Espacio-tiempo cuántico

Concepto en física matemática teórica.

En física matemática , el concepto de espacio-tiempo cuántico es una generalización del concepto habitual de espacio-tiempo en el que se supone que algunas variables que normalmente conmutan no conmutan y forman un álgebra de Lie diferente . La elección de esa álgebra todavía varía de una teoría a otra. Como resultado de este cambio, algunas variables que normalmente son continuas pueden volverse discretas. A menudo sólo estas variables discretas se denominan "cuantizadas"; el uso varía.

La idea del espacio-tiempo cuántico fue propuesta en los primeros días de la teoría cuántica por Heisenberg e Ivanenko como una forma de eliminar los infinitos de la teoría cuántica de campos. El germen de la idea pasó de Heisenberg a Rudolf Peierls , quien señaló que se puede considerar que los electrones en un campo magnético se mueven en un espacio-tiempo cuántico, y a Robert Oppenheimer , quien la llevó a Hartland Snyder , quien publicó el primer ejemplo concreto. ^[1] CN Yang simplificó el álgebra de mentira de Snyder ese mismo año.

Descripción general

El espaciotiempo físico es un espaciotiempo cuántico cuando en la mecánica cuántica las variables de posición y momento ya no son conmutativas , obedecen al principio de incertidumbre de Heisenberg y son continuas. Debido a las relaciones de incertidumbre de Heisenberg, se necesita mayor energía para explorar distancias más pequeñas. En última instancia, según la teoría de la gravedad, las partículas exploradas forman agujeros negros que destruyen lo que se iba a medir. El proceso no se puede repetir, por lo que no se puede contar como una medida. Esta mensurabilidad limitada llevó a muchos a esperar que nuestra imagen habitual del espacio-tiempo conmutativo continuo se rompiera en distancias a escala de Planck , si no antes. ${\displaystyle x,p}$

Una vez más, se espera que el espacio-tiempo físico sea cuántico porque las coordenadas físicas ya son ligeramente no conmutativas. Las coordenadas astronómicas de una estrella se ven modificadas por los campos gravitacionales entre nosotros y la estrella, como en la desviación de la luz por el sol, una de las pruebas clásicas de la relatividad general . Por tanto, las coordenadas en realidad dependen de las variables del campo gravitacional. Según las teorías cuánticas de la gravedad, estas variables de campo no conmutan; por lo tanto, las coordenadas que dependen de ellas probablemente no conmuten.

Ambos argumentos se basan en la gravedad pura y la teoría cuántica, y limitan la medición del tiempo a la única constante de tiempo en la gravedad cuántica pura , el tiempo de Planck . Nuestros instrumentos, sin embargo, no son puramente gravitacionales sino que están hechos de partículas. Es posible que establezcan un límite más severo y mayor que el tiempo de Planck.

Criterios

Los espaciotiempos cuánticos a menudo se describen matemáticamente utilizando la geometría no conmutativa de Connes, la geometría cuántica o los grupos cuánticos .

Cualquier álgebra no conmutativa con al menos cuatro generadores podría interpretarse como un espacio-tiempo cuántico, pero se han sugerido los siguientes deseos:

• Deben conservarse las simetrías locales del grupo de Lorentz y del grupo de Poincaré , posiblemente de forma generalizada. Su generalización a menudo toma la forma de un grupo cuántico que actúa sobre el álgebra cuántica del espacio-tiempo.
• El álgebra podría surgir plausiblemente en una descripción efectiva de los efectos de la gravedad cuántica en algún régimen de esa teoría. Por ejemplo, un parámetro físico , tal vez la longitud de Planck , podría controlar la desviación del espaciotiempo clásico conmutativo, de modo que el espaciotiempo lorentziano ordinario surja como . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \to 0}$
• Podría haber una noción de cálculo diferencial cuántico en el álgebra cuántica del espacio-tiempo, compatible con la simetría (cuántica) y preferiblemente reduciéndose al cálculo diferencial habitual como . ${\displaystyle \lambda \to 0}$

Esto permitiría ecuaciones de ondas para partículas y campos y facilitaría predicciones de desviaciones experimentales de la física clásica del espacio-tiempo que luego podrían probarse experimentalmente.

• El álgebra de Lie debe ser semisimple . ^[2] Esto hace que sea más fácil formular una teoría finita.

Modelos

En la década de 1990 se encontraron varios modelos que cumplían más o menos la mayoría de los criterios anteriores.

