Ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov

Ecuaciones diferenciales parciales de funciones de correlación

En física matemática, las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov , o ecuaciones KZ , son ecuaciones diferenciales lineales satisfechas por las funciones de correlación (en la esfera de Riemann) de teorías de campos conformes bidimensionales asociadas con un álgebra de Lie afín en un nivel fijo. Forman un sistema de ecuaciones diferenciales parciales complejas con puntos singulares regulares satisfechos por las funciones de N puntos de campos primarios afines y pueden derivarse utilizando el formalismo de las álgebras de Lie o el de las álgebras de vértices .

La estructura de la parte de género cero de la teoría de campos conformes está codificada en las propiedades de monodromía de estas ecuaciones. En particular, el trenzado y la fusión de los campos primarios (o sus representaciones asociadas) se pueden deducir de las propiedades de las funciones de cuatro puntos, para las cuales las ecuaciones se reducen a una única ecuación diferencial ordinaria compleja de primer orden con valor matricial de tipo fuchsiano.

Originalmente, los físicos rusos Vadim Knizhnik y Alexander Zamolodchikov derivaron las ecuaciones para el modelo SU(2) Wess–Zumino–Witten utilizando las fórmulas clásicas de Gauss para los coeficientes de conexión de la ecuación diferencial hipergeométrica .

Definición

Sea el álgebra de Lie afín con nivel k y número dual de Coxeter h . Sea v un vector de una representación en modo cero de y el cuerpo primario asociado con él. Sea una base del álgebra de Lie subyacente , su representación en el cuerpo primario y η la forma de Killing . Luego, para las ecuaciones de Knizhnik–Zamolodchikov léase ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}_{k}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}_{k}}$ ${\displaystyle \Phi (v,z)}$ ${\displaystyle t^{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t_{i}^{a}}$ ${\displaystyle \Phi (v_{i},z)}$ ${\displaystyle i,j=1,2,\ldots ,N}$

${\displaystyle \left((k+h)\partial _{z_{i}}+\sum _{j\neq i}{\frac {\sum _{a,b}\eta _{ab}t_{i}^{a}\otimes t_{j}^{b}}{z_{i}-z_{j}}}\right)\left\langle \Phi (v_{N},z_{N})\dots \Phi (v_{1},z_{1})\right\rangle =0.}$

Derivación informal

Las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov resultan de la construcción de Sugawara del álgebra de Virasoro a partir del álgebra de Lie afín. Más específicamente, resultan de aplicar la identidad

${\displaystyle L_{-1}={\frac {1}{2(k+h)}}\sum _{k\in \mathbf {Z} }\sum _{a,b}\eta _{ab}J_{-k}^{a}J_{k-1}^{b}}$

al campo primario afín en una función de correlación de campos primarios afines. En este contexto, solo los términos no son nulos. La acción de puede entonces reescribirse utilizando identidades globales de Ward , ${\displaystyle \Phi (v_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle k=0,1}$ ${\displaystyle J_{-1}^{a}}$

${\displaystyle \left(\left(J_{-1}^{a}\right)_{i}+\sum _{j\neq i}{\frac {t_{j}^{a}}{z_{i}-z_{j}}}\right)\left\langle \Phi (v_{N},z_{N})\dots \Phi (v_{1},z_{1})\right\rangle =0,}$

y puede identificarse con el operador de traducción infinitesimal . ${\displaystyle L_{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$

Formulación matemática

Desde que Tsuchiya y Kanie (1988) la trataron, la ecuación de Knizhnik-Zamolodchikov se formuló matemáticamente en el lenguaje de las álgebras de vértices gracias a Borcherds (1986) y Frenkel, Lepowsky y Meurman (1988). Este enfoque se popularizó entre los físicos teóricos gracias a Goddard (1989) y entre los matemáticos gracias a Kac (1997).

