Movimiento de proyectiles

Movimiento de objetos lanzados debido a la gravedad.

Trayectoria del movimiento parabólico del agua.

Componentes de la velocidad inicial del lanzamiento parabólico.

Las trayectorias balísticas son parabólicas si la gravedad es homogénea y elípticas si es redonda.

El movimiento de proyectil es una forma de movimiento experimentado por un objeto o partícula (un proyectil ) que se proyecta en un campo gravitacional, como desde la superficie de la Tierra , y se mueve a lo largo de una trayectoria curva bajo la acción de la gravedad únicamente. En el caso particular del movimiento de proyectiles en la Tierra, la mayoría de los cálculos suponen que los efectos de la resistencia del aire son pasivos e insignificantes. Galileo demostró que la trayectoria curva de los objetos en movimiento de proyectil es una parábola , pero también puede ser una línea recta en el caso especial de que se lance directamente hacia arriba o hacia abajo. El estudio de tales movimientos se llama balística , y dicha trayectoria es una trayectoria balística . La única fuerza de importancia matemática que se ejerce activamente sobre el objeto es la gravedad, que actúa hacia abajo, impartiendo así al objeto una aceleración hacia el centro de masa de la Tierra . Debido a la inercia del objeto , no se necesita ninguna fuerza externa para mantener la componente de velocidad horizontal del movimiento del objeto. Tener en cuenta otras fuerzas, como la resistencia aerodinámica o la propulsión interna (como en un cohete ), requiere un análisis adicional. Un misil balístico es un misil guiado únicamente durante la relativamente breve fase inicial de vuelo propulsado , y cuyo recorrido restante se rige por las leyes de la mecánica clásica .

Balística (del griego antiguo βάλλειν bállein  'lanzar') es la ciencia de la dinámica que se ocupa del vuelo, comportamiento y efectos de los proyectiles, especialmente balas , bombas no guiadas , cohetes o similares; La ciencia o el arte de diseñar y acelerar proyectiles para lograr un rendimiento deseado.

Trayectorias de un proyectil con resistencia del aire y velocidades iniciales variables.

La ecuación elemental de balística ignora casi todos los factores excepto la velocidad inicial y una supuesta aceleración gravitacional constante. Las soluciones prácticas de un problema balístico a menudo requieren consideraciones de la resistencia del aire, los vientos cruzados, el movimiento del objetivo, la variación de la aceleración debida a la gravedad y, en problemas como el lanzamiento de un cohete de un punto a otro de la Tierra, la rotación de la Tierra. Las soluciones matemáticas detalladas de problemas prácticos normalmente no tienen soluciones de forma cerrada y, por lo tanto, requieren métodos numéricos para abordarlas.

Cantidades cinemáticas

En el movimiento de proyectil, el movimiento horizontal y el movimiento vertical son independientes entre sí; es decir, ningún movimiento afecta al otro. Este es el principio del movimiento compuesto establecido por Galileo en 1638, ^[1] y utilizado por él para demostrar la forma parabólica del movimiento de proyectiles. ^[2]

Las componentes horizontal y vertical de la velocidad de un proyectil son independientes entre sí.

Una trayectoria balística es una parábola con aceleración homogénea, como en una nave espacial con aceleración constante en ausencia de otras fuerzas. En la Tierra la aceleración cambia de magnitud con la altitud y de dirección con la latitud/longitud. Esto provoca una trayectoria elíptica , que se acerca mucho a una parábola a pequeña escala. Sin embargo, si se lanzara un objeto y la Tierra fuera reemplazada repentinamente por un agujero negro de igual masa, resultaría obvio que la trayectoria balística es parte de una órbita elíptica alrededor de ese agujero negro, y no una parábola que se extiende hasta el infinito. A velocidades más altas, la trayectoria también puede ser circular, parabólica o hiperbólica (a menos que esté distorsionada por otros objetos como la Luna o el Sol). En este artículo se supone una aceleración homogénea.

Aceleración

Como solo hay aceleración en la dirección vertical, la velocidad en la dirección horizontal es constante, siendo igual a . El movimiento vertical del proyectil es el movimiento de una partícula durante su caída libre. Aquí la aceleración es constante, siendo igual a g . ^{[nota 1]} Los componentes de la aceleración son: ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$

${\displaystyle a_{x}=0}$,

${\displaystyle a_{y}=-g}$.

Velocidad

Supongamos que el proyectil se lanza con una velocidad inicial , que se puede expresar como la suma de las componentes horizontal y vertical de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$.

