esfera difusa

En matemáticas , la esfera difusa es uno de los ejemplos más simples y canónicos de geometría no conmutativa . Normalmente, las funciones definidas en una esfera forman un álgebra de conmutación. Una esfera difusa se diferencia de una esfera ordinaria porque el álgebra de funciones que contiene no es conmutativa. Es generado por armónicos esféricos cuyo espín l es como máximo igual a algún j . Los términos del producto de dos armónicos esféricos que involucran armónicos esféricos con espín superior a j simplemente se omiten en el producto. Este truncamiento reemplaza un álgebra conmutativa de dimensión infinita por un álgebra no conmutativa de dimensión infinita. ${\displaystyle j^{2}}$

La forma más sencilla de ver esta esfera es realizar este álgebra de funciones truncada como un álgebra matricial en algún espacio vectorial de dimensión finita. Tome las tres matrices cuadradas de dimensión j que forman la base para la representación irreducible de dimensión j del álgebra de Lie su(2) . Satisfacen las relaciones , donde está el símbolo totalmente antisimétrico con , y generan mediante el producto matricial el álgebra de matrices j dimensionales. El valor del operador Casimir su(2) en esta representación es ${\displaystyle J_{a},~a=1,2,3}$ ${\displaystyle [J_{a},J_{b}]=i\epsilon _{abc}J_{c}}$ ${\displaystyle \epsilon _{abc}}$ ${\displaystyle \epsilon _{123}=1}$ ${\displaystyle M_{j}}$

${\displaystyle J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}={\frac {1}{4}}(j^{2}-1)I}$

donde I es la matriz identidad j -dimensional. Por lo tanto, si definimos las 'coordenadas' donde r es el radio de la esfera y k es un parámetro, relacionado con r y j por , entonces la ecuación anterior relativa al operador Casimir se puede reescribir como ${\displaystyle x_{a}=kr^{-1}J_{a}}$ ${\displaystyle 4r^{4}=k^{2}(j^{2}-1)}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}}$,

que es la relación habitual para las coordenadas de una esfera de radio r incrustada en un espacio tridimensional.

Se puede definir una integral en este espacio, por

${\displaystyle \int _{S^{2}}fd\Omega :=2\pi k\,{\text{Tr}}(F)}$

donde F es la matriz correspondiente a la función f . Por ejemplo, la integral de unidad, que da la superficie de la esfera en el caso conmutativo, es aquí igual a

${\displaystyle 2\pi k\,{\text{Tr}}(I)=2\pi kj=4\pi r^{2}{\frac {j}{\sqrt {j^{2}-1}}}}$

que converge al valor de la superficie de la esfera si se lleva j al infinito.

Notas

• Jens Hoppe, "Membranes and Matrix Models", conferencias presentadas durante la escuela de verano sobre 'Teoría cuántica de campos: desde un punto de vista hamiltoniano', 2 al 9 de agosto de 2000, arXiv :hep-th/0206192
• John Madore, Introducción a la geometría diferencial no conmutativa y sus aplicaciones físicas , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 257, Prensa de la Universidad de Cambridge 2002

Referencias

J. Hoppe, Teoría cuántica de una superficie relativista sin masa y un problema de estado ligado bidimensional. Tesis doctoral, Instituto de Tecnología de Massachusetts, 1982.