distancia de Minkowski

Métrica matemática en espacio vectorial normado

La distancia de Minkowski o métrica de Minkowski es una métrica en un espacio vectorial normado que puede considerarse como una generalización tanto de la distancia euclidiana como de la distancia de Manhattan . Lleva el nombre del matemático polaco Hermann Minkowski .

Comparación de las distancias de Chebyshev, Euclidiana y taxi para la hipotenusa de un triángulo 3-4-5 en un tablero de ajedrez

Definición

La distancia de orden de Minkowski (donde es un número entero) entre dos puntos se define como: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{ and }}Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$$ $${\displaystyle D\left(X,Y\right)={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$$

Porque la distancia de Minkowski es una métrica como resultado de la desigualdad de Minkowski . ^[1] Cuando la distancia entre y es pero el punto está a una distancia de ambos puntos. Dado que esto viola la desigualdad del triángulo , no es una métrica. Sin embargo, se puede obtener una métrica para estos valores simplemente eliminando el exponente de La métrica resultante también es una norma F. ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p<1,}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle 2^{1/p}>2,}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p<1}$ ${\displaystyle 1/p.}$

La distancia de Minkowski se utiliza normalmente siendo 1 o 2, que corresponden a la distancia de Manhattan y la distancia euclidiana , respectivamente. ^[2] En el caso límite de llegar al infinito, obtenemos la distancia de Chebyshev : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}$$

De manera similar, para llegar a infinito negativo, tenemos: ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}$$

La distancia de Minkowski también se puede ver como un múltiplo de la potencia media de las diferencias por componentes entre y ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q.}$

La siguiente figura muestra círculos unitarios (el conjunto de niveles de la función de distancia donde todos los puntos están a la distancia unitaria del centro) con varios valores de : ${\displaystyle p}$

Aplicaciones

La métrica de Minkowski es muy útil en el campo del aprendizaje automático y la IA . Muchos algoritmos populares de aprendizaje automático utilizan métricas de distancia específicas, como las mencionadas anteriormente, para comparar la similitud de dos puntos de datos. Dependiendo de la naturaleza de los datos que se analizan, se pueden utilizar varias métricas. La métrica de Minkowski es más útil para conjuntos de datos numéricos en los que se desea determinar la similitud de tamaño entre múltiples vectores de puntos de datos.

Ver también

• Media generalizada  : raíz enésima de la media aritmética de los números dados elevados a la potencia n
• ${\displaystyle L^{p}}$espacio  - Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• ${\displaystyle p}$-norm  - Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finitaPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. Şuhubi, Erdoğan S. (2003), "Capítulo V: Espacios métricos", Análisis funcional , Springer Países Bajos, págs. 261–356, doi :10.1007/978-94-017-0141-9_5, ISBN 9789401701419
2. Zezula, Pavel; Amato, Giuseppe; Dohnal, Vlastislav; Batko, Michal (2006), "Capítulo 1, Fundamentos de la búsqueda en el espacio métrico, Sección 3.1, Distancias de Minkowski", Búsqueda de similitudes: el enfoque del espacio métrico , Avances en sistemas de bases de datos, Springer, p. 10, doi :10.1007/0-387-29151-2, ISBN 9780387291512

Enlaces externos

• Bolas unitarias para diferentes normas p en 2D y 3D en wolfram.com
• Vectores de norma unitaria bajo diferentes normas p en wolfram.com
• Implementación simple de IEEE 754 en C++
• Paquete/módulo JavaScript de NPM