Ecuación diferencial ordinaria

Ecuación diferencial que contiene derivadas con respecto a una sola variable

La trayectoria de un proyectil lanzado desde un cañón sigue una curva determinada por una ecuación diferencial ordinaria que se deriva de la segunda ley de Newton.

En matemáticas , una ecuación diferencial ordinaria ( EDO ) es una ecuación diferencial (ED) que depende de una sola variable independiente . Al igual que con otros ED, sus incógnitas constan de una (o más) funciones e involucran las derivadas de esas funciones. ^[1] El término "ordinaria" se utiliza en contraste con las ecuaciones diferenciales parciales que pueden ser con respecto a más de una variable independiente. ^[2]

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial que está definida por un polinomio lineal en la función desconocida y sus derivadas, es decir, una ecuación de la forma

${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,}$

donde , ..., y son funciones diferenciables arbitrarias que no necesitan ser lineales, y son las derivadas sucesivas de la función desconocida y de la variable x . ${\displaystyle a_{0}(x)}$ ${\displaystyle a_{n}(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle y',\ldots ,y^{(n)}}$

Entre las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales lineales desempeñan un papel destacado por varias razones. La mayoría de las funciones elementales y especiales que se encuentran en física y matemáticas aplicadas son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (ver Función holonómica ). Cuando los fenómenos físicos se modelan con ecuaciones no lineales, generalmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para una solución más sencilla. Las pocas EDO no lineales que pueden resolverse explícitamente generalmente se resuelven transformando la ecuación en una EDO lineal equivalente (ver, por ejemplo, la ecuación de Riccati ).

Algunas EDO se pueden resolver explícitamente en términos de funciones e integrales conocidas . Cuando eso no sea posible, puede resultar útil la ecuación para calcular la serie de Taylor de las soluciones. Para problemas aplicados, los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias pueden proporcionar una aproximación de la solución.

Fondo

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) surgen en muchos contextos de las matemáticas y las ciencias sociales y naturales . Las descripciones matemáticas del cambio utilizan diferenciales y derivadas. Varias diferenciales, derivadas y funciones se relacionan a través de ecuaciones, de modo que una ecuación diferencial es un resultado que describe fenómenos, evolución y variación que cambian dinámicamente. A menudo, las cantidades se definen como la tasa de cambio de otras cantidades (por ejemplo, derivadas del desplazamiento con respecto al tiempo) o gradientes de cantidades, que es como entran en las ecuaciones diferenciales. ^{[ cita necesaria ]}

Los campos matemáticos específicos incluyen geometría y mecánica analítica . Los campos científicos incluyen gran parte de la física y la astronomía (mecánica celestial), la meteorología (modelación del tiempo), la química (tasas de reacción), ^[3] la biología (enfermedades infecciosas, variación genética), la ecología y la modelización demográfica (competencia poblacional), la economía (tendencias de las poblaciones) . , tipos de interés y cambios en los precios de equilibrio del mercado).

Muchos matemáticos han estudiado ecuaciones diferenciales y han contribuido al campo, incluidos Newton , Leibniz , la familia Bernoulli , Riccati , Clairaut , d'Alembert y Euler .

Un ejemplo sencillo es la segunda ley del movimiento de Newton : la relación entre el desplazamiento x y el tiempo t de un objeto bajo la fuerza F viene dada por la ecuación diferencial

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,}$

que restringe el movimiento de una partícula de masa constante m . En general, F es función de la posición x ( t ) de la partícula en el tiempo t . La función desconocida x ( t ) aparece en ambos lados de la ecuación diferencial y se indica en la notación F ( x ( t )). ^{[4] [5] [6] [7]}

Definiciones

En lo que sigue, y es una variable dependiente que representa una función desconocida y = f ( x ) de la variable independiente x . La notación para la diferenciación varía según el autor y según qué notación sea más útil para la tarea en cuestión. En este contexto, la notación de Leibniz (dy/dx,d ² años/dx ²,…,dn y ^_/dx ⁿ) es más útil para la diferenciación e integración , mientras que la notación de Lagrange ( y ′, y ", …, y ^{( n )} ) es más útil para representar derivadas de orden superior de forma compacta, y la notación de Newton se usa a menudo en física para representar derivadas de orden inferior con respecto al tiempo. ${\displaystyle ({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})}$

Definición general

Dada F , una función de x , y y derivadas de y . Entonces una ecuación de la forma

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

se llama ecuación diferencial ordinaria explícita de orden n . ^{[8] [9]}

De manera más general, una ecuación diferencial ordinaria implícita de orden n toma la forma: ^[10]

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

Hay más clasificaciones:

Autónomo

Un diferencial es autónomo si no depende de la variable x .

