Cálculo umbral

Término histórico en matemáticas

En matemáticas antes de la década de 1970, el término cálculo umbral se refería a la sorprendente similitud entre ecuaciones polinómicas aparentemente no relacionadas y ciertas técnicas oscuras utilizadas para "probarlas". Estas técnicas fueron introducidas por John Blissard y a veces se las llama método simbólico de Blissard . ^[1] A menudo se atribuyen a Édouard Lucas (o James Joseph Sylvester ), quien utilizó la técnica ampliamente. ^[2]

Historia

En las décadas de 1930 y 1940, Eric Temple Bell intentó sentar una base rigurosa para el cálculo umbral, pero su intento de hacer que este tipo de argumento fuera lógicamente riguroso no tuvo éxito.

El combinatorialista John Riordan, en su libro Combinatorial Identities publicado en la década de 1960, utilizó ampliamente técnicas de este tipo.

En la década de 1970, Steven Roman , Gian-Carlo Rota y otros desarrollaron el cálculo umbral mediante funcionales lineales sobre espacios de polinomios. En la actualidad, el cálculo umbral se refiere al estudio de las sucesiones de Sheffer , incluidas las sucesiones polinómicas de tipo binomial y las sucesiones de Appell , pero puede abarcar técnicas de correspondencia sistemática del cálculo de diferencias finitas .

Cálculo umbral del siglo XIX

El método es un procedimiento de notación utilizado para derivar identidades que involucran secuencias indexadas de números, suponiendo que los índices son exponentes . Interpretado literalmente, es absurdo, y sin embargo es exitoso: las identidades derivadas a través del cálculo umbral también pueden derivarse correctamente mediante métodos más complicados que pueden tomarse literalmente sin dificultad lógica.

Un ejemplo son los polinomios de Bernoulli . Consideremos, por ejemplo, la expansión binomial ordinaria (que contiene un coeficiente binomial ):

${\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}}$

y la relación notablemente similar en los polinomios de Bernoulli :

${\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}.}$

Compare también la derivada ordinaria

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$

a una relación de aspecto muy similar en los polinomios de Bernoulli:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).}$

Estas similitudes permiten construir pruebas umbral que, en apariencia, no pueden ser correctas, pero parecen funcionar de todos modos. Así, por ejemplo, suponiendo que el subíndice n  −  k es un exponente:

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n},}$

y luego diferenciando se obtiene el resultado deseado:

${\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).}$

En el ejemplo anterior, la variable b es una “umbra” ( sombra en latín ).

Véase también la fórmula de Faulhaber .

Serie Umbral Taylor

En cálculo diferencial , la serie de Taylor de una función es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un único punto. Es decir, una función real o de valor complejo f  ( x ) que es analítica en se puede escribir como: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

También se observaron relaciones similares en la teoría de diferencias finitas . La versión umbral de la serie de Taylor se da mediante una expresión similar que involucra las k - ésimas diferencias hacia delante de una función polinómica f , ${\displaystyle \Delta ^{k}[f]}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(x-a)_{k}}$

dónde

${\displaystyle (x-a)_{k}=(x-a)(x-a-1)(x-a-2)\cdots (x-a-k+1)}$

es el símbolo de Pochhammer que se utiliza aquí para el producto secuencial descendente. Una relación similar se aplica a las diferencias hacia atrás y al factorial ascendente.

Esta serie también se conoce como serie de Newton o desarrollo diferencial directo de Newton . La analogía con el desarrollo de Taylor se utiliza en el cálculo de diferencias finitas .

