Momento (física)

Producto de una distancia y una cantidad física.

Un momento es una expresión matemática que involucra el producto de una distancia y una cantidad como una fuerza física, una fuerza magnética, una carga eléctrica o una velocidad. Los momentos generalmente se definen con respecto a un punto de referencia fijo y se refieren a cantidades físicas ubicadas a cierta distancia del punto de referencia. Por ejemplo, el momento de fuerza, a menudo llamado torque , es el producto de una fuerza sobre un objeto y la distancia desde el punto de referencia al objeto. En principio, cualquier cantidad física puede multiplicarse por una distancia para producir un momento. Las cantidades comúnmente utilizadas incluyen fuerzas, masas y distribuciones de carga eléctrica que involucran armónicos esféricos ; se proporciona una lista más adelante.

Elaboración

En su forma más básica, un momento es el producto de la distancia a un punto, elevado a una potencia, y una cantidad física (como fuerza o carga eléctrica) en ese punto:

${\displaystyle \mu _{n}=r^{n}\,Q,}$

¿Dónde está la cantidad física, como una fuerza aplicada en un punto, una carga puntual, una masa puntual, etc. Si la cantidad no se concentra únicamente en un solo punto, el momento es la integral de la densidad de esa cantidad en el espacio? ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \mu _{n}=\int r^{n}\rho (r)\,dr}$

¿Dónde está la distribución de la densidad de carga, masa o cualquier cantidad que se esté considerando? ${\displaystyle \rho }$

Las formas más complejas tienen en cuenta las relaciones angulares entre la distancia y la cantidad física, pero las ecuaciones anteriores capturan la característica esencial de un momento, es decir, la existencia de un término subyacente o equivalente. Esto implica que hay múltiples momentos (uno para cada valor de n ) y que el momento generalmente depende del punto de referencia desde el cual se mide la distancia, aunque para ciertos momentos (técnicamente, el momento más bajo distinto de cero) esta dependencia se desvanece y el momento se vuelve independiente del punto de referencia. ${\displaystyle r^{n}\rho (r)}$ ${\displaystyle r}$

Cada valor de n corresponde a un momento diferente: el 1er momento corresponde a n  = 1; el segundo momento a n  = 2, etc. El momento 0 ( n  = 0) a veces se denomina momento monopolar ; el primer momento ( n  = 1) a veces se denomina momento dipolar , y el segundo momento ( n  = 2) a veces se denomina momento cuadrupolar , especialmente en el contexto de las distribuciones de carga eléctrica.

Ejemplos

• El momento de fuerza , o par , es un primer momento:, o, más generalmente ,. ${\displaystyle \mathbf {\tau } =rF}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} }$
• De manera similar, el momento angular es el primer momento del momento :. El impulso en sí no es un momento. ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$
• El momento dipolar eléctrico es también un 1.er momento: para dos cargas puntuales opuestas o para una carga distribuida con densidad de carga . ${\displaystyle \mathbf {p} =q\,\mathbf {d} }$ ${\textstyle \int \mathbf {r} \,\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

Momentos de masa:

• La masa total es el momento cero de la masa.
• El centro de masa es el primer momento de masa normalizado por la masa total: para un conjunto de masas puntuales o para un objeto con distribución de masa . ${\textstyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}}$ ${\textstyle {\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$
• El momento de inercia es el segundo momento de la masa: para una masa puntual, para un conjunto de masas puntuales o para un objeto con distribución de masa . El centro de masa se toma a menudo (pero no siempre) como punto de referencia. ${\displaystyle I=r^{2}m}$ ${\textstyle \sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$ ${\textstyle \int r^{2}\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

Momentos multipolares

Suponiendo una función de densidad finita y localizada en una región particular, fuera de esa región un potencial 1/ r puede expresarse como una serie de armónicos esféricos :

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,d^{3}r'=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)q_{\ell m}\,{\frac {Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}}$

