Método de Einstein-Brillouin-Keller

Método semiclásico para calcular valores propios cuánticos.

El método Einstein-Brillouin-Keller ( EBK ) es un método semiclásico (llamado así en honor a Albert Einstein , Léon Brillouin y Joseph B. Keller ) que se utiliza para calcular valores propios en sistemas mecánico-cuánticos. La cuantificación EBK es una mejora con respecto a la cuantificación de Bohr-Sommerfeld que no consideró los saltos de fase cáustica en los puntos de inflexión clásicos. ^[1] Este procedimiento es capaz de reproducir exactamente el espectro del oscilador armónico 3D , la partícula en una caja e incluso la estructura fina relativista del átomo de hidrógeno . ^[2]

En 1976-1977, Michael Berry y M. Tabor derivaron una extensión de la fórmula de trazas de Gutzwiller para la densidad de estados de un sistema integrable a partir de la cuantificación EBK. ^{[3] [4]}

Ha habido una serie de resultados recientes sobre cuestiones computacionales relacionadas con este tema, por ejemplo, el trabajo de Eric J. Heller y Emmanuel David Tannenbaum utilizando un enfoque de descenso de gradiente de ecuación diferencial parcial . ^[5]

Procedimiento

Dado un sistema clásico separable definido por coordenadas , en el que cada par describe una función cerrada o una función periódica en , el procedimiento EBK implica cuantificar las integrales de línea de sobre la órbita cerrada de : ${\displaystyle (q_{i},p_{i});i\in \{1,2,\cdots ,d\}}$ ${\displaystyle (q_{i},p_{i})}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle I_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}dq_{i}=\hbar \left(n_{i}+{\frac {\mu _{i}}{4}}+{\frac {b_{i}}{2}}\right)}$

donde es la coordenada del ángulo de acción , es un número entero positivo y son índices de Maslov . Corresponde al número de puntos de inflexión clásicos en la trayectoria de ( condición de frontera de Dirichlet ) y corresponde al número de reflexiones con una pared dura ( condición de frontera de Neumann ). ^[6] ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

Ejemplos

Oscilador armónico 1D

El hamiltoniano de un oscilador armónico simple viene dado por

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$

¿Dónde está el momento lineal y la coordenada de posición? La variable de acción está dada por ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle I={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {2mE-m^{2}\omega ^{2}x^{2}}}\mathrm {d} x}$

donde hemos usado que es la energía y que la trayectoria cerrada es 4 veces la trayectoria desde 0 hasta el punto de inflexión . ${\displaystyle H=E}$ ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}}$

La integral resulta ser

${\displaystyle E=I\omega }$,

que bajo la cuantificación EBK hay dos puntos de inflexión suaves en cada órbita y . Finalmente, eso produce ${\displaystyle \mu _{x}=2}$ ${\displaystyle b_{x}=0}$

${\displaystyle E=\hbar \omega (n+1/2)}$,

que es el resultado exacto de la cuantificación del oscilador armónico cuántico.

átomo de hidrógeno 2D

El hamiltoniano para un electrón no relativista (carga eléctrica ) en un átomo de hidrógeno es: ${\displaystyle e}$

${\displaystyle H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

donde es el momento canónico a la distancia radial , y es el momento canónico del ángulo azimutal . Tome las coordenadas del ángulo de acción: ${\displaystyle p_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle I_{\varphi }={\text{constant}}=|L|}$

Para la coordenada radial : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle p_{r}={\sqrt {2mE-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}}}$

${\displaystyle I_{r}={\frac {1}{\pi }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}p_{r}dr={\frac {me^{2}}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {-2mE}}}}-|L|}$

donde nos estamos integrando entre los dos puntos de inflexión clásicos ( ) ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle \mu _{r}=2}$

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}(I_{r}+I_{\varphi })^{2}}}}$

Usando la cuantificación EBK  : ${\displaystyle b_{r}=\mu _{\varphi }=b_{\varphi }=0,n_{\varphi }=m}$

${\displaystyle I_{\varphi }=\hbar m\quad ;\quad m=0,1,2,\cdots }$

${\displaystyle I_{r}=\hbar (n_{r}+1/2)\quad ;\quad n_{r}=0,1,2,\cdots }$

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n_{r}+m+1/2)^{2}}}}$

y al hacer se recupera el espectro del átomo de hidrógeno 2D ^{[7] :} ${\displaystyle n=n_{r}+m+1}$

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n-1/2)^{2}}}\quad ;\quad n=1,2,3,\cdots }$

Tenga en cuenta que para este caso casi coincide con la cuantificación habitual del operador de momento angular en el plano . Para el caso 3D, el método EBK para el momento angular total equivale a la corrección de Langer . ${\displaystyle I_{\varphi }=|L|}$ ${\displaystyle L_{z}}$

Ver también

• Portal de física

• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• aproximación WKB
• Caos cuántico

Referencias

• Duncan, Antonio; Janssen, Michel (2019). "5. Principios rectores". Construyendo mecánica cuántica (Primera ed.). Oxford, Reino Unido; Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-884547-8.

1. Stone, AD (agosto de 2005). "La intuición desconocida de Einstein y el problema de cuantificar el caos" (PDF) . Física hoy . 58 (8): 37–43. Código bibliográfico : 2005PhT....58h..37S. doi : 10.1063/1.2062917.
2. Curtis, LG; Ellis, Director General (2004). "Uso de la cuantificación de acciones de Einstein-Brillouin-Keller". Revista Estadounidense de Física . 72 (12): 1521-1523. Código bibliográfico : 2004AmJPh..72.1521C. doi :10.1119/1.1768554.
3. Baya, MV; Tabor, M. (1976). "Órbitas cerradas y espectro limitado regular". Actas de la Royal Society A. 349 (1656): 101-123. Código Bib : 1976RSPSA.349..101B. doi :10.1098/rspa.1976.0062. S2CID  122040979.
4. Baya, MV; Tabor, M. (1977). "Cálculo del espectro ligado mediante suma de rutas en variables de ángulo de acción". Revista de Física A. 10 (3): 371. Código bibliográfico : 1977JPhA...10..371B. doi :10.1088/0305-4470/10/3/009.
5. Tannenbaum, ED; Heller, E. (2001). "Cuantización semiclásica utilizando Tori invariante: un enfoque de descenso de gradiente". Revista de Química Física A. 105 (12): 2801–2813. doi :10.1021/jp004371d.
6. Brack, M.; Bhaduri, RK (1997). Física Semiclásica . Publicación Adison-Weasly.
7. Basu, PK (1997). Teoría de Procesos Ópticos en Semiconductores: Masa y Microestructuras . Prensa de la Universidad de Oxford.