Los componentes y se pueden encontrar si se conoce el ángulo de lanzamiento inicial, ,: ${\displaystyle v_{0x}}$ ${\displaystyle v_{0y}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$

La componente horizontal de la velocidad del objeto permanece sin cambios durante todo el movimiento. La componente vertical de la velocidad cambia linealmente ^{[nota 2]} porque la aceleración debida a la gravedad es constante. Las aceleraciones en las direcciones x e y se pueden integrar para resolver las componentes de la velocidad en cualquier momento t , de la siguiente manera:

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$.

La magnitud de la velocidad (según el teorema de Pitágoras , también conocida como ley del triángulo):

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$.

Desplazamiento

Desplazamiento y coordenadas del lanzamiento parabólico.

En cualquier momento , los desplazamientos horizontal y vertical del proyectil son: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$,

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

La magnitud del desplazamiento es:

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Considere las ecuaciones,

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

Si se elimina t entre estas dos ecuaciones se obtiene la siguiente ecuación:

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}$

Aquí R es el alcance de un proyectil .

Dado que g , θ y v ₀ son constantes, la ecuación anterior tiene la forma

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$,

donde a y b son constantes. Esta es la ecuación de una parábola, por lo que la trayectoria es parabólica. El eje de la parábola es vertical.

Si se conocen la posición del proyectil (x,y) y el ángulo de lanzamiento (θ o α), la velocidad inicial se puede encontrar resolviendo v ₀ en la ecuación parabólica antes mencionada:

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$.

Desplazamiento en coordenadas polares

La trayectoria parabólica de un proyectil también se puede expresar en coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas. En este caso el puesto tiene la fórmula general

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)}$.

En esta ecuación, el origen es el punto medio del alcance horizontal del proyectil, y si el terreno es plano, el arco parabólico se traza en el alcance . Esta expresión se puede obtener transformando la ecuación cartesiana como se indicó anteriormente por y . ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$ ${\displaystyle y=r\sin \phi }$ ${\displaystyle x=r\cos \phi }$

Propiedades de la trayectoria

Tiempo de vuelo o tiempo total de todo el viaje

El tiempo total t que el proyectil permanece en el aire se llama tiempo de vuelo.

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Después del vuelo, el proyectil regresa al eje horizontal (eje x), por lo que . ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}$

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$

Tenga en cuenta que hemos despreciado la resistencia del aire en el proyectil.

Si el punto de partida está a la altura y ₀ con respecto al punto de impacto, el tiempo de vuelo es:

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

Como se indicó anteriormente, esta expresión se puede reducir a

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{|g|}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {(45)}}{|g|}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}}$

si θ es 45° y y ₀ es 0.

Tiempo de vuelo hasta la posición del objetivo.

Como se muestra arriba en la sección Desplazamiento , la velocidad horizontal y vertical de un proyectil son independientes entre sí.

Debido a esto, podemos encontrar el tiempo para alcanzar un objetivo usando la fórmula de desplazamiento para la velocidad horizontal:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

Esta ecuación dará el tiempo total t que debe recorrer el proyectil para alcanzar el desplazamiento horizontal del objetivo, despreciando la resistencia del aire.

Altura máxima del proyectil

Altura máxima del proyectil

La mayor altura que alcanzará el objeto se conoce como pico de movimiento del objeto. El aumento de altura durará hasta , es decir, ${\displaystyle v_{y}=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$.

Tiempo para alcanzar la altura máxima (h):

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

Para el desplazamiento vertical de la altura máxima del proyectil:

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}}$

La altura máxima alcanzable se obtiene para θ =90°:

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}}$

Si se conocen la posición del proyectil (x,y) y el ángulo de lanzamiento (θ), la altura máxima se puede encontrar resolviendo h en la siguiente ecuación:

${\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}$

El ángulo de elevación (φ) a la altura máxima viene dado por:

${\displaystyle \phi =\arctan {\tan \theta \over 2}}$

Relación entre alcance horizontal y altura máxima

La relación entre el alcance d en el plano horizontal y la altura máxima h alcanzada es: ${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

Distancia máxima del proyectil

La distancia máxima del proyectil.

El alcance y la altura máxima del proyectil no dependen de su masa. Por tanto, el alcance y la altura máxima son iguales para todos los cuerpos que se lanzan con la misma velocidad y dirección. El alcance horizontal d del proyectil es la distancia horizontal que ha recorrido cuando regresa a su altura inicial ( ). ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$.