Los coeficientes se conocen como momentos multipolares y toman la forma: ${\displaystyle q_{\ell m}}$

${\displaystyle q_{\ell m}=\int (r')^{\ell }\,\rho (\mathbf {r'} )\,Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,d^{3}r'}$

donde expresada en coordenadas esféricas es una variable de integración. Se puede encontrar un tratamiento más completo en las páginas que describen la expansión multipolar o los momentos multipolares esféricos . (La convención en las ecuaciones anteriores fue tomada de Jackson ^[1] ; las convenciones utilizadas en las páginas a las que se hace referencia pueden ser ligeramente diferentes). ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \left(r',\varphi ',\theta '\right)}$

Cuando representa una densidad de carga eléctrica, son, en cierto sentido, proyecciones de los momentos de carga eléctrica: es el momento monopolar; son proyecciones del momento dipolar, son proyecciones del momento cuadrupolar, etc. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle q_{lm}}$ ${\displaystyle q_{00}}$ ${\displaystyle q_{1m}}$ ${\displaystyle q_{2m}}$

Aplicaciones de momentos multipolares

La expansión multipolar se aplica a potenciales escalares 1/ r , ejemplos de los cuales incluyen el potencial eléctrico y el potencial gravitacional . Para estos potenciales, la expresión se puede utilizar para aproximar la intensidad de un campo producido por una distribución localizada de cargas (o masa) calculando los primeros momentos. Para r suficientemente grande , se puede obtener una aproximación razonable sólo a partir de los momentos monopolares y dipolares. Se puede lograr una mayor fidelidad calculando momentos de orden superior. Se pueden utilizar extensiones de la técnica para calcular energías de interacción y fuerzas intermoleculares.

La técnica también se puede utilizar para determinar las propiedades de una distribución desconocida . Se pueden tomar y utilizar mediciones relativas a momentos multipolares para inferir propiedades de la distribución subyacente. Esta técnica se aplica a objetos pequeños como moléculas, ^{[2] [3]} pero también se ha aplicado al propio universo, ^[4] siendo por ejemplo la técnica empleada por los experimentos WMAP y Planck para analizar la radiación cósmica de fondo de microondas . ${\displaystyle \rho }$

Historia

Una palanca en equilibrio

En obras que se cree que provienen de la antigua Grecia , el concepto de momento es aludido por la palabra ῥοπή ( rhopḗ , literalmente "inclinación") y compuestos como ἰσόρροπα ( isorropa , literalmente "de inclinaciones iguales"). ^{[5] [6] [7]} El contexto de estos trabajos es la mecánica y geometría que involucra la palanca . ^[8] En particular, en las obras existentes atribuidas a Arquímedes , el momento se señala en frases como:

" Las magnitudes conmensurables ( σύμμετρα μεγέθεα ) [A y B] están igualmente equilibradas ( ἰσορροπέοντι ) ^[a] si sus distancias [al centro Γ, es decir, ΑΓ y ΓΒ] son ​​inversamente proporcionales ( ἀντιπεπο νθότως ) a sus pesos ( βάρεσιν )." ^{[6] [9]}

Además, en textos existentes como El método de los teoremas mecánicos , los momentos se utilizan para inferir el centro de gravedad , el área y el volumen de figuras geométricas.

En 1269, Guillermo de Moerbeke traduce al latín varias obras de Arquímedes y Eutocio . El término ῥοπή se translitera como ropen . ^[6]

Alrededor de 1450, Jacobus Cremonensis traduce ῥοπή en textos similares al término latino impulso ( literalmente, "movimiento" ^[10] ). ^{[11] [6] : 331} El mismo término se mantiene en una traducción de 1501 de Giorgio Valla , y posteriormente de Francesco Maurolico , Federico Commandino , Guidobaldo del Monte , Adriaan van Roomen , Florence Rivault , Francesco Buonamici , Marin Mersenne ^[5] , y Galileo Galilei . Dicho esto, ¿por qué se eligió la palabra impulso para la traducción? Una pista, según Treccani , es que ese momento en la Italia medieval, donde vivieron los primeros traductores, en un sentido transferido significaba tanto un "momento de tiempo" como un "momento de peso" (una pequeña cantidad de peso que hace girar la balanza ). ). ^[b]