Lineal

Una ecuación diferencial es lineal si puede escribirse como una combinación lineal de las derivadas de y ; es decir, si se puede reescribir como ${\displaystyle F}$

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

donde a  _i  ( x ) y r  ( x ) son funciones continuas de x . ^{[8] [11] [12]} La función r ( x ) se denomina término fuente , lo que lleva a una clasificación adicional. ^{[11] [13]}

Homogéneo

Una ecuación diferencial lineal es homogénea si r ( x ) = 0 . En este caso, siempre existe la " solución trivial " y = 0 .

No homogéneo (o no homogéneo)

Una ecuación diferencial lineal es no homogénea si r ( x ) ≠ 0 .

No lineal

Una ecuación diferencial que no es lineal.

Sistema de EDO

Varias ecuaciones diferenciales acopladas forman un sistema de ecuaciones. Si y es un vector cuyos elementos son funciones; y ( x ) = [ y ₁ ( x ), y ₂ ( x ),..., y _m ( x )], y F es una función vectorial de y y sus derivadas, entonces

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}$

es un sistema explícito de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n y dimensión m . En forma de vector de columna :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

Estos no son necesariamente lineales. El análogo implícito es:

${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}}$

donde 0 = (0, 0, ..., 0) es el vector cero . En forma matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

Para un sistema de la forma , algunas fuentes también requieren que la matriz jacobiana no sea singular para poder llamarlo una EDO [sistema] implícito; un sistema EDO implícito que satisfaga esta condición de no singularidad jacobiana puede transformarse en un sistema EDO explícito. En las mismas fuentes, los sistemas EDO implícitos con un jacobiano singular se denominan ecuaciones algebraicas diferenciales (DAE). Esta distinción no es meramente terminológica; Los DAE tienen características fundamentalmente diferentes y generalmente su resolución es más complicada que los sistemas ODE (no singulares). ^{[14] [15] [16]} Presumiblemente para derivadas adicionales, la matriz de Hesse , etc., también se supone que no es singular según este esquema, ^{[ cita necesaria ]} aunque tenga en cuenta que cualquier EDO de orden mayor que uno puede ser (y generalmente is) reescrito como sistema de EDO de primer orden, ^[17] lo que hace que el criterio de singularidad jacobiano sea suficiente para que esta taxonomía sea completa en todos los órdenes. ${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}}$

El comportamiento de un sistema de EDO se puede visualizar mediante el uso de un retrato de fase .

Soluciones

Dada una ecuación diferencial

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}$

una función u : I ⊂ R → R , donde I es un intervalo, se llama solución o curva integral para F , si u es n veces diferenciable en I , y

${\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

Dadas dos soluciones u : J ⊂ R → R y v : I ⊂ R → R , u se llama una extensión de v si I ⊂ J y

${\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

Una solución que no tiene extensión se llama solución máxima . Una solución definida en todo R se llama solución global .

Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n constantes de integración arbitrarias e independientes . Una solución particular se deriva de la solución general estableciendo las constantes en valores particulares, a menudo elegidos para cumplir con las " condiciones iniciales o condiciones de contorno " establecidas. ^[18] Una solución singular es una solución que no se puede obtener asignando valores definidos a las constantes arbitrarias en la solución general. ^[19]

En el contexto de la EDO lineal, la terminología solución particular también puede referirse a cualquier solución de la EDO (que no necesariamente satisface las condiciones iniciales), que luego se agrega a la solución homogénea (una solución general de la EDO homogénea), que luego forma una solución general de la EDO original. Esta es la terminología utilizada en la sección del método de adivinación de este artículo y se utiliza con frecuencia cuando se analiza el método de coeficientes indeterminados y variación de parámetros .

Soluciones de duración finita

Para las EDO autónomas no lineales, es posible bajo algunas condiciones desarrollar soluciones de duración finita, ^[20] lo que significa aquí que, a partir de su propia dinámica, el sistema alcanzará el valor cero en un momento final y permanecerá allí en cero para siempre. Estas soluciones de duración finita no pueden ser funciones analíticas en toda la recta real y, debido a que serán funciones no de Lipschitz en su momento final, no están incluidas en el teorema de unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales de Lipschitz.