Tiempo para llegar al suelo:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

Desde el desplazamiento horizontal la distancia máxima del proyectil:

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$,

entonces ^{[nota 3]}

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )}$.

Tenga en cuenta que d tiene su valor máximo cuando

${\displaystyle \sin 2\theta =1}$,

que necesariamente corresponde a

${\displaystyle 2\theta =90^{\circ }}$,

o

${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$.

Trayectorias de proyectiles lanzados con diferentes ángulos de elevación pero con la misma velocidad de 10 m/s en el vacío y un campo gravitatorio uniforme hacia abajo de 10 m/s ² . Los puntos están a intervalos de 0,05 s y la longitud de sus colas es linealmente proporcional a su velocidad. t = tiempo desde el lanzamiento, T = tiempo de vuelo, R = alcance y H = punto más alto de la trayectoria (indicado con flechas).

La distancia horizontal total (d) recorrida.

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

Cuando la superficie es plana (la altura inicial del objeto es cero), la distancia recorrida: ^[3]

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}}$

Por tanto, la distancia máxima se obtiene si θ es de 45 grados. Esta distancia es:

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}}$

Aplicación del teorema de la energía del trabajo.

Según el teorema trabajo-energía la componente vertical de la velocidad es:

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$.

Estas fórmulas ignoran la resistencia aerodinámica y también suponen que el área de aterrizaje está a una altura uniforme 0.

Ángulo de alcance

El "ángulo de alcance" es el ángulo ( θ ) al que se debe lanzar un proyectil para recorrer una distancia d , dada la velocidad inicial v .

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

Hay dos soluciones:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(trayectoria poco profunda)

y porqué , ${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$

${\displaystyle \theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(trayectoria empinada)

Ángulo θ requerido para alcanzar la coordenada ( x , y )

Trayectoria en vacío de un proyectil para diferentes ángulos de lanzamiento. La velocidad de lanzamiento es la misma para todos los ángulos, 50 m/s si "g" es 10 m/s ² .

Para alcanzar un objetivo a distancia x y altitud y cuando se dispara desde (0,0) y con velocidad inicial v, los ángulos de lanzamiento requeridos θ son:

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

Las dos raíces de la ecuación corresponden a los dos posibles ángulos de lanzamiento, siempre que no sean imaginarios, en cuyo caso la velocidad inicial no es suficiente para alcanzar el punto ( x , y ) seleccionado. Esta fórmula permite encontrar el ángulo de lanzamiento necesario sin la restricción de . ${\displaystyle y=0}$

También se puede preguntar qué ángulo de lanzamiento permite la velocidad de lanzamiento más baja posible. Esto ocurre cuando las dos soluciones anteriores son iguales, lo que implica que la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada es cero. Esto requiere resolver una ecuación cuadrática para y encontramos ${\displaystyle v^{2}}$

${\displaystyle v^{2}/g=y+{\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$

Esto da

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

Si denotamos el ángulo cuya tangente es y/x por α , entonces

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}}$

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

Esto implica

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

En otras palabras, el lanzamiento debe realizarse en el ángulo medio entre el objetivo y el cenit (vector opuesto a la gravedad).

Longitud total del recorrido de la trayectoria

La longitud del arco parabólico trazado por un proyectil L , dado que la altura de lanzamiento y aterrizaje es la misma y que no hay resistencia del aire, viene dada por la fórmula:

${\displaystyle L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

donde es la velocidad inicial, es el ángulo de lanzamiento y es la aceleración debida a la gravedad en valor positivo. La expresión se puede obtener evaluando la integral de longitud de arco para la parábola altura-distancia entre los límites de los desplazamientos inicial y final (es decir, entre 0 y el alcance horizontal del proyectil) tal que: ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

Si el tiempo de vuelo es t ,

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

Trayectoria de un proyectil con resistencia del aire.