Modelo bicrossproducto espacio-tiempo

El modelo espacio-tiempo bicrossproduct fue introducido por Shahn Majid y Henri Ruegg ^[3] y tiene relaciones de álgebra de Lie.

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=0,\quad [x_{i},t]=i\lambda x_{i}}$

para las variables espaciales y la variable temporal . Aquí tiene dimensiones de tiempo y por lo tanto se espera que sea algo así como el tiempo de Planck. El grupo de Poincaré aquí se deforma correspondientemente, ahora a un cierto grupo cuántico de bicrossproduct con los siguientes rasgos característicos. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda }$

Órbitas para la acción del grupo de Lorentz en el espacio de momento en la construcción del modelo bicrossproduct en unidades de . Los hiperboloides de capa de masa están "aplastados" formando un cilindro. ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$

Los generadores de momento conmutan entre sí, pero la suma de momentos, reflejada en la estructura del grupo cuántico, se deforma (el espacio de momentos se convierte en un grupo no abeliano ). Mientras tanto, los generadores del grupo de Lorentz disfrutan de sus relaciones habituales entre ellos pero actúan de forma no lineal en el espacio de impulso. Las órbitas para esta acción se representan en la figura como una sección transversal de uno de los . La región de la capa que describe las partículas en el centro superior de la imagen normalmente serían hiperboloides, pero ahora están "aplastados" dentro del cilindro. ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}<\lambda ^{-1}\,}$

en unidades simplificadas. El resultado es que el impulso de Lorentz nunca lo incrementará por encima del impulso de Planck. La existencia de una escala de impulso más alta o una escala de distancia más baja se ajusta a la imagen física. Esta aplastamiento proviene de la no linealidad del impulso de Lorentz y es una característica endémica de los grupos cuánticos de productos bicruzados conocidos desde su introducción en 1988. ^[4] Algunos físicos llaman al modelo de producto bicruzado relatividad doblemente especial , ya que establece un límite superior para ambas velocidades. y el impulso.

Otra consecuencia del aplastamiento es que se deforma la propagación de las partículas, incluso de la luz, dando lugar a una velocidad variable de la luz . Esta predicción requiere que lo particular sea la energía física y el impulso espacial (a diferencia de alguna otra función de ellos). Los argumentos para esta identificación fueron proporcionados en 1999 por Giovanni Amelino-Camelia y Majid ^[5] a través de un estudio de ondas planas para un cálculo diferencial cuántico en el modelo. toman la forma ${\displaystyle p_{0},p_{i}}$

${\displaystyle e^{i\sum _{i}p_{i}x_{i}}e^{ip_{0}t}\,}$

en otras palabras, una forma lo suficientemente cercana a la clásica como para que uno pueda creer de manera plausible en la interpretación. Por el momento, este tipo de análisis de ondas representa la mejor esperanza para obtener predicciones físicamente comprobables a partir del modelo.

Antes de este trabajo, hubo una serie de afirmaciones sin fundamento para hacer predicciones a partir del modelo basándose únicamente en la forma del grupo cuántico de Poincaré. También hubo afirmaciones basadas en un grupo cuántico anterior de Poincaré introducido por Jurek Lukierski y sus colaboradores ^[6] que debería verse como un precursor importante del bicrossproduct, aunque sin el espacio-tiempo cuántico real y con diferentes generadores propuestos para los cuales el La imagen de arriba no se aplica. El modelo bicrossproduct del espacio-tiempo también se ha denominado espacio-tiempo deformado . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa =\lambda ^{-1}}$

q -Espaciotiempo deformado

Este modelo fue introducido de forma independiente por un equipo ^[7] que trabajó bajo la dirección de Julius Wess en 1990 y por Shahn Majid y sus compañeros de trabajo en una serie de artículos sobre matrices trenzadas que comenzaron un año después. ^[8] El punto de vista en el segundo enfoque es que el espacio-tiempo habitual de Minkowski tiene una buena descripción a través de matrices de Pauli como el espacio de matrices hermitianas de 2 x 2. En la teoría cuántica de grupos y utilizando métodos de categorías monoidales trenzadas, se tiene una versión q natural de esta definida aquí para valores reales de como una 'matriz hermitiana trenzada' de generadores y relaciones. ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}^{\dagger },\quad \beta \alpha =q^{2}\alpha \beta ,\ [\alpha ,\delta ]=0,\ [\beta ,\gamma ]=(1-q^{-2})\alpha (\delta -\alpha ),\ [\delta ,\beta ]=(1-q^{-2})\alpha \beta }$