En 1554, Francesco Maurolico aclara el término latino impulso en la obra Prologi sive sermones . Aquí hay una traducción del latín al inglés proporcionada por Marshall Clagett : ^[6]

"[...] pesos iguales a distancias desiguales no pesan igual, pero pesos desiguales [a estas distancias desiguales pueden] pesar igualmente. Porque un peso suspendido a mayor distancia es más pesado, como se ve claramente en una balanza . Por lo tanto, no hay Existe un tercer tipo de potencia o tercera diferencia de magnitud, que difiere tanto del cuerpo como del peso, y a esto lo llaman momento ^[c] . Por lo tanto, un cuerpo adquiere peso tanto por la cantidad [es decir, el tamaño] como por la calidad [es decir, material], pero un peso recibe su momento de la distancia a la que está suspendido. Por lo tanto, cuando las distancias son recíprocamente proporcionales a los pesos, los momentos [de los pesos] son ​​iguales, como demostró Arquímedes en El libro de los momentos iguales ^[d . ^] Por lo tanto, los pesos o [más bien] momentos, como otras cantidades continuas, se unen en algún término común, es decir, en algo común a ambos como el centro de peso, o en un punto de equilibrio . cualquier peso es aquel punto que, por muchas veces o cuando sea que esté suspendido el cuerpo, siempre se inclina perpendicularmente hacia el centro universal.

Además del cuerpo, el peso y el momento, existe un cuarto poder, que puede llamarse impulso o fuerza. ^[e] Aristóteles lo investiga en Sobre cuestiones mecánicas , y es completamente diferente de [las] ​​tres [potencias o magnitudes] antes mencionadas. [...]"

En 1586, Simon Stevin utiliza el término holandés staltwicht ("peso estacionado") para referirse al impulso en De Beghinselen Der Weeghconst .

En 1632, Galileo Galilei publica Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales y utiliza el momento italiano con muchos significados, incluido el de sus predecesores. ^[12]

En 1643, Thomas Salusbury traduce algunas de las obras de Galilei al inglés . Salusbury traduce impulso latino y momento italiano al término inglés momento . ^[F]

En 1765, Leonhard Euler utiliza el término latino impulse inertiae ( inglés : momento de inercia ) para referirse a una de las cantidades de Christiaan Huygens en Horologium Oscillatorium . ^[13] El trabajo de Huygens de 1673 que implicaba encontrar el centro de oscilación había sido estimulado por Marin Mersenne , quien se lo sugirió en 1646. ^{[14] [15]}

En 1811, el término francés moment d'une force ( inglés : momento de fuerza ) con respecto a un punto y un plano es utilizado por Siméon Denis Poisson en Traité de mécanique . ^[16] Una traducción al inglés aparece en 1842.

En 1884, James Thomson sugirió el término par en el contexto de la medición de fuerzas de rotación de máquinas (con hélices y rotores ). ^{[17] [18]} Hoy en día, se utiliza un dinamómetro para medir el par de las máquinas.

