Representación de espín

Representaciones proyectivas particulares de los grupos ortogonales u ortogonales especiales

En matemáticas , las representaciones de espín son representaciones proyectivas particulares de los grupos ortogonales u ortogonales especiales en dimensión y signatura arbitrarias (es decir, incluyendo grupos ortogonales indefinidos ). Más precisamente, son dos representaciones equivalentes de los grupos de espín , que son recubrimientos dobles de los grupos ortogonales especiales. Se estudian habitualmente sobre los números reales o complejos , pero pueden definirse sobre otros cuerpos .

Los elementos de una representación de espín se denominan espinores y desempeñan un papel importante en la descripción física de los fermiones, como el electrón .

Las representaciones de espín pueden construirse de varias maneras, pero normalmente la construcción implica (quizás sólo implícitamente) la elección de un subespacio isótropo máximo en la representación vectorial del grupo. Sobre los números reales, esto suele requerir el uso de una complejización de la representación vectorial. Por esta razón, es conveniente definir primero las representaciones de espín sobre los números complejos y derivar representaciones reales introduciendo estructuras reales .

Las propiedades de las representaciones de espín dependen, de manera sutil, de la dimensión y la firma del grupo ortogonal. En particular, las representaciones de espín a menudo admiten formas bilineales invariantes , que pueden usarse para incrustar los grupos de espín en grupos de Lie clásicos . En dimensiones bajas, estas incrustaciones son sobreyectivas y determinan isomorfismos especiales entre los grupos de espín y los grupos de Lie más familiares; esto dilucida las propiedades de los espinores en estas dimensiones.

Configuración

Sea V un espacio vectorial real o complejo de dimensión finita con una forma cuadrática no degenerada Q . Las funciones lineales (reales o complejas) que preservan Q forman el grupo ortogonal O( V , Q ) . El componente identidad del grupo se denomina grupo ortogonal especial SO( V , Q ) . (Para V real con una forma cuadrática indefinida, esta terminología no es estándar: el grupo ortogonal especial se define habitualmente como un subgrupo con dos componentes en este caso.) Hasta el isomorfismo de grupo , SO( V , Q ) tiene una única doble cubierta conexa , el grupo de espín Spin( V , Q ) . Existe, pues, un homomorfismo de grupo h : Spin( V , Q ) → SO( V , Q ) cuyo núcleo tiene dos elementos denotados {1, −1} , donde 1 es el elemento identidad . Por lo tanto, los elementos del grupo g y −g de Spin( V , Q ) son equivalentes después del homomorfismo a SO( V , Q ) ; es decir, h ( g ) = h ( −g ) para cualquier g en Spin( V , Q ) .

Los grupos O( V , Q ), SO( V , Q ) y Spin( V , Q ) son todos grupos de Lie , y para ( V , Q ) fijo tienen la misma álgebra de Lie , por lo que ( V , Q ) . Si V es real, entonces V es un subespacio vectorial real de su complejización V _C = V ⊗ _R C , y la forma cuadrática Q se extiende naturalmente a una forma cuadrática Q _C en V _C . Esto incorpora a SO( V , Q ) como un subgrupo de SO( V _C , Q _C ) , y por lo tanto podemos realizar Spin( V , Q ) como un subgrupo de Spin( V _C , Q _C ) . Además, por lo que ( V _C , Q _C ) es la complejización de so ( V , Q ) .

En el caso complejo, las formas cuadráticas están determinadas unívocamente hasta el isomorfismo por la dimensión n de V . Concretamente, podemos suponer V = C ⁿ y

${\displaystyle Q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}.}$

Los grupos de Lie correspondientes se denotan O( n , C ), SO( n , C ), Spin( n , C ) y su álgebra de Lie como so ( n , C ) .

En el caso real, las formas cuadráticas se determinan hasta el isomorfismo por un par de enteros no negativos ( p , q ) donde n = p + q es la dimensión de V , y p − q es la signatura . Concretamente, podemos suponer V = R ⁿ y

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-(x_{p+1}^{2}+\cdots +x_{p+q}^{2}).}$

Los grupos de Lie