Secuencia de apelación

Tipo de secuencia polinómica

En matemáticas , una secuencia de Appell , llamada así en honor a Paul Émile Appell , es cualquier secuencia polinómica que satisface la identidad ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

y en el que es una constante distinta de cero. ${\displaystyle p_{0}(x)}$

Entre las secuencias de Appell más notables, además del ejemplo trivial, se encuentran los polinomios de Hermite , los polinomios de Bernoulli y los polinomios de Euler . Toda secuencia de Appell es una secuencia de Sheffer , pero la mayoría de las secuencias de Sheffer no son secuencias de Appell. Las secuencias de Appell tienen una interpretación probabilística como sistemas de momentos . ${\displaystyle \{x^{n}\}}$

Caracterizaciones equivalentes de secuencias de Appell

Se puede ver fácilmente que las siguientes condiciones sobre secuencias polinómicas son equivalentes:

• Para , ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$

y es una constante distinta de cero; ${\displaystyle p_{0}(x)}$

• Para alguna secuencia de escalares con , ${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle c_{0}\neq 0}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};}$

• Para la misma secuencia de escalares,

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

dónde

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}$

• Para , ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.}$

Fórmula de recursión

Suponer

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$

donde se toma la última igualdad para definir el operador lineal en el espacio de polinomios en . Sea ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}$

sea ​​el operador inverso, cuyos coeficientes son los del recíproco habitual de una serie de potencias formales , de modo que ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

En las convenciones del cálculo umbral , a menudo se considera que esta serie de potencias formales representa la secuencia de Appell . Se puede definir ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}$

utilizando la expansión habitual de la serie de potencias y la definición habitual de composición de la serie de potencias formales. Entonces tenemos ${\displaystyle \log(x)}$

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

(Esta diferenciación formal de una serie de potencias en el operador diferencial es una instancia de diferenciación de Pincherle ). ${\displaystyle D}$

En el caso de los polinomios de Hermite , esto se reduce a la fórmula de recursión convencional para esa secuencia.

Subgrupo de los polinomios de Sheffer

El conjunto de todas las secuencias de Appell está cerrado bajo la operación de composición umbral de secuencias polinómicas, definida de la siguiente manera. Supóngase que y son secuencias polinómicas, dadas por ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ and }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

Entonces la composición umbral es la secuencia polinómica cuyo término n es ${\displaystyle p\circ q}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(el subíndice aparece en , ya que éste es el término n de esa secuencia, pero no en , ya que éste se refiere a la secuencia como un todo y no a uno de sus términos). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Bajo esta operación, el conjunto de todas las secuencias de Sheffer es un grupo no abeliano , pero el conjunto de todas las secuencias de Appell es un subgrupo abeliano . Que es abeliano se puede ver considerando el hecho de que cada secuencia de Appell tiene la forma

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

y esa composición umbral de las secuencias de Appell corresponde a la multiplicación de estas series de potencias formales en el operador . ${\displaystyle D}$

Convención diferente

Otra convención seguida por algunos autores (ver Chihara ) define este concepto de una manera diferente, en conflicto con la definición original de Appell, al utilizar la identidad

${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}$

en cambio.

Polinomios hipergeométricos de Appell

La enorme clase de polinomios de Appell se puede obtener en términos de la función hipergeométrica generalizada.

Sea la matriz de proporciones ${\displaystyle \Delta (k,-n)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .}$

Considere el polinomio ${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} }$

donde es la función hipergeométrica generalizada. ${\displaystyle {}_{k+p}F_{q}}$

Teorema. La familia de polinomios es la secuencia de Appell para cualquier parámetro natural . ${\displaystyle \{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}}$ ${\displaystyle a,b,p,q,m,k}$

Por ejemplo, si entonces los polinomios se convierten en los polinomios de Gould-Hopper y si se convierten en los polinomios de Hermite . ${\displaystyle p=0,q=0,}$ ${\displaystyle k=m,}$ ${\displaystyle m=(-1)^{k}h{k^{k}}}$ ${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)}$ ${\displaystyle g_{n}^{m}(x,h)}$ ${\displaystyle p=0,q=0,m=-2,k=2}$ ${\displaystyle H_{n}(x)}$

Véase también

• Secuencia de Sheffer
• Cálculo umbral
• Polinomios de Appell generalizados
• Producto de mecha

Referencias

• Appell, Paul (1880). "Sur una clase de polinomios". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2ª Serie. 9 : 119-144. doi :10.24033/asens.186.
• Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). "El cálculo umbral". Avances en matemáticas . 27 (2): 95–188. doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
• Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). "Cálculo de operadores finitos". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 42 (3): 685–760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Reimpreso en el libro con el mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
• Steven Roman. El cálculo umbral . Dover Publications .
• Theodore Seio Chihara (1978). Introducción a los polinomios ortogonales . Gordon and Breach, Nueva York. ISBN 978-0-677-04150-6.
• Bedratyuk, L.; Luno, N. (2020). "Algunas propiedades de polinomios de Appell hipergeométricos generalizados". Matemáticas de los Cárpatos. Publ . 12 (1): 129–137. arXiv : 2005.01676 . doi :10.15330/cmp.12.1.129-137.

Enlaces externos

• "Polinomios de Appell", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Secuencia de Appell en MathWorld