La representación de vacío H ₀ de un álgebra de Kac–Moody afín en un nivel fijo se puede codificar en un álgebra de vértices . La derivación d actúa como el operador de energía L ₀ en H ₀ , que se puede escribir como una suma directa de los espacios propios enteros no negativos de L ₀ , siendo el espacio de energía cero generado por el vector de vacío Ω . El valor propio de un vector propio de L ₀ se denomina su energía. Para cada estado a en L hay un operador de vértice V ( a , z ) que crea a a partir del vector de vacío Ω, en el sentido de que

${\displaystyle V(a,0)\Omega =a.}$

Los operadores de vértice de energía 1 corresponden a los generadores del álgebra afín

${\displaystyle X(z)=\sum X(n)z^{-n-1}}$

donde X abarca los elementos del álgebra de Lie compleja simple de dimensión finita subyacente . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Hay un vector propio de energía 2 L ₋₂ Ω que da los generadores L _n del álgebra de Virasoro asociada al álgebra de Kac-Moody por la construcción de Segal-Sugawara

${\displaystyle T(z)=\sum L_{n}z^{-n-2}.}$

Si a tiene energía α , entonces el operador de vértice correspondiente tiene la forma

${\displaystyle V(a,z)=\sum V(a,n)z^{-n-\alpha }.}$

Los operadores de vértice satisfacen

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}V(a,z)&=\left[L_{-1},V(a,z)\right]=V\left(L_{-1}a,z\right)\\\left[L_{0},V(a,z)\right]&=\left(z^{-1}{\frac {d}{dz}}+\alpha \right)V(a,z)\end{aligned}}}$

así como las relaciones de localidad y asociatividad

${\displaystyle V(a,z)V(b,w)=V(b,w)V(a,z)=V(V(a,z-w)b,w).}$

Estas dos últimas relaciones se entienden como continuaciones analíticas: los productos internos con vectores de energía finitos de las tres expresiones definen los mismos polinomios en z ^±1 , w ^±1 y ( z − w ) ⁻¹ en los dominios | z | < | w |, | z | > | w | y | z – w | < | w |. Todas las relaciones estructurales del álgebra de Kac–Moody y Virasoro se pueden recuperar a partir de estas relaciones, incluida la construcción de Segal–Sugawara.

Toda otra representación integral H _i ​​en el mismo nivel se convierte en un módulo para el álgebra de vértices, en el sentido de que para cada a hay un operador de vértice V _i ( a , z ) en H _i tal que

${\displaystyle V_{i}(a,z)V_{i}(b,w)=V_{i}(b,w)V_{i}(a,z)=V_{i}(V(a,z-w)b,w).}$

Los operadores de vértice más generales en un nivel dado son los operadores entrelazados Φ( v , z ) entre representaciones H _i y H _j donde v se encuentra en H _k . Estos operadores también se pueden escribir como

${\displaystyle \Phi (v,z)=\sum \Phi (v,n)z^{-n-\delta }}$

pero δ ahora pueden ser números racionales . Nuevamente, estos operadores entrelazados se caracterizan por propiedades

${\displaystyle V_{j}(a,z)\Phi (v,w)=\Phi (v,w)V_{i}(a,w)=\Phi \left(V_{k}(a,z-w)v,w\right)}$

y relaciones con L ₀ y L ₋₁ similares a las anteriores.

Cuando v está en el subespacio de energía más bajo para L ₀ en H _k , una representación irreducible de , el operador Φ( v , w ) se denomina campo primario de carga k . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Dada una cadena de n campos primarios que comienzan y terminan en H ₀ , su correlación o función de n puntos se define por

${\displaystyle \left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\Phi (v_{2},z_{2})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =\left(\Phi \left(v_{1},z_{1}\right)\Phi \left(v_{2},z_{2}\right)\cdots \Phi \left(v_{n},z_{n}\right)\Omega ,\Omega \right).}$

En la literatura de física a menudo se suprimen las v _{i y el campo primario se escribe Φ i} ( z _i ), con el entendimiento de que está etiquetado por la representación irreducible correspondiente de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Derivación del álgebra de vértices

