En dinámica de fluidos , la ecuación de arrastre es una fórmula utilizada para calcular la fuerza de arrastre experimentada por un objeto debido al movimiento a través de un fluido completamente envolvente . La ecuación es:
La ecuación se atribuye a Lord Rayleigh , quien originalmente usó L 2 en lugar de A ( siendo L alguna dimensión lineal). [2]
El área de referencia A se define típicamente como el área de la proyección ortográfica del objeto en un plano perpendicular a la dirección del movimiento. Para objetos no huecos con forma simple, como una esfera, esto es exactamente lo mismo que el área de la sección transversal máxima. Para otros objetos (por ejemplo, un tubo rodante o el cuerpo de un ciclista), A puede ser significativamente mayor que el área de cualquier sección transversal a lo largo de cualquier plano perpendicular a la dirección del movimiento. Los perfiles aerodinámicos utilizan el cuadrado de la longitud de la cuerda como área de referencia; Dado que las cuerdas del perfil aerodinámico generalmente se definen con una longitud de 1, el área de referencia también es 1. Las aeronaves usan el área del ala (o área de las palas del rotor) como área de referencia, lo que facilita la comparación con la elevación . Los dirigibles y los cuerpos de revolución utilizan el coeficiente volumétrico de resistencia, en el que el área de referencia es el cuadrado de la raíz cúbica del volumen del dirigible. A veces se dan diferentes áreas de referencia para el mismo objeto en cuyo caso se debe dar un coeficiente de resistencia correspondiente a cada una de estas diferentes áreas.
Para cuerpos con esquinas afiladas , como cilindros cuadrados y placas sostenidas transversalmente a la dirección del flujo, esta ecuación es aplicable con el coeficiente de resistencia como un valor constante cuando el número de Reynolds es mayor que 1000. [3] Para cuerpos lisos, como un cilindro , el coeficiente de resistencia puede variar significativamente hasta que los números de Reynolds lleguen a 10 7 (diez millones). [4]
La ecuación se entiende más fácilmente para la situación idealizada en la que todo el fluido incide en el área de referencia y se detiene por completo, acumulando presión de estancamiento en toda el área. Ningún objeto real corresponde exactamente a este comportamiento. es la relación entre la resistencia de cualquier objeto real y la del objeto ideal. En la práctica, un cuerpo tosco y no aerodinámico (un cuerpo farol) tendrá alrededor de 1, más o menos. Los objetos más suaves pueden tener valores mucho más bajos de . La ecuación es precisa: simplemente proporciona la definición de ( coeficiente de arrastre ), que varía con el número de Reynolds y se encuentra experimentalmente.
De particular importancia es la dependencia de la velocidad del flujo, lo que significa que la resistencia del fluido aumenta con el cuadrado de la velocidad del flujo. Cuando la velocidad del flujo se duplica, por ejemplo, el fluido no solo golpea con el doble de velocidad del flujo, sino que también golpea el doble de masa de fluido por segundo. Por tanto, el cambio de impulso cada vez, es decir, la fuerza experimentada, se multiplica por cuatro. Esto contrasta con la fricción dinámica sólido sobre sólido , que generalmente tiene muy poca dependencia de la velocidad.
La fuerza de arrastre también se puede especificar como
La ecuación de arrastre se puede derivar dentro de una constante multiplicativa mediante el método de análisis dimensional . Si un fluido en movimiento choca con un objeto, ejerce una fuerza sobre el objeto. Supongamos que el fluido es un líquido y las variables involucradas, bajo algunas condiciones, son:
Utilizando el algoritmo del teorema π de Buckingham , estas cinco variables se pueden reducir a dos grupos adimensionales:
Que esto es así se hace evidente cuando la fuerza de arrastre F d se expresa como parte de una función de las otras variables del problema:
Esta forma de expresión bastante extraña se utiliza porque no supone una relación uno a uno. Aquí, f a es alguna función (aún desconocida) que toma cinco argumentos. Ahora bien, el lado derecho es cero en cualquier sistema de unidades; por lo que debería ser posible expresar la relación descrita por f a únicamente en términos de grupos adimensionales.
Hay muchas maneras de combinar los cinco argumentos de f a para formar grupos adimensionales, pero el teorema π de Buckingham establece que habrá dos de esos grupos. Los más apropiados son el número de Reynolds, dado por
y el coeficiente de arrastre, dado por
Así, la función de cinco variables podrá ser sustituida por otra función de sólo dos variables:
donde f b es alguna función de dos argumentos. La ley original se reduce entonces a una ley que involucra sólo estos dos números.
Debido a que la única incógnita en la ecuación anterior es la fuerza de arrastre F d , es posible expresarla como
Por lo tanto, la fuerza es simplemente ½ ρ A u 2 veces alguna función (aún desconocida) f c del número de Reynolds Re, un sistema considerablemente más simple que la función original de cinco argumentos dada anteriormente.
El análisis dimensional hace así que un problema muy complejo (intentar determinar el comportamiento de una función de cinco variables) sea mucho más simple: la determinación de la resistencia en función de una sola variable, el número de Reynolds.
Si el fluido es un gas, ciertas propiedades del gas influyen en la resistencia y esas propiedades también deben tenerse en cuenta. Convencionalmente se considera que esas propiedades son la temperatura absoluta del gas y la relación de sus calores específicos. Estas dos propiedades determinan la velocidad del sonido en el gas a una temperatura determinada. El teorema pi de Buckingham conduce entonces a un tercer grupo adimensional, la relación entre la velocidad relativa y la velocidad del sonido, que se conoce como número de Mach . En consecuencia, cuando un cuerpo se mueve con respecto a un gas, el coeficiente de resistencia varía con el número de Mach y el número de Reynolds.
El análisis también proporciona otra información, por así decirlo, de forma gratuita. El análisis muestra que, en igualdad de condiciones, la fuerza de arrastre será proporcional a la densidad del fluido. Este tipo de información suele resultar extremadamente valiosa, especialmente en las primeras etapas de un proyecto de investigación.
Para determinar empíricamente la dependencia del número de Reynolds, en lugar de experimentar en un cuerpo grande con fluidos que fluyen rápidamente (como aviones de tamaño real en túneles de viento ), también se puede experimentar usando un modelo pequeño en un flujo de mayor velocidad porque estos dos sistemas ofrecen similitud al tener el mismo número de Reynolds. Si no se pueden lograr los mismos números de Reynolds y de Mach simplemente usando un flujo de mayor velocidad, puede ser ventajoso usar un fluido de mayor densidad o menor viscosidad.