Cálculo umbral moderno

Otro combinatorio, Gian-Carlo Rota , señaló que el misterio desaparece si se considera la función lineal L sobre polinomios en z definida por

${\displaystyle L(z^{n})=B_{n}(0)=B_{n}.}$

Luego, utilizando la definición de los polinomios de Bernoulli y la definición y linealidad de L , se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x)^{n}\right)\end{aligned}}}$

Esto permite reemplazar las ocurrencias de por , es decir, mover la n de un subíndice a un superíndice (la operación clave del cálculo umbral). Por ejemplo, ahora podemos demostrar que: ${\displaystyle B_{n}(x)}$ ${\displaystyle L((z+x)^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x+y)^{n}\right)\\&=B_{n}(x+y).\end{aligned}}}$

Rota afirmó más tarde que se produjo mucha confusión al no distinguir entre tres relaciones de equivalencia que ocurren con frecuencia en este tema, todas las cuales se denotan con "=".

En un artículo publicado en 1964, Rota utilizó métodos umbrales para establecer la fórmula de recursión satisfecha por los números de Bell , que enumeran particiones de conjuntos finitos.

En el artículo de Roman y Rota citado a continuación, el cálculo umbral se caracteriza como el estudio del álgebra umbral , definida como el álgebra de funcionales lineales en el espacio vectorial de polinomios en una variable x , con un producto L ₁ L ₂ de funcionales lineales definidos por

${\displaystyle \left\langle L_{1}L_{2}|x^{n}\right\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left\langle L_{1}|x^{k}\right\rangle \left\langle L_{2}|x^{n-k}\right\rangle .}$

Cuando las secuencias polinómicas reemplazan a las secuencias de números como imágenes de y ⁿ bajo la función lineal L , entonces se considera que el método umbral es un componente esencial de la teoría general de Rota de polinomios especiales, y esa teoría es el cálculo umbral según algunas definiciones más modernas del término. ^[3] Una pequeña muestra de esa teoría se puede encontrar en el artículo sobre secuencias polinómicas de tipo binomial . Otro es el artículo titulado Secuencia de Sheffer .

Posteriormente, Rota aplicó ampliamente el cálculo umbral en su artículo con Shen para estudiar las diversas propiedades combinatorias de los cumulantes . ^[4]

Véase también

• Umbra de Bernoulli
• Composición umbral de secuencias polinómicas
• Cálculo de diferencias finitas
• Polinomios de Pidduck
• El método simbólico en la teoría de invariantes
• Polinomios de Narumi

Notas

1. * Blissard, John (1861). "Teoría de ecuaciones genéricas". Revista trimestral de matemáticas puras y aplicadas . 4 : 279–305.
2. ET Bell, "La historia del método simbólico de Blissard, con un bosquejo de la vida de su inventor", The American Mathematical Monthly 45 :7 (1938), págs. 414–421.
3. Rota, GC; Kahaner, D.; Odlyzko, A. (1973). "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria. VIII. Cálculo de operadores finitos". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 684. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .
4. G.-C. Rota y J. Shen, "Sobre la combinatoria de cumulantes", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 91:283–304, 2000.

Referencias

• Bell, ET (1938), "La historia del método simbólico de Blissard, con un bosquejo de la vida de su inventor", The American Mathematical Monthly , 45 (7), Mathematical Association of America : 414–421, doi :10.1080/00029890.1938.11990829, ISSN  0002-9890, JSTOR  2304144
• Roman, Steven M.; Rota, Gian-Carlo (1978), "El cálculo umbral", Advances in Mathematics , 27 (2): 95–188, doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 , ISSN  0001-8708, MR  0485417
• G.-C. Rota, D. Kahaner y A. Odlyzko , "Cálculo de operadores finitos", Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, núm. 3, junio de 1973. Reimpreso en el libro con el mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
• Roman, Steven (1984), El cálculo umbral, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 111, Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, Sr.  0741185. Reimpreso por Dover, 2005.
• Roman, S. (2001) [1994], "Cálculo umbral", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cálculo umbral". MathWorld .
• A. Di Bucchianico, D. Loeb (2000). "A Selected Survey of Umbral Calculus" (PDF) . Revista electrónica de combinatoria . Encuestas dinámicas. DS3 . Archivado desde el original (PDF) el 24 de febrero de 2012.
• Roman, S. (1982), La teoría del cálculo umbral, I