Trayectorias de una masa lanzada con un ángulo de 70°:
 sin arrastre
 con arrastre de Stokes
 con arrastre newtoniano

La resistencia del aire crea una fuerza que (para proyectiles simétricos) siempre está dirigida contra la dirección del movimiento en el medio circundante y tiene una magnitud que depende de la velocidad absoluta: . La dependencia de la velocidad de la fuerza de fricción es lineal ( ) a velocidades muy bajas ( arrastre de Stokes ) y cuadrática ( ) a velocidades mayores ( arrastre de Newton ). ^[4] La transición entre estos comportamientos está determinada por el número de Reynolds , que depende de la velocidad, el tamaño del objeto y la viscosidad cinemática del medio. Para números de Reynolds por debajo de aproximadamente 1000, la dependencia es lineal, por encima se vuelve cuadrática. En el aire, que tiene una viscosidad cinemática de aproximadamente , esto significa que la fuerza de arrastre se vuelve cuadrática en v cuando el producto de la velocidad y el diámetro es mayor que aproximadamente , que suele ser el caso de los proyectiles. ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$ ${\displaystyle f(v)\propto v}$ ${\displaystyle f(v)\propto v^{2}}$ ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$ ${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$

• Arrastre de Stokes: (para ) ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad }$ ${\displaystyle Re\lesssim 1000}$
• Arrastre de Newton: (para ) ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad }$ ${\displaystyle Re\gtrsim 1000}$

Diagrama de cuerpo libre de un cuerpo sobre el que sólo actúa la gravedad y la resistencia del aire.

El diagrama de cuerpo libre de la derecha corresponde a un proyectil que experimenta la resistencia del aire y los efectos de la gravedad. Aquí, se supone que la resistencia del aire está en la dirección opuesta a la velocidad del proyectil: ${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$

Trayectoria de un proyectil con arrastre de Stokes

La resistencia de Stokes, donde , solo se aplica a muy baja velocidad en el aire y, por lo tanto, no es el caso típico de los proyectiles. Sin embargo, la dependencia lineal de causa una ecuación diferencial de movimiento muy simple ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$ ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

en el que los dos componentes cartesianos se vuelven completamente independientes y, por tanto, más fáciles de resolver. ^[5] Aquí, y se utilizará para denotar la velocidad inicial, la velocidad a lo largo de la dirección de x y la velocidad a lo largo de la dirección de y , respectivamente. La masa del proyectil se denotará por m , y . Para la derivación sólo se considera el caso donde . Nuevamente el proyectil se dispara desde el origen (0,0). ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle \mu :=k/m}$ ${\displaystyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(1b)

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(3b)

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)}$.

Trayectoria de un proyectil con arrastre de Newton

Trayectorias de un paracaidista en el aire con resistencia de Newton

El caso más típico de resistencia del aire , para el caso de números de Reynolds superiores a aproximadamente 1000, es el arrastre de Newton con una fuerza de arrastre proporcional a la velocidad al cuadrado . En el aire, que tiene una viscosidad cinemática de aproximadamente , esto significa que el producto de la velocidad y el diámetro debe ser mayor que aproximadamente . ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$ ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$ ${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$

Desafortunadamente, las ecuaciones de movimiento no pueden resolverse analíticamente fácilmente en este caso. Por lo tanto, se examinará una solución numérica.

Se hacen las siguientes suposiciones:

• Aceleración gravitacional constante
• La resistencia del aire viene dada por la siguiente fórmula de resistencia ,

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

Dónde:

• F _D es la fuerza de arrastre
• c es el coeficiente de arrastre
• ρ es la densidad del aire
• A es el área de la sección transversal del proyectil.
• μ = k / m = cρA /(2 m )

Casos especiales

Aunque el caso general de un proyectil con arrastre de Newton no puede resolverse analíticamente, algunos casos especiales sí pueden resolverse. Aquí denotamos la velocidad terminal en caída libre como y la constante de tiempo de estabilización característica . ${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}}$ ${\displaystyle t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}}$

• Movimiento casi horizontal: en caso de que el movimiento sea casi horizontal, como una bala voladora, el componente de velocidad vertical tiene muy poca influencia en el movimiento horizontal. En este caso: ^[7] ${\displaystyle |v_{x}|\gg |v_{y}|}$

${\displaystyle {\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\mu }}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)}$

El mismo patrón se aplica al movimiento con fricción a lo largo de una línea en cualquier dirección, cuando la gravedad es insignificante. También se aplica cuando se impide el movimiento vertical, como en el caso de un automóvil en movimiento con el motor apagado.

