Método simbólico

En matemáticas , el método simbólico en teoría de invariantes es un algoritmo desarrollado por Arthur Cayley , ^[1] Siegfried Heinrich Aronhold , ^[2] Alfred Clebsch , ^[3] y Paul Gordan ^[4] en el siglo XIX para calcular invariantes de formas algebraicas . Se basa en tratar la forma como si fuera una potencia de una forma de grado uno, lo que corresponde a incrustar una potencia simétrica de un espacio vectorial en los elementos simétricos de un producto tensorial de copias del mismo.

Notación simbólica

El método simbólico utiliza una notación compacta, pero bastante confusa y misteriosa para los invariantes, dependiendo de la introducción de nuevos símbolos a , b , c , ... (de donde el método simbólico toma su nombre) con propiedades aparentemente contradictorias.

Ejemplo: el discriminante de una forma cuadrática binaria

Estos símbolos se pueden explicar con el siguiente ejemplo de Gordan. ^[5] Supongamos que

${\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{2}+2A_{1}x_{1}x_{2}+A_{2}x_{2}^{2}}$

es una forma cuadrática binaria con un invariante dado por el discriminante

${\displaystyle \displaystyle \Delta =A_{0}A_{2}-A_{1}^{2}.}$

La representación simbólica del discriminante es

${\displaystyle \displaystyle 2\Delta =(ab)^{2}}$

donde a y b son los símbolos. El significado de la expresión ( ab ) ² es el siguiente. En primer lugar, ( ab ) es una forma abreviada del determinante de una matriz cuyas filas son a ₁ , a ₂ y b ₁ , b ₂ , por lo que

${\displaystyle \displaystyle (ab)=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.}$

Elevando esto al cuadrado obtenemos

${\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=a_{1}^{2}b_{2}^{2}-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}.}$

A continuación pretendemos que

${\displaystyle \displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{2}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{2}}$

de modo que

${\displaystyle \displaystyle A_{i}=a_{1}^{2-i}a_{2}^{i}=b_{1}^{2-i}b_{2}^{i}}$

e ignoramos el hecho de que esto no parece tener sentido si f no es una potencia de una forma lineal. Sustituyendo estos valores obtenemos

${\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=A_{2}A_{0}-2A_{1}A_{1}+A_{0}A_{2}=2\Delta .}$

Grados superiores

De manera más general, si

${\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{n}+{\binom {n}{1}}A_{1}x_{1}^{n-1}x_{2}+\cdots +A_{n}x_{2}^{n}}$

es una forma binaria de grado superior, entonces se introducen nuevas variables a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ , c ₁ , c ₂ , con las propiedades

${\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2})^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})^{n}=\cdots .}$

Lo que esto significa es que los siguientes dos espacios vectoriales son naturalmente isomorfos:

• El espacio vectorial de polinomios homogéneos en A ₀ ,... A _n de grado m
• El espacio vectorial de polinomios en 2 m variables a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ , c ₁ , c ₂ , ... que tienen grado n en cada uno de los m pares de variables ( a ₁ , a ₂ ), ( b ₁ , b ₂ ), ( c ₁ , c ₂ ), ... y son simétricos bajo permutaciones de los m símbolos a , b , ....,

El isomorfismo se da al mapear a^{n - j}
₁a^yo
₂, b^{n - j}
₁b^yo
₂, .... a A _j . Esta aplicación no conserva los productos de polinomios.

Más variables

La extensión a una forma f en más de dos variables x ₁ , x ₂ , x ₃ ,... es similar: se introducen los símbolos a ₁ , a ₂ , a ₃ y así sucesivamente con las propiedades

${\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=\cdots .}$

Productos simétricos

El formalismo un tanto misterioso del método simbólico corresponde a la incorporación de un producto simétrico S ⁿ ( V ) de un espacio vectorial V en un producto tensorial de n copias de V , como los elementos preservados por la acción del grupo simétrico. De hecho, esto se hace dos veces, porque los invariantes de grado n de un cuanto de grado m son los elementos invariantes de S ⁿ S ^m ( V ), que se incorpora a un producto tensorial de mn copias de V , como los elementos invariantes bajo un producto en corona de los dos grupos simétricos. Los corchetes del método simbólico son en realidad formas lineales invariantes sobre este producto tensorial, que dan invariantes de S ⁿ S ^m ( V ) por restricción.

Véase también

• Cálculo umbral

Referencias

• Gordon, Paul (1987) [1887]. Kerschensteiner, Georg (ed.). Vorlesungen über Invariantentheorie (2ª ed.). Nueva York: AMS Chelsea Publishing . ISBN 9780828403283.Sr .  0917266.

Notas al pie

1. Cayley, Arthur (1846). "Sobre transformaciones lineales". Cambridge and Dublin Mathematical Journal : 104–122.
2. Aronhold, Siegfried Heinrich (1858). "Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Veränderlichen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 1858 (55): 97-191. doi :10.1515/crll.1858.55.97. ISSN  0075-4102. S2CID  122247157.
3. Clebsch, A. (1861). "Ueber symbolische Darstellung algebraischer Formen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán). 1861 (59): 1–62. doi :10.1515/crll.1861.59.1. ISSN  0075-4102. S2CID  119389672.
4. Gordan 1887.
5. Gordan 1887, v. 2, pág. 1-3.

Lectura adicional

• Dieudonné, Jean ; Carrell, James B. (1970). "Teoría invariante, antigua y nueva". Avances en Matemáticas . 4 : 1–80. doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 .pp. 32–7, "Invariantes de formas n -arias: el método simbólico". Reimpreso como Dieudonné, Jean ; Carrell, James B. (1971). Teoría de invariantes, antigua y nueva . Academic Press. ISBN 0-12-215540-8.
• Dolgachev, Igor (2003). Lecciones sobre teoría de invariantes . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 296. Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511615436. ISBN . 978-0-521-52548-0. Sr.  2004511. S2CID  118144995.
• Grace, John Hilton ; Young, Alfred (1903), El álgebra de invariantes , Cambridge University Press
• Hilbert, David (1993) [1897]. Teoría de invariantes algebraicos. Cambridge University Press . ISBN 9780521444576.Señor 1266168  .
• Koh, Sebastian S., ed. (2009) [1987]. Teoría de invariantes . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1278. Springer. ISBN 9783540183600.
• Kung, Joseph PS; Rota, Gian-Carlo (1984). "La teoría invariante de las formas binarias". Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 10 (1): 27–85. doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 . ISSN:  0002-9904. MR  : 0722856.