Si ( X _s ) es una base ortonormal de para la forma Killing, las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov se pueden deducir integrando la función de correlación ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \sum _{s}\left\langle X_{s}(w)X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (w-z)^{-1}}$

primero en la variable w alrededor de un pequeño círculo centrado en z ; por el teorema de Cauchy el resultado puede expresarse como suma de integrales alrededor de n círculos pequeños centrados en los z _j :

${\displaystyle {1 \over 2}(k+h)\left\langle T(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =-\sum _{j,s}\left\langle X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}.}$

Integrando ambos lados de la variable z alrededor de un pequeño círculo centrado en z _i se obtiene la i- ^ésima ecuación de Knizhnik-Zamolodchikov.

Derivación del álgebra de Lie

También es posible deducir las ecuaciones de Knizhnik-Zamodchikov sin el uso explícito de álgebras de vértices. El término Φ( v _i , z _i ) puede reemplazarse en la función de correlación por su conmutador con L _r donde r = 0, ±1. El resultado puede expresarse en términos de la derivada con respecto a z _i . Por otra parte, L _r también viene dada por la fórmula de Segal-Sugawara:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=(k+h)^{-1}\sum _{s}\left[{\frac {1}{2}}X_{s}(0)^{2}+\sum _{m>0}X_{s}(-m)X_{s}(m)\right]\\L_{\pm 1}&=(k+h)^{-1}\sum _{s}\sum _{m\geq 0}X_{s}(-m\pm 1)X_{s}(m)\end{aligned}}}$

Después de sustituir estas fórmulas por L _r , las expresiones resultantes se pueden simplificar utilizando las fórmulas del conmutador

${\displaystyle [X(m),\Phi (a,n)]=\Phi (Xa,m+n).}$

Derivación original

La demostración original de Knizhnik y Zamolodchikov (1984), reproducida en Tsuchiya y Kanie (1988), utiliza una combinación de ambos métodos anteriores. Nótese primero que para X en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \left\langle X(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =\sum _{j}\left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (Xv_{j},z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}.}$

Por eso

${\displaystyle \sum _{s}\langle X_{s}(z)\Phi (z_{1},v_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\rangle =\sum _{j}\sum _{s}\langle \cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \rangle (z-z_{j})^{-1}.}$

Por otro lado,

${\displaystyle \sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)=(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)+(k+g){\partial \over \partial z_{i}}\Phi (v_{i},z_{i})+O(z-z_{i})}$

de modo que

${\displaystyle (k+g){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Phi (v_{i},z_{i})=\lim _{z\to z_{i}}\left[\sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)-(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)\right].}$

El resultado se obtiene utilizando este límite en la igualdad anterior.

Representación monodromía de la ecuación KZ

En la teoría de campos conformes, según la definición anterior, la función de correlación de n puntos del campo primario satisface la ecuación KZ. En particular, para y enteros no negativos k, existen campos primarios correspondientes a la representación de espín j ( ). La función de correlación de los campos primarios para la representación toma valores en el producto tensorial y su ecuación KZ es ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \Phi _{j}(z_{j})}$ ${\displaystyle j=0,1/2,1,3/2,\ldots ,k/2}$ ${\displaystyle \Psi (z_{1},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \Phi _{j}(z_{j})}$ ${\displaystyle (\rho ,V_{i})}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}}$

${\displaystyle (k+2){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Psi =\sum _{i,j\neq i}{\frac {\Omega _{ij}}{z_{i}-z_{j}}}\Psi }$,

donde como la derivación informal anterior. ${\displaystyle \Omega _{ij}=\sum _{a}\rho _{i}(J^{a})\otimes \rho _{j}(J_{a})}$

Esta función de correlación de n puntos se puede continuar analíticamente como una función holomorfa multivaluada en el dominio con para . Debido a esta continuación analítica, la holonomía de la ecuación KZ se puede describir mediante el grupo trenzado introducido por Emil Artin . ^[1] En general, Un álgebra de Lie semisimple compleja y sus representaciones dan la representación lineal del grupo trenzado ${\displaystyle X_{n}\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{i}\neq z_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (\rho ,V_{i})}$

${\displaystyle \theta \colon B_{n}\rightarrow V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}}$

como la holonomía de la ecuación KZ. Por el contrario, una ecuación KZ da la representación lineal de los grupos trenzados como su holonomía.