Como ejemplo, la ecuación:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

Admite la solución de duración finita:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

Teorias

Soluciones singulares

La teoría de las soluciones singulares de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales fue objeto de investigación desde la época de Leibniz, pero sólo desde mediados del siglo XIX recibió especial atención. Una obra valiosa pero poco conocida sobre el tema es la de Houtain (1854). Darboux (desde 1873) fue un líder en la teoría, y en la interpretación geométrica de estas soluciones abrió un campo trabajado por varios escritores, notablemente Casorati y Cayley . A este último se debe (1872) la teoría de las soluciones singulares de ecuaciones diferenciales de primer orden aceptada alrededor de 1900.

Reducción a cuadraturas

El intento primitivo de abordar ecuaciones diferenciales tenía como objetivo una reducción a cuadraturas . Así como los algebristas del siglo XVIII tenían la esperanza de encontrar un método para resolver la ecuación general de enésimo grado , los analistas tenían la esperanza de encontrar un método general para integrar cualquier ecuación diferencial. Gauss (1799) demostró, sin embargo, que las ecuaciones diferenciales complejas requieren números complejos . De ahí que los analistas comenzaran a sustituir el estudio de las funciones, abriendo así un nuevo y fértil campo. Cauchy fue el primero en apreciar la importancia de este punto de vista. A partir de entonces, la verdadera cuestión ya no era si es posible una solución mediante funciones conocidas o sus integrales, sino si una ecuación diferencial dada es suficiente para la definición de una función de la variable o variables independientes y, de ser así, cuáles son las propiedades características.

teoría fucsiana

Dos memorias de Fuchs ^[21] inspiraron un enfoque novedoso, elaborado posteriormente por Thomé y Frobenius . Collet fue un colaborador destacado a partir de 1869. Su método para integrar un sistema no lineal fue comunicado a Bertrand en 1868. Clebsch (1873) atacó la teoría siguiendo líneas paralelas a las de su teoría de las integrales abelianas . Como esta última puede clasificarse según las propiedades de la curva fundamental que permanece sin cambios bajo una transformación racional, Clebsch propuso clasificar las funciones trascendentes definidas por ecuaciones diferenciales según las propiedades invariantes de las superficies correspondientes f = 0 bajo racional uno a -una transformaciones.

La teoría de la mentira.

A partir de 1870, el trabajo de Sophus Lie sentó mejores bases para la teoría de las ecuaciones diferenciales. Demostró que las teorías de integración de los matemáticos más antiguos pueden, utilizando grupos de Lie , referirse a una fuente común, y que las ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten las mismas transformaciones infinitesimales presentan dificultades de integración comparables. También enfatizó el tema de las transformaciones del contacto .

Se ha certificado la teoría de grupos de ecuaciones diferenciales de Lie, a saber: (1) que unifica los muchos métodos ad hoc conocidos para resolver ecuaciones diferenciales, y (2) que proporciona nuevas y poderosas formas de encontrar soluciones. La teoría tiene aplicaciones tanto para ecuaciones diferenciales ordinarias como para ecuaciones diferenciales parciales. ^[22]

Un enfoque de solución general utiliza la propiedad de simetría de las ecuaciones diferenciales, las transformaciones infinitas continuas de soluciones en soluciones ( teoría de Lie ). La teoría de grupos continuos , las álgebras de Lie y la geometría diferencial se utilizan para comprender la estructura de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales (parciales) para generar ecuaciones integrables, encontrar sus pares Lax , operadores de recursividad, transformada de Bäcklund y, finalmente, encontrar soluciones analíticas exactas. a DE.

Los métodos de simetría se han aplicado a ecuaciones diferenciales que surgen en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas.

Teoría de Sturm-Liouville

La teoría de Sturm-Liouville es una teoría de un tipo especial de ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Sus soluciones se basan en valores propios y funciones propias correspondientes de operadores lineales definidos mediante ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden . Los problemas se identifican como Problemas de Sturm-Liouville (SLP) y llevan el nombre de JCF Sturm y J. Liouville , quienes los estudiaron a mediados del siglo XIX. Los SLP tienen un número infinito de valores propios y las funciones propias correspondientes forman un conjunto ortogonal completo, lo que hace posibles las expansiones ortogonales. Esta es una idea clave en matemáticas aplicadas, física e ingeniería. ^[23] Los SLP también son útiles en el análisis de ciertas ecuaciones diferenciales parciales.