Estas relaciones dicen que los generadores conmutan recuperando así el espacio habitual de Minkowski. Se puede trabajar con variables más familiares como combinaciones lineales de éstas. En particular, el tiempo ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle x,y,z,t}$

${\displaystyle t={\text{Trace}}_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=q\delta +q^{-1}\alpha }$

está dado por un rastro trenzado natural de la matriz y conmuta con los otros generadores (por lo que este modelo tiene un sabor muy diferente al de bicrossproduct). La imagen de la matriz trenzada también conduce naturalmente a una cantidad

${\displaystyle {\det }_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=\alpha \delta -q^{2}\gamma \beta }$

que nos devuelve la distancia habitual de Minkowski (esto se traduce en una métrica en la geometría diferencial cuántica). El parámetro o no tiene dimensiones y se cree que es una relación entre la escala de Planck y la longitud cosmológica. Es decir, hay indicios de que este modelo se relaciona con la gravedad cuántica con una constante cosmológica distinta de cero , dependiendo la elección de si esta es positiva o negativa. Hemos descrito aquí el caso positivo matemáticamente mejor comprendido pero quizás menos justificado físicamente. ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle q=e^{\lambda }}$ ${\displaystyle q=e^{i\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle q}$

Una comprensión completa de este modelo requiere (y fue concurrente con el desarrollo de) una teoría completa de "álgebra lineal trenzada" para tales espacios. El espacio de impulso para la teoría es otra copia de la misma álgebra y hay una cierta "adición trenzada" de impulso expresada como la estructura de un álgebra de Hopf trenzada o grupo cuántico en una determinada categoría monoide trenzada). Esta teoría en 1993 había proporcionado el correspondiente grupo de Poincaré deformado generado por tales traducciones y transformaciones de Lorentz, completando la interpretación como un espacio-tiempo cuántico. ^[9] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

En el proceso se descubrió que el grupo de Poincaré no sólo tenía que deformarse sino que debía ampliarse para incluir dilataciones del espacio-tiempo cuántico. Para que tal teoría sea exacta necesitaríamos que todas las partículas de la teoría no tuvieran masa, lo cual es consistente con el experimento, ya que las masas de las partículas elementales son, de hecho, extremadamente pequeñas en comparación con la masa de Planck . Si el pensamiento cosmológico actual es correcto, entonces este modelo es más apropiado, pero es significativamente más complicado y, por esta razón, sus predicciones físicas aún no se han elaborado. ^{[ ¿cómo? ]}

Modelo espacio-tiempo difuso o de giro

Esto se refiere en el uso moderno al álgebra del momento angular .

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]=2i\lambda x_{3},\ [x_{2},x_{3}]=2i\lambda x_{1},\ [x_{3},x_{1}]=2i\lambda x_{2}}$

familiar de la mecánica cuántica pero interpretado en este contexto como coordenadas de un espacio o espaciotiempo cuántico. Estas relaciones fueron propuestas por Roger Penrose en su primera teoría del espacio sobre redes de espín . Es un modelo de juguete de gravedad cuántica en 3 dimensiones espacio-temporales (no las 4 físicas) con una firma euclidiana (no la física minkowskiana). Gerardus 't Hooft lo propuso nuevamente ^[10] en este contexto . Majid y E. Batista ^[11] dieron un desarrollo adicional que incluye un cálculo diferencial cuántico y la acción de un cierto grupo cuántico 'doble cuántico' como un grupo de movimientos euclidiano deformado.

Una característica sorprendente de la geometría no conmutativa aquí es que el cálculo diferencial cuántico covariante más pequeño tiene una dimensión más alta de lo esperado, es decir, 4, lo que sugiere que lo anterior también puede verse como la parte espacial de un espacio-tiempo cuántico de 4 dimensiones. El modelo no debe confundirse con esferas difusas , que son álgebras matriciales de dimensión finita que se pueden considerar esferas en el espacio-tiempo del modelo de espín de radio fijo.