La acción sobre la continuación analítica de la ecuación KZ se denomina representación monodromía de la ecuación KZ . En particular, si todos los tienen representación de espín _1/2 , entonces la representación lineal obtenida a partir de la ecuación KZ concuerda con la representación construida a partir de la teoría del álgebra de operadores por Vaughan Jones . Se sabe que la representación monodromía de la ecuación KZ con un álgebra de Lie semisimple general concuerda con la representación lineal del grupo trenzado dada por la matriz R del grupo cuántico correspondiente . ${\displaystyle V_{1}\otimes \dots \otimes V_{n}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

Relación KZ-BPZ

En el caso en que el álgebra de Lie subyacente sea , las ecuaciones KZ se asignan a ecuaciones BPZ mediante la separación de variables de Sklyanin para el modelo de Gaudin . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

Aplicaciones

• Teoría de la representación del álgebra de Lie afín y grupos cuánticos
• Grupos de trenzas
• Topología de complementos de hiperplanos
• Teoría de nudos y 3 pliegues

Véase también

• Ecuaciones cuánticas KZ

Referencias

1. Kohno 2002
2. Ribault, Sylvain (17 de junio de 2014). "Teoría de campos conforme en el plano". arXiv : 1406.4290 [hep-th].

• Baik, Jinho; Deift, Percy; Johansson, Kurt (junio de 1999), "Sobre la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de permutaciones aleatorias" (PDF) , J. Amer. Math. Soc. , 12 (4): 1119–78, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00307-0 , S2CID  11355968
• Knizhnik, VG ; Zamolodchikov, AB (1984), "Álgebra actual y modelo de Wess–Zumino en dos dimensiones", Nucl. Phys. B , 247 (1): 83–103, Bibcode :1984NuPhB.247...83K, doi :10.1016/0550-3213(84)90374-2
• Tsuchiya, A.; Kanie, Y. (1988), Operadores de vértice en la teoría de campos conforme en P(1) y representaciones monodromía del grupo trenzado , Adv. Stud. Pure Math., vol. 16, págs. 297–372(Fe de erratas en el volumen 19, págs. 675–682.)
• Borcherds, Richard (1986), "Álgebras de vértices, álgebras de Kac-Moody y el monstruo", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 83 (10): 3068–3071, Bibcode :1986PNAS...83.3068B, doi : 10.1073/pnas.83.10.3068 , PMC  323452 , PMID  16593694
• Frenkel, Igor ; Lepowsky, James ; Meurman, Arne (1988), Álgebras de operadores de vértices y el monstruo , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 134, Academic Press, ISBN 0-12-267065-5
• Goddard, Peter (1989), "Teoría de campos conformes meromórficos", en Kac, Victor G. (ed.), Álgebras de Lie y grupos de dimensión infinita , Advanced Series In Mathematical Physics, vol. 7, World Scientific, págs. 556–587, ISBN 978-981-4663-17-5
• Kac, Victor (1997), Álgebras de vértices para principiantes , University Lecture Series, vol. 10, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0643-2
• Etingof, Pavel I. ; Frenkel, Igor ; Kirillov, Alexander A. (1998), Lecciones sobre teoría de la representación y ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960
• Frenkel, Edward; Ben-Zvi, David (2001), Álgebras de vértices y curvas algebraicas , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 88, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2894-0
• Kohno, Toshitake (2002), Teoría de campos conformes y topología , Traducción de monografías matemáticas, vol. 210, American Mathematical Society, ISBN 978-0821821305