Existencia y singularidad de las soluciones.

Existen varios teoremas que establecen la existencia y unicidad de las soluciones a problemas de valor inicial que involucran EDO tanto a nivel local como global. Los dos teoremas principales son

En su forma básica, ambos teoremas sólo garantizan resultados locales, aunque este último puede ampliarse para dar un resultado global, por ejemplo, si se cumplen las condiciones de la desigualdad de Grönwall .

Además, los teoremas de unicidad como el de Lipschitz anterior no se aplican a los sistemas DAE , que pueden tener múltiples soluciones derivadas únicamente de su parte algebraica (no lineal). ^[24]

Teorema de existencia local y unicidad simplificado

El teorema se puede enunciar simplemente de la siguiente manera. ^[25] Para el problema de ecuación y valor inicial:

$${\displaystyle y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})}$$

FFy

$${\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$$

xy , donde abrealesa , b ∈ R×producto cartesianointervalos cerrados

$${\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$$

h ∈ Rla solución a la ecuación anterior y al problema de valor inicial. FFxy

Unicidad global y máximo dominio de solución.

Cuando se satisfacen las hipótesis del teorema de Picard-Lindelöf, entonces la existencia local y la unicidad pueden extenderse a un resultado global. Más precisamente: ^[26]

Para cada condición inicial ( x ₀ , y ₀ ) existe un intervalo abierto máximo único (posiblemente infinito)

${\displaystyle I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}$

tal que cualquier solución que satisfaga esta condición inicial es una restricción de la solución que satisface esta condición inicial con dominio . ${\displaystyle I_{\max }}$

En el caso de que , hay exactamente dos posibilidades ${\displaystyle x_{\pm }\neq \pm \infty }$

• explosión en tiempo finito: ${\displaystyle \limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty }$
• deja el dominio de definición: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}}$

donde Ω es el conjunto abierto en el que se define F y es su frontera. ${\displaystyle \partial {\bar {\Omega }}}$

Tenga en cuenta que el dominio máximo de la solución

• es siempre un intervalo (para tener unicidad)
• puede ser más pequeño que ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• puede depender de la elección específica de ( x ₀ , y ₀ ).

Ejemplo.

${\displaystyle y'=y^{2}}$

Esto significa que F ( x, y ) = y ² , que es C ¹ y, por lo tanto, localmente continua de Lipschitz, satisfaciendo el teorema de Picard-Lindelöf.

Incluso en un entorno tan simple, el dominio máximo de la solución no puede ser todo, ya que la solución es ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}}$

que tiene dominio máximo:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}}$

Esto muestra claramente que el intervalo máximo puede depender de las condiciones iniciales. El dominio de y podría considerarse como tal , pero esto conduciría a un dominio que no es un intervalo, de modo que el lado opuesto a la condición inicial estaría desconectado de la condición inicial y, por lo tanto, no estaría determinado de manera única por ella. ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),}$

El dominio máximo no es porque ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,}$

que es uno de los dos casos posibles según el teorema anterior.

Reducción de pedido

Las ecuaciones diferenciales suelen ser más fáciles de resolver si se puede reducir el orden de la ecuación.

Reducción a un sistema de primer orden

Cualquier ecuación diferencial explícita de orden n ,

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

se puede escribir como un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden definiendo una nueva familia de funciones desconocidas

${\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}.\!}$

para yo = 1, 2, ..., norte . El sistema n -dimensional de ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden es entonces

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}}$

más compacto en notación vectorial:

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).}$

Resumen de soluciones exactas

Algunas ecuaciones diferenciales tienen soluciones que se pueden escribir en forma exacta y cerrada. Aquí se dan varias clases importantes.

En la siguiente tabla, P ( x ) , Q ( x ) , P ( y ) , Q ( y ) y M ( x , y ) , N ( x , y ) son funciones integrables de x , y ; b y c son constantes reales dadas; C ₁ , C ₂ , ... son constantes arbitrarias ( complejas en general). Las ecuaciones diferenciales se encuentran en sus formas equivalentes y alternativas que conducen a la solución mediante integración.