• Movimiento vertical hacia arriba: ^[7]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=v_{\infty }\tan {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }+{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}\right)}$

Aquí

${\displaystyle v_{\infty }\equiv {\sqrt {\frac {g}{\mu }}},}$

${\displaystyle t_{f}\equiv {\frac {1}{\sqrt {\mu g}}},}$

${\displaystyle t_{\mathrm {peak} }\equiv t_{f}\arctan {\frac {v_{y,0}}{v_{\infty }}}={\frac {1}{\sqrt {\mu g}}}\arctan {\left({\sqrt {\frac {\mu }{g}}}v_{y,0}\right)},}$

y

${\displaystyle y_{\mathrm {peak} }\equiv -{\frac {1}{\mu }}\ln {\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}={\frac {1}{2\mu }}\ln {\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y,0}^{2}\right)}}$

donde es la velocidad inicial hacia arriba en y la posición inicial es . ${\displaystyle v_{y,0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y(0)=0}$

Un proyectil no puede elevarse más que en dirección vertical antes de alcanzar la cima. ${\displaystyle t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}}$

• Movimiento vertical hacia abajo: ^[7]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=-v_{\infty }\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }-{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cosh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}\right)}$

Después de un tiempo , el proyectil alcanza una velocidad casi terminal . ${\displaystyle t_{f}}$ ${\displaystyle -v_{\infty }}$

solución numérica

El movimiento de un proyectil con arrastre se puede calcular genéricamente mediante la integración numérica de la ecuación diferencial ordinaria , por ejemplo aplicando una reducción a un sistema de primer orden . La ecuación a resolver es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}}$.

Este enfoque también permite agregar los efectos del coeficiente de resistencia dependiente de la velocidad, la densidad del aire dependiente de la altitud y el campo de gravedad dependiente de la posición.

trayectoria elevada

Trayectorias elevadas de los misiles norcoreanos Hwasong-14 y Hwasong-15

Un caso especial de trayectoria balística para un cohete es una trayectoria elevada, una trayectoria con un apogeo mayor que la trayectoria de energía mínima al mismo rango. En otras palabras, el cohete viaja más alto y al hacerlo utiliza más energía para llegar al mismo punto de aterrizaje. Esto se puede hacer por varias razones, como aumentar la distancia al horizonte para brindar un mayor rango de visión/comunicación o para cambiar el ángulo con el que impactará un misil al aterrizar. Las trayectorias elevadas se utilizan a veces tanto en cohetes de misiles como en vuelos espaciales . ^[8]

Movimiento de proyectiles a escala planetaria.

Trayectoria de un proyectil alrededor de un planeta, comparada con el movimiento en un campo uniforme

Cuando un proyectil sin resistencia del aire recorre una distancia significativa en comparación con el radio de la Tierra (por encima de ≈100 km), se debe considerar la curvatura de la Tierra y la gravedad no uniforme de la Tierra. Éste es el caso, por ejemplo, de las naves espaciales o de los proyectiles intercontinentales. Luego, la trayectoria se generaliza desde una parábola hasta una elipse de Kepler con un foco en el centro de la Tierra. El movimiento del proyectil sigue entonces las leyes del movimiento planetario de Kepler .

Los parámetros de las trayectorias deben adaptarse a partir de los valores de un campo de gravedad uniforme indicados anteriormente. El radio de la Tierra se toma como R y g como la gravedad superficial estándar. Sea la velocidad de lanzamiento relativa a la primera velocidad cósmica. ${\displaystyle {\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}}$

Alcance total d entre lanzamiento e impacto:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}{\Big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

Alcance máximo de un proyectil para un ángulo de lanzamiento óptimo ( ): ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       con , la primera velocidad cósmica ${\displaystyle v<{\sqrt {Rg}}}$

Altura máxima de un proyectil sobre la superficie planetaria:

${\displaystyle h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)}$

Altura máxima de un proyectil para lanzamiento vertical ( ): ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       con , la segunda velocidad cósmica ${\displaystyle v<{\sqrt {2Rg}}}$

Tiempo de vuelo:

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}}\left(1+{\frac {1}{{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }}\arcsin {\frac {{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)}$

Ver también

• Ecuaciones de movimiento
• fugoide

Notas

1. g es la aceleración debida a la gravedad . ( cerca de la superficie de la Tierra). ${\displaystyle 9.81\,\mathrm {m/s^{2}} }$
2. disminuye cuando el objeto sube y aumenta cuando desciende
3. ${\displaystyle 2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )}$

Referencias

1. Galileo Galilei, Dos nuevas ciencias , Leiden, 1638, p.249
2. Nolte, David D., Galileo Unbound (Oxford University Press, 2018) págs.
3. Tatum (2019). Mecánica Clásica (PDF) . págs. cap. 7.
4. Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion (2007). Dinámica clásica de partículas y sistemas. Brooks/Cole. pag. 59.ISBN​ 978-0-495-55610-7.
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