En 1893, Karl Pearson utiliza el término n-ésimo momento y en el contexto de mediciones científicas de ajuste de curvas . ^[19] Pearson escribió en respuesta a John Venn , quien, algunos años antes, observó un patrón peculiar que involucraba datos meteorológicos y pidió una explicación de su causa. ^[20] En la respuesta de Pearson, se utiliza esta analogía: el "centro de gravedad" mecánico es la media y la "distancia" es la desviación de la media. Esto luego evolucionó hacia momentos en matemáticas . La analogía entre el concepto mecánico de momento y la función estadística que implica la suma de las enésimas potencias de desviaciones fue notada por varios anteriormente, entre ellos Laplace , Kramp , Gauss , Encke , Czuber , Quetelet y De Forest . ^[21] ${\displaystyle \mu _{n}}$

Ver también

• Torque (o momento de fuerza ), ver también el artículo pareja (mecánica)
• Momento (matemáticas)
• Equilibrio mecánico , se aplica cuando un objeto está equilibrado de modo que la suma de los momentos en el sentido de las agujas del reloj alrededor de un pivote es igual a la suma de los momentos en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del mismo pivote.
• Momento de inercia , análogo a la masa en discusiones sobre movimiento de rotación. Es una medida de la resistencia de un objeto a los cambios en su velocidad de rotación. ${\displaystyle \left(I=\Sigma mr^{2}\right)}$
• Momento de impulso , el análogo rotacional del impulso lineal . ${\displaystyle (\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} )}$
• Momento magnético , un momento dipolar que mide la fuerza y ​​dirección de una fuente magnética. ${\displaystyle \left(\mathbf {\mu } =I\mathbf {A} \right)}$
• Momento dipolar eléctrico , momento dipolar que mide la diferencia de carga y la dirección entre dos o más cargas. Por ejemplo, el momento dipolar eléctrico entre una carga de – q y q separadas por una distancia de d es ${\displaystyle (\mathbf {p} =q\mathbf {d} )}$
• Momento flector , momento que resulta en la flexión de un elemento estructural
• Primer momento del área , propiedad de un objeto relacionada con su resistencia al esfuerzo cortante.
• Segundo momento de área , propiedad de un objeto relacionada con su resistencia a la flexión y deflexión.
• Momento polar de inercia , propiedad de un objeto relacionada con su resistencia a la torsión
• Momentos de imagen , propiedades estadísticas de una imagen.
• Momento sísmico , cantidad utilizada para medir la magnitud de un terremoto
• Momentos del plasma , descripción fluida del plasma en términos de densidad, velocidad y presión.
• Lista de momentos de inercia del área.
• Lista de momentos de inercia
• Expansión multipolar
• Momentos esféricos multipolares

Notas

1. Una traducción alternativa es "tener momentos iguales", como la utilizó Francesco Maurolico en el siglo XVI. ^[6] Una traducción literal es "tener iguales inclinaciones".
2. Treccani escribe en su entrada sobre moménto: "[...] alla tradizione medievale, nella quale momentum significava, per lo più, minima porzione di tempo, la più piccola parte dell'ora (precisamente, 1/40 di ora, un minuto e mezzo), ma anche minima quantità di peso, e quindi l'ago della bilancia (basta l'applicazione di un momento di peso perché si rompa l'equilibrio e la bilancia tracolli in un momento);"
3. En latín: impulso .
4. La traducción moderna de este libro es "sobre el equilibrio de los planos". La traducción "en momentos iguales (de planos)" utilizada por Maurolico también se repite en su libro de cuatro volúmenes llamado De momentis aequalibus ("sobre momentos iguales"), donde aplica las ideas de Arquímedes a los cuerpos sólidos.
5. En latín: ímpetu o vis . Este cuarto poder fue el precursor intelectual del impulso del latinismo inglés , también llamado cantidad de movimiento .
6. Esto está muy en línea con otras palabras latinas -entum como documentum , monumentum o argumentum que se convirtieron en documento , monumento y argumento en francés e inglés.