En las soluciones integrales, λ y ε son variables ficticias de integración (los análogos continuos de los índices en sumatoria ), y la notación ∫ ^x F ( λ ) dλ simplemente significa integrar F ( λ ) con respecto a λ , luego de la integración sustituir λ = x , sin sumar constantes (explícitamente indicado).

Ecuaciones separables

Ecuaciones generales de primer orden

Ecuaciones generales de segundo orden

Lineal a las ecuaciones de orden n

El método de adivinar

Cuando todos los demás métodos para resolver una EDO fallan, o en los casos en los que tenemos alguna intuición sobre cómo podría ser la solución a una ED, a veces es posible resolver una ED simplemente adivinando la solución y validando que sea correcta. Para usar este método, simplemente adivinamos una solución a la ecuación diferencial y luego insertamos la solución en la ecuación diferencial para validar si satisface la ecuación. Si es así, entonces tenemos una solución particular para el DE; de lo contrario, comenzamos de nuevo e intentamos otra suposición. Por ejemplo, podríamos suponer que la solución de una ED tiene la forma: ya que esta es una solución muy común que se comporta físicamente de forma sinusoidal. ${\displaystyle y=Ae^{\alpha t}}$

En el caso de una EDO de primer orden que no sea homogénea, primero debemos encontrar una solución DE para la porción homogénea de la ED, también conocida como ecuación característica, y luego encontrar una solución para toda la ecuación no homogénea adivinando. . Finalmente, sumamos ambas soluciones para obtener la solución total de la EDO, es decir:

${\displaystyle {\text{total solution}}={\text{homogeneous solution}}+{\text{particular solution}}}$

Software para resolver ODE

• Maxima , un sistema de álgebra informática de código abierto .
• COPASI , un paquete de software gratuito ( Licencia Artística 2.0 ) para la integración y análisis de EDO.
• MATLAB , una aplicación informática técnica (MATrix LABoratory)
• GNU Octave , un lenguaje de alto nivel, destinado principalmente a cálculos numéricos.
• Scilab , una aplicación de código abierto para cálculo numérico.
• Maple , una aplicación propietaria para cálculos simbólicos.
• Mathematica , una aplicación propietaria destinada principalmente a cálculos simbólicos.
• SymPy , un paquete de Python que puede resolver EDO simbólicamente
• Julia (lenguaje de programación) , un lenguaje de alto nivel destinado principalmente a cálculos numéricos.
• SageMath , una aplicación de código abierto que utiliza una sintaxis similar a Python con una amplia gama de capacidades que abarcan varias ramas de las matemáticas.
• SciPy , un paquete de Python que incluye un módulo de integración ODE.
• Chebfun , un paquete de código abierto, escrito en MATLAB , para computación con funciones con una precisión de 15 dígitos.
• GNU R , un entorno computacional de código abierto destinado principalmente a estadísticas, que incluye paquetes para la resolución de ODE.

Ver también

• Problema de valor límite
• Ejemplos de ecuaciones diferenciales
• Transformada de Laplace aplicada a ecuaciones diferenciales
• Lista de temas de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales.
• Ecuación diferencial matricial
• Método de coeficientes indeterminados
• Relación de recurrencia

Notas

1. Dennis G. Zill (15 de marzo de 2012). Un primer curso en ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-285-40110-2. Archivado desde el original el 17 de enero de 2020 . Consultado el 11 de julio de 2019 .
2. "¿Cuál es el origen del término" ecuaciones diferenciales ordinarias "?". hsm.stackexchange.com . Intercambio de pila . Consultado el 28 de julio de 2016 .
3. Matemáticas para químicos, DM Hirst, Macmillan Press , 1976, (sin ISBN) SBN: 333-18172-7
4. Kreyszig (1972, pág.64)
5. Simmons (1972, págs.1, 2)
6. Halliday y Resnick (1977, pág.78)
7. Tipler (1991, págs. 78–83)
8. Harper (1976, pág.127)
9. Kreyszig (1972, pág.2)
10. Simmons (1972, pág.3)
11. Kreyszig (1972, pág.24)
12. Simmons (1972, pág.47)
13. Harper (1976, pág.128)
14. Kreyszig (1972, pág.12)
15. Ascher (1998, pág.12) harvtxt error: no target: CITEREFAscher1998 (help)
16. Achim Ilchmann; Timo Reis (2014). Encuestas en ecuaciones algebraicas diferenciales II . Saltador. págs. 104-105. ISBN 978-3-319-11050-9.
17. Ascher (1998, pág.5) harvtxt error: no target: CITEREFAscher1998 (help)
18. Kreyszig (1972, pág.78)
19. Kreyszig (1972, pág.4)
20. Vardia T. Haimo (1985). "Ecuaciones diferenciales de tiempo finito". 1985 24ª Conferencia del IEEE sobre Decisión y Control . págs. 1729-1733. doi :10.1109/CDC.1985.268832. S2CID  45426376.
21. Crelle , 1866, 1868
22. Lorenzo (1999, pág.9) harvtxt error: no target: CITEREFLawrence1999 (help)
23. Logan, J. (2013). Matemáticas aplicadas (Cuarta ed.).
24. Ascher (1998, pág.13) harvtxt error: no target: CITEREFAscher1998 (help)
25. Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (cuarta edición), WE Boyce, RC Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1 
26. Boscaín; Chitour 2011, pág. 21
27. Manual matemático de fórmulas y tablas (tercera edición), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
28. Análisis elemental adicional, R. Porter, G.Bell & Sons (Londres), 1978, ISBN 0-7135-1594-5 
29. Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3