Modelo de Heisenberg espacio-tiempos

El espacio-tiempo cuántico de Hartland Snyder propone que

${\displaystyle [x_{\mu },x_{\nu }]=iM_{\mu \nu }}$

donde se genera el grupo de Lorentz. Este espacio-tiempo cuántico y el de CN Yang implican una unificación radical del espacio-tiempo, la energía-momento y el momento angular. ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$

La idea fue revivida en un contexto moderno por Sergio Doplicher , Klaus Fredenhagen y John Roberts en 1995 ^[12] al dejar que se vea simplemente como alguna función de lo definido por la relación anterior, y cualquier relación que la involucre se vea como relaciones de orden superior entre los . La simetría de Lorentz está dispuesta de manera que transforme los índices como es habitual y sin deformarse. ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle x_{\mu }}$ ${\displaystyle x_{\mu }}$

Una variante aún más simple de este modelo es dejar aquí un tensor antisimétrico numérico, en cuyo contexto generalmente se denota , por lo que las relaciones son . En dimensiones pares , cualquier theta no degenerado puede transformarse a una forma normal en la que en realidad es solo el álgebra de Heisenberg, pero con la diferencia de que las variables se proponen como aquellas del espacio-tiempo. Esta propuesta fue durante un tiempo bastante popular debido a su forma familiar de relaciones y porque se ha argumentado ^[13] que surge de la teoría de las cuerdas abiertas que aterrizan en D-branas, ver teoría cuántica de campos no conmutativa y plano de Moyal. Sin embargo, esta D-brana vive en algunas de las dimensiones superiores del espacio-tiempo en la teoría y, por lo tanto, no es nuestro espacio-tiempo físico el que la teoría de cuerdas sugiere que es efectivamente cuántico de esta manera. En primer lugar, también hay que suscribirse a las D-branas como aproximación a la gravedad cuántica. Incluso cuando se plantea como espacio-tiempo cuántico, es difícil obtener predicciones físicas y una razón para esto es que si es un tensor, entonces mediante análisis dimensional debería tener dimensiones de longitud , y si se especula que esta longitud es la longitud de Planck, entonces los efectos serían ser aún más difícil de detectar que para otros modelos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [x_{\mu },x_{\nu }]=i\theta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {}^{2}}$

Extensiones no conmutativas al espacio-tiempo

Aunque no es un espacio-tiempo cuántico en el sentido anterior, otro uso de la geometría no conmutativa es añadir "dimensiones adicionales no conmutativas" en cada punto del espacio-tiempo ordinario. En lugar de dimensiones adicionales enrolladas invisibles como en la teoría de cuerdas, Alain Connes y sus compañeros han argumentado que el álgebra de coordenadas de esta parte adicional debería reemplazarse por un álgebra no conmutativa de dimensión finita. Para una elección razonable de este álgebra, su representación y operador de Dirac extendido, se puede recuperar el Modelo Estándar de partículas elementales. Desde este punto de vista, los diferentes tipos de partículas de materia son manifestaciones de la geometría en estas direcciones extra no conmutativas. Los primeros trabajos de Connes aquí datan de 1989 ^[14] pero se han desarrollado considerablemente desde entonces. En teoría, este enfoque puede combinarse con el espacio-tiempo cuántico como se indicó anteriormente.

Ver también

• grupo cuántico
• Geometría cuántica
• Geometría no conmutativa
• Gravedad cuántica
• Topología anabeliana

