En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en una variedad simpléctica -dimensional para la cual se cumplen las siguientes condiciones:
(i) Existen integrales independientes de movimiento. Sus superficies niveladas (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrosa sobre un subconjunto abierto conectado .
(ii) Existen funciones reales suaves tales que el corchete de Poisson de integrales de movimiento dice .
(iii) La función matricial es de corank constante en .
Si , este es el caso de un sistema hamiltoniano completamente integrable . El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold en las coordenadas del ángulo de acción de un sistema hamiltoniano completamente integrable de la siguiente manera.
Sean subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable conectadas compactas y mutuamente difeomorfas. Entonces la variedad fibrosa es un haz de fibras
en tori . Existe una vecindad abierta de la cual es un haz de fibras trivial provisto de las coordenadas del haz (ángulo de acción generalizado) , tal que son coordenadas en . Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica . Un hamiltoniano de un sistema superintegrable depende únicamente de las variables de acción que son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida .
El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para los superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas. Son difeomorfos a un cilindro toroidal .
Ver también
Referencias
- Mishchenko, A., Fomenko, A., Método generalizado de integración de sistemas hamiltonianos de Liouville, Funct. Anal. Aplica. 12 (1978) 113. doi :10.1007/BF01076254
- Bolsinov, A., Jovanovic, B., Integrabilidad no conmutativa, mapa de momentos y flujos geodésicos, Ann. Análisis global. Geom. 23 (2003) 305; arXiv : matemáticas-ph/0109031.
- Fasso, F., Sistemas hamiltonianos superintegrables: geometría y perturbaciones, Acta Appl. Matemáticas. 87 (2005) 93. doi :10.1007/s10440-005-1139-8
- Fiorani, E., Sardanashvily, G. , Coordenadas globales de ángulo de acción para sistemas completamente integrables con variedades invariantes no compactas, J. Math. Física. 48 (2007) 032901; arXiv : matemáticas/0610790.
- Miller, W., Jr, Post, S., Winternitz P., Superintegrabilidad clásica y cuántica con aplicaciones, J. Phys. A 46 (2013), núm. 42, 423001, doi : 10.1088/1751-8113/46/42/423001 arXiv : 1309.2694
- Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Métodos geométricos en mecánica clásica y cuántica (World Scientific, Singapur, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8 ; arXiv : 1303.5363.