necesaria para

T′ = T ,

que es que los números x _i junto con 1 deben ser linealmente independientes sobre los números racionales , también es suficiente . Aquí es fácil ver que si alguna combinación lineal de los x _i y 1 con coeficientes de números racionales distintos de cero es cero, entonces los coeficientes pueden tomarse como números enteros, y un carácter χ del grupo T distinto del carácter trivial toma el valor 1 en P . Por la dualidad de Pontryagin tenemos T′ contenido en el núcleo de χ, y por lo tanto no igual a T .

De hecho, un uso exhaustivo de la dualidad de Pontryagin aquí muestra que todo el teorema de Kronecker describe el cierre de < P > como la intersección de los núcleos de χ con

χ( P ) = 1.

Esto da una conexión de Galois ( antitonal ) entre subgrupos cerrados monogénicos de T (aquellos con un solo generador, en el sentido topológico), y conjuntos de caracteres con núcleo que contiene un punto dado. No todos los subgrupos cerrados ocurren como monogénicos; por ejemplo, un subgrupo que tiene un toro de dimensión ≥ 1 como componente conexo del elemento identidad, y que no está conexo, no puede ser tal subgrupo.

El teorema deja abierta la cuestión de cuán bien (uniformemente) los múltiplos mP de P llenan la clausura. En el caso unidimensional, la distribución es uniforme según el teorema de equidistribución .

Véase también

• Criterio de Weyl
• Teorema de aproximación de Dirichlet

Referencias

• Kronecker, L. (1884), "Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen", Berl. Ber. : 1179-1193, 1271-1299
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Teorema de Kronecker", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

1. "Teorema de aproximación de Kronecker". Wolfram Mathworld . Consultado el 26 de octubre de 2019 .