Referencias

1. Snyder, H. (1947), "Espacio-tiempo cuantificado", Physical Review , 67 (1): 38–41, Bibcode :1947PhRv...71...38S, doi :10.1103/PhysRev.71.38
2. Yang, IE Segal 1947
3. Majid, S.; Ruegg, H. (1994), "Estructura bicrossproduct del grupo -Poincaré y geometría no conmutativa", Physics Letters B , 334 (3–4): 348–354, arXiv : hep-th/9405107 , Bibcode :1994PhLB..334 ..348M, dirección :10.1016/0370-2693(94)90699-8, S2CID  10927240 ${\displaystyle \kappa }$
4. Majid, Shahn (1988), "Álgebras de Hopf para física en la escala de Planck", Gravedad clásica y cuántica , 5 (12): 1587–1607, Bibcode :1988CQGra...5.1587M, CiteSeerX 10.1.1.125.6178 , doi :10.1088/0264-9381/5/12/010, S2CID  250857702 
5. Amelino-Camelia, G.; Majid, S. (2000), "Ondas en el espacio-tiempo no conmutativo y explosiones de rayos gamma", Revista Internacional de Física Moderna A , 15 (27): 4301–4323, arXiv : hep-th/9907110 , Bibcode : 2000IJMPA..15.4301 A, doi :10.1142/s0217751x00002779, S2CID  5730928
6. Lukierski, J; Nowicki, A; Ruegg, H; Tolstoi, VN (1991), " -Deformación de las álgebras de Poincaré", Physics Letters B , 264 (3–4): 331–338, Bibcode :1991PhLB..264..331L, doi :10.1016/0370-2693(91) 90358-w ${\displaystyle q}$
7. Carow-Watamura, U.; Schlieker, M.; Scholl, M.; Watamura, S. (1990), "Representación tensorial del grupo cuántico y el espacio cuántico de Minkowski", Zeitschrift für Physik C , 48 (1): 159, doi :10.1007/BF01565619, S2CID  120260589 ${\displaystyle SL_{q}(2,\mathbb {C} )}$
8. Majid, S. (1991), "Ejemplos de grupos trenzados y matrices trenzadas", Journal of Mathematical Physics , 32 (12): 3246–3253, Bibcode :1991JMP....32.3246M, doi :10.1063/1.529485
9. Majid, S. (1993), "Impulso trenzado en el grupo q-Poincaré", Journal of Mathematical Physics , 34 (5): 2045–2058, arXiv : hep-th/9210141 , Bibcode :1993JMP....34.2045 M, doi :10.1063/1.530154, S2CID  3138714
10. 't Hooft, G. (1996), "Cuantización de partículas puntuales en gravedad (2 + 1) dimensional y discreción del espacio-tiempo", Classical and Quantum Gravity , 13 (5): 1023–1039, arXiv : gr-qc/ 9601014 , código Bib : 1996CQGra..13.1023T, doi : 10.1088/0264-9381/13/5/018, S2CID  250858614
11. Batista, E.; Majid, S. (2003), "Geometría no conmutativa del espacio de momento angular U (su_2)", Journal of Mathematical Physics , 44 (1): 107–137, arXiv : hep-th/0205128 , Bibcode : 2003JMP.... 44..107B, doi :10.1063/1.1517395, S2CID  16315442
12. Doplicher, S.; Fredenhagen, K.; Roberts, JE (1995), "La estructura cuántica del espacio-tiempo en la escala de Planck y los campos cuánticos", Communications in Mathematical Physics , 172 (1): 187–220, arXiv : hep-th/0303037 , Bibcode :1995CMaPh.172. .187D, doi :10.1007/BF02104515, S2CID  16206928
13. Seiberg, N.; Witten, E. (1999), "Teoría de cuerdas y geometría no conmutativa", Journal of High Energy Physics , 1999 (9): 9909, 032, arXiv : hep-th/9908142 , Bibcode : 1999JHEP...09..032S, doi :10.1088/1126-6708/1999/09/032, S2CID  668885
14. Connes, A.; Lott, J. (1989), "Modelos de partículas y geometría no conmutativa" (PDF) , Física nuclear B: Suplementos de procedimientos , 18 (2): 29, Bibcode :1991NuPhS..18...29C, doi :10.1016/0920- 5632(91)90120-4, hdl : 2027.42/29524

Otras lecturas

• Majid, S. (1995), Fundamentos de la teoría cuántica de grupos , Cambridge University Press
• D. Oriti, ed. (2009), Enfoques de la gravedad cuántica , Cambridge University Press
• Connes, A .; Marcolli, M. (2007), Geometría no conmutativa, campos y motivos cuánticos , Publicaciones del coloquio
• Majid, S.; Schroers, BJ (2009), " -Deformación y semidualización en gravedad cuántica 3D", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 42 (42): 425402 (40pp), Bibcode :2009JPhA...42P5402M, doi :10.1088/1751 -8113/42/42/425402, S2CID  17160062 ${\displaystyle q}$
• RP Grimaldi, Matemáticas discretas y combinatorias: una introducción aplicada, 4ª ed. Addison-Wesley 1999.
• J. Matousek, J. Nesetril, Invitación a las matemáticas discretas. Prensa de la Universidad de Oxford 1998.
• Taylor EF, John A. Wheeler, Física del espacio-tiempo, editor WH Freeman, 1963.
• Khoshbin-e-Khoshnazar, señor (2013). "Energía vinculante del universo primitivo: abandono de Einstein por un poset discretizado de tres toros. Una propuesta sobre el origen de la energía oscura". Gravitación y cosmología . 19 (2): 106–113. Código Bib : 2013GrCo...19..106K. doi :10.1134/s0202289313020059. S2CID  121288092.

enlaces externos

• Artículo de la revista Plus sobre geometría cuántica de Marianne Freiberger
• S. Majid, ed. (2008), Sobre el espacio y el tiempo , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-64168-6