Referencias

• Halliday, David ; Resnick, Robert (1977), Física (3.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-71716-9
• Harper, Charlie (1976), Introducción a la física matemática , Nueva Jersey: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
• Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8.
• Polyanin, AD y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (segunda edición), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 
• Simmons, George F. (1972), Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas , Nueva York: McGraw-Hill , LCCN  75173716
• Tipler, Paul A. (1991), Física para científicos e ingenieros: versión ampliada (3.ª ed.), Nueva York: Worth Publishers , ISBN 0-87901-432-6
• Boscaín, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Introducción a la automatización (PDF) (en francés)
• Dresner, Lawrence (1999), Aplicaciones de la teoría de Lie de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales , Bristol y Filadelfia: Institute of Physics Publishing , ISBN 978-0750305303
• Ascher, Uri; Petzold, Linda (1998), Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas diferenciales , SIAM, ISBN 978-1-61197-139-2

Bibliografía

• Coddington, conde A.; Levinson, normando (1955). Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: McGraw-Hill .
• Hartman, Philip (2002) [1964], Ecuaciones diferenciales ordinarias, Clásicos de las matemáticas aplicadas, vol. 38, Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas , doi :10.1137/1.9780898719222, ISBN 978-0-89871-510-1, señor  1929104
• W. Johnson, Tratado sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, John Wiley and Sons, 1913, en Colección de matemáticas históricas de la Universidad de Michigan
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Ecuaciones diferenciales ordinarias, Publicaciones de Dover, Nueva York, ISBN 978-0-486-60349-0, SEÑOR  0010757
• Witold Hurewicz , Conferencias sobre ecuaciones diferenciales ordinarias , Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-49510-8 
• Ibragimov, Nail H. (1993). Manual CRC de análisis de grupos de Lie de ecuaciones diferenciales, vol. 1-3 . Providencia: CRC-Prensa. ISBN 0-8493-4488-3..
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• AD Polyanin , VF Zaitsev y A. Moussiaux, Manual de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden , Taylor & Francis, Londres, 2002. ISBN 0-415-27267-X 
• D. Zwillinger, Manual de ecuaciones diferenciales (tercera edición) , Academic Press, Boston, 1997.

enlaces externos

• "Ecuación diferencial ordinaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas, que contiene una lista de ecuaciones diferenciales ordinarias con sus soluciones.
• Notas en línea/Ecuaciones diferenciales por Paul Dawkins, Universidad Lamar .
• Ecuaciones Diferenciales, SOS Matemáticas.
• Una introducción a la solución analítica de ecuaciones diferenciales del Instituto de Métodos Numéricos Holísticos de la Universidad del Sur de Florida.
• Apuntes de conferencias sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos de Gerald Teschl .
• Notas sobre Diffy Qs: Ecuaciones diferenciales para ingenieros Un libro de texto introductorio sobre ecuaciones diferenciales de Jiri Lebl de UIUC .
• Modelado con ODE usando Scilab Un tutorial sobre cómo modelar un sistema físico descrito por ODE usando el lenguaje de programación estándar Scilab por el equipo de Openeering.
• Resolver una ecuación diferencial ordinaria en Wolfram|Alpha