En mecánica clásica , las variables de ángulo de acción son un conjunto de coordenadas canónicas que son útiles para caracterizar la naturaleza de los flujos de conmutación en sistemas integrables cuando el conjunto de niveles de energía conservada es compacto y los flujos de conmutación son completos. Las variables del ángulo de acción también son importantes para obtener las frecuencias del movimiento oscilatorio o de rotación sin resolver las ecuaciones de movimiento . Sólo existen, proporcionando una caracterización clave de la dinámica, cuando el sistema es completamente integrable , es decir, el número de invariantes de conmutación de Poisson independientes es máximo y la superficie de energía conservada es compacta. Esto suele tener un valor de cálculo práctico cuando la ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable y las constantes de separación se pueden resolver como funciones en el espacio de fases. Las variables de ángulo de acción definen una foliación por toros lagrangianos invariantes porque los flujos inducidos por las invariantes de conmutación de Poisson permanecen dentro de sus conjuntos de niveles conjuntos, mientras que la compacidad del conjunto de niveles de energía implica que son toros. Las variables de ángulo proporcionan coordenadas en las hojas en las que los flujos de desplazamiento son lineales.
La conexión entre los sistemas hamiltonianos clásicos y su cuantificación en el enfoque de la mecánica ondulatoria de Schrödinger se aclara al considerar la ecuación de Hamilton-Jacobi como el término de orden principal en la serie asintótica WKB para la ecuación de Schrodinger. En el caso de sistemas integrables, las condiciones de cuantificación de Bohr-Sommerfeld se utilizaron por primera vez, antes de la llegada de la mecánica cuántica, para calcular el espectro del átomo de hidrógeno. Requieren que las variables del ángulo de acción existan y que sean múltiplos enteros de la constante de Planck reducida . En este hecho se basó la comprensión de Einstein en la cuantificación EBK sobre la dificultad de cuantificar sistemas no integrables.
Las coordenadas del ángulo de acción también son útiles en la teoría de perturbaciones de la mecánica hamiltoniana , especialmente para determinar las invariantes adiabáticas . Uno de los primeros resultados de la teoría del caos , para la estabilidad dinámica de sistemas dinámicos integrables bajo pequeñas perturbaciones, es el teorema KAM , que establece que los toros invariantes son parcialmente estables.
En la teoría moderna de sistemas integrables , las variables de ángulo de acción se utilizaron en la solución de la red de Toda , la definición de pares de Lax o, más generalmente, la evolución isoespectral de un operador lineal que caracteriza la dinámica integrable e interpreta los datos espectrales asociados como acción. variables de ángulo en la formulación hamiltoniana.
Los ángulos de acción resultan de una transformación canónica de tipo 2 donde la función generadora es la función característica de Hamilton ( no la función principal de Hamilton ). Dado que el hamiltoniano original no depende explícitamente del tiempo, el nuevo hamiltoniano es simplemente el antiguo hamiltoniano expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas , que denotamos como (los ángulos de acción , que son las coordenadas generalizadas ) y sus nuevos momentos generalizados . No necesitaremos resolver aquí la función generadora en sí; en cambio, lo usaremos simplemente como un vehículo para relacionar las coordenadas canónicas nuevas y antiguas .
En lugar de definir los ángulos de acción directamente, definimos sus momentos generalizados, que se asemejan a la acción clásica para cada coordenada generalizada original.
donde la ruta de integración está implícitamente dada por la función de energía constante . Dado que el movimiento real no está involucrado en esta integración, estos momentos generalizados son constantes del movimiento, lo que implica que el hamiltoniano transformado no depende de las coordenadas generalizadas conjugadas.
donde están dados por la ecuación típica para una transformación canónica de tipo 2
Por tanto, el nuevo hamiltoniano depende sólo de los nuevos momentos generalizados .
La dinámica de los ángulos de acción viene dada por las ecuaciones de Hamilton.
El lado derecho es una constante del movimiento (ya que todos los s lo son). Por tanto, la solución viene dada por
donde es una constante de integración. En particular, si la coordenada generalizada original sufre una oscilación o rotación de período , el ángulo de acción correspondiente cambia en .
Estas son las frecuencias de oscilación/rotación para las coordenadas generalizadas originales . Para mostrar esto, integramos el cambio neto en el ángulo de acción exactamente en una variación completa (es decir, oscilación o rotación) de sus coordenadas generalizadas.
Igualando las dos expresiones , obtenemos la ecuación deseada.
Los ángulos de acción son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas . Así, en el caso general, cada coordenada generalizada original se puede expresar como una serie de Fourier en todos los ángulos de acción.
donde está el coeficiente de la serie de Fourier. Sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos, una coordenada generalizada original será expresable como una serie de Fourier sólo en sus propios ángulos de acción.
El procedimiento general consta de tres pasos:
En algunos casos, las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas, es decir, para . En tales casos, el movimiento se llama degenerado .
El movimiento degenerado indica que existen cantidades generales conservadas adicionales; por ejemplo, las frecuencias del problema de Kepler son degeneradas, correspondiendo a la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz .
El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema de coordenadas; por ejemplo, el problema de Kepler es completamente separable tanto en coordenadas esféricas como en coordenadas parabólicas .