Referencias

1. JD Jackson, Electrodinámica clásica , 2ª edición, Wiley, Nueva York, (1975). pag. 137
2. Spackman, MA (1992). "Momentos eléctricos moleculares a partir de datos de difracción de rayos X". Reseñas químicas . 92 (8): 1769-1797. doi :10.1021/cr00016a005.
3. Dittrich y Jayatilaka, Mediciones confiables de momentos dipolares a partir de datos de difracción de un solo cristal y evaluación de una mejora en el cristal , densidad electrónica y enlace químico II, estudios teóricos de densidad de carga, Stalke, D. (Ed), 2012, https:/ /www.springer.com/978-3-642-30807-9
4. Baumann, Daniel (2009). "Conferencias TASI sobre inflación". arXiv : 0907.5424 [hep-th].
5. Mersenne, Marin (1634). Les Méchaniques de Galilée. París. págs. 7–8.
6. Clagett, Marshall (1964–84). Arquímedes en la Edad Media (5 vols en 10 tomos). Madison, WI: Prensa de la Universidad de Wisconsin, 1964; Filadelfia: Sociedad Filosófica Estadounidense, 1967–1984.
7. ῥοπή. Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; Un léxico griego-inglés en el Proyecto Perseo
8. Clagett, Marshall (1959). La Ciencia de la Mecánica en la Edad Media . Madison, WI: Prensa de la Universidad de Wisconsin.
9. Dijksterhuis, EJ (1956). Arquímedes. Copenhague: E. Munksgaard. pag. 288.
10. "momento". Diccionario de ingles Oxford . 1933.
11. Venecia, Biblioteca Nazionale Marciana, lat. Z.327 (=1842). Biblioteca Marciana. C. 1450.
12. Galluzzi, Paolo (1979). Momento. Estudios Galileiani . Roma: Edizioni dell'Ateneo & Bizarri.
13. Euler, Leonhard (1765). Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata [La teoría del movimiento de cuerpos sólidos o rígidos: establecida a partir de los primeros principios de nuestro conocimiento y apropiada para todos los movimientos que puede ocurrir en tales cuerpos.] (en latín). Rostock y Greifswald (Alemania): AF Röse. pag. 166.ISBN​ 978-1-4297-4281-8.De la página 166: "Definitio 7. 422. Momentum inertiae corporis respectu eujuspiam axis est summa omnium productorum, quae oriuntur, si singula corporis elementa per quadrata distantiarum suarum ab ax multiplicentur". (Definición 7. 422. El momento de inercia de un cuerpo con respecto a cualquier eje es la suma de todos los productos que surgen si los elementos individuales del cuerpo se multiplican por el cuadrado de sus distancias al eje).
14. Huygens, Christiaan (1673). Horologium oscillatorium, sive de Motu pendulorum ad horologia aptato demostraciones geométricas (en latín). pag. 91.
15. Huygens, Christiaan (1977-1995). "Centro de Oscilación (traducción)". Traducido por Mahoney, Michael S. Consultado el 22 de mayo de 2022 .
16. Poisson, Siméon-Denis (1811). Traité de mécanique, tomo premier. pag. 67.
17. Thompson, Silvanus Phillips (1893). Maquinaria dinamoeléctrica: manual para estudiantes de electrotecnia (4ª ed.). Nueva York, Harvard Publishing Co. pag. 108.
18. Thomson, James; Larmor, José (1912). Artículos recopilados en Física e Ingeniería. Prensa universitaria. pag. civ.
19. Pearson, Karl (octubre de 1893). "Curvas de frecuencia asimétricas". Naturaleza . 48 (1252): 615–616. Código Bib :1893Natur..48..615P. doi :10.1038/048615a0. S2CID  4057772.
20. Venn, J. (septiembre de 1887). "La ley del error". Naturaleza . 36 (931): 411–412. Código Bib : 1887Natur..36..411V. doi :10.1038/036411c0. S2CID  4098315.
21. Caminante, Helen M. (1929). Estudios de historia del método estadístico, con especial referencia a determinados problemas educativos. Baltimore, Williams & Wilkins Co. pág. 71.

enlaces externos

• Medios relacionados con el momento (física) en Wikimedia Commons
• [1] Una definición de momento en el diccionario.