Cálculo diferencial cuántico

En geometría cuántica o geometría no conmutativa, un cálculo diferencial cuántico o una estructura diferencial no conmutativa en un álgebra sobre un campo significa la especificación de un espacio de formas diferenciales sobre el álgebra. El álgebra aquí se considera como un anillo de coordenadas , pero es importante que pueda ser no conmutativo y, por lo tanto, no sea un álgebra real de funciones de coordenadas en ningún espacio real, por lo que esto representa un punto de vista que reemplaza la especificación de una estructura diferenciable para un espacio real. . En geometría diferencial ordinaria, se pueden multiplicar formas 1 diferenciales por funciones de izquierda y derecha, y existe una derivada exterior. En consecuencia, un cálculo diferencial cuántico de primer orden significa al menos lo siguiente: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$

1. Un - -bimódulo sobre , es decir, se pueden multiplicar elementos de por elementos de de forma asociativa: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle a(\omega b)=(a\omega )b,\ \forall a,b\in A,\ \omega \in \Omega ^{1}.}$$
2. Un mapa lineal que obedece la regla de Leibniz ${\displaystyle {\rm {d}}:A\to \Omega ^{1}}$ $${\displaystyle {\rm {d}}(ab)=a({\rm {d}}b)+({\rm {d}}a)b,\ \forall a,b\in A}$$
3. ${\displaystyle \Omega ^{1}=\{a({\rm {d}}b)\ |\ a,b\in A\}}$
4. (condición de conexión opcional) ${\displaystyle \ker \ {\rm {d}}=k1}$

La última condición no siempre se impone, pero se cumple en la geometría ordinaria cuando la variedad está conectada. Dice que las únicas funciones eliminadas son las funciones constantes. ${\displaystyle {\rm {d}}}$

Una estructura de álgebra exterior o álgebra diferencial graduada significa una extensión compatible de para incluir análogos de formas diferenciales de orden superior. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$

$${\displaystyle \Omega =\oplus _{n}\Omega ^{n},\ {\rm {d}}:\Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}}$$

obedecer una regla de Leibniz graduada con respecto a un producto asociativo y obedecer . Aquí y generalmente se requiere que sea generado por . El producto de formas diferenciales se denomina producto exterior o de cuña y, a menudo, se denota como . La cohomología no conmutativa o cuántica de Rham se define como la cohomología de este complejo. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\rm {d}}^{2}=0}$ ${\displaystyle \Omega ^{0}=A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A,\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \wedge }$

Un cálculo diferencial de orden superior puede significar un álgebra exterior, o puede significar la especificación parcial de uno, hasta algún grado más alto, y con productos que darían como resultado un grado más allá del más alto sin especificar.

La definición anterior se encuentra en el cruce de dos enfoques de la geometría no conmutativa. En el enfoque de Connes, un objeto más fundamental es un reemplazo del operador de Dirac en forma de triple espectral , y se puede construir un álgebra exterior a partir de estos datos. En el enfoque de grupos cuánticos para la geometría no conmutativa, se comienza con el álgebra y una elección de cálculo de primer orden, pero restringido por la covarianza bajo una simetría de grupo cuántico.

Nota

La definición anterior es mínima y proporciona algo más general que el cálculo diferencial clásico incluso cuando el álgebra es conmutativa o funciona en un espacio real. Esto se debe a que no exigimos que ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle a({\rm {d}}b)=({\rm {d}}b)a,\ \forall a,b\in A}$$

ya que esto implicaría que , lo que violaría el axioma 4 cuando el álgebra fuera no conmutativa. Como subproducto, esta definición ampliada incluye cálculos en diferencias finitas y cálculos diferenciales cuánticos en conjuntos finitos y grupos finitos ( teoría del álgebra de Lie de grupos finitos ). ${\displaystyle {\rm {d}}(ab-ba)=0,\ \forall a,b\in A}$

Ejemplos

1. Para el álgebra de polinomios en una variable, los cálculos diferenciales cuánticos covariantes de traducción están parametrizados y toman la forma. Esto muestra cómo las diferencias finitas surgen naturalmente en la geometría cuántica. Sólo el límite tiene funciones que conmutan con las formas 1, que es el caso especial del cálculo diferencial de la escuela secundaria. ${\displaystyle A={\mathbb {C} }[x]}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}x,\quad ({\rm {d}}x)f(x)=f(x+\lambda )({\rm {d}}x),\quad {\rm {d}}f={f(x+\lambda )-f(x) \over \lambda }{\rm {d}}x}$$ ${\displaystyle \lambda \to 0}$
2. Para el álgebra de funciones en un círculo algebraico, los cálculos diferenciales covariantes de traslación (es decir, rotación-círculo) están parametrizados por y toman la forma. Esto muestra cómo los diferenciales surgen naturalmente en la geometría cuántica. ${\displaystyle A={\mathbb {C} }[t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle q\neq 0\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}t,\quad ({\rm {d}}t)f(t)=f(qt)({\rm {d}}t),\quad {\rm {d}}f={f(qt)-f(t) \over q(t-1)}\,{\rm {dt}}}$$ ${\displaystyle q}$
3. Para cualquier álgebra se tiene un cálculo diferencial universal definido por dónde está el producto del álgebra. Según el axioma 3., cualquier cálculo de primer orden es un cociente de esto. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Omega ^{1}=\ker(m:A\otimes A\to A),\quad {\rm {d}}a=1\otimes a-a\otimes 1,\quad \forall a\in A}$$ ${\displaystyle m}$

Ver también

• Geometría cuántica
• Geometría no conmutativa
• cálculo cuántico
• grupo cuántico
• Espacio-tiempo cuántico

Lectura adicional

• Connes, A. (1994), Geometría no conmutativa , Academic Press , ISBN 0-12-185860-X
• Majid, S. (2002), Un manual de grupos cuánticos , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 292, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511549892, ISBN 978-0-521-01041-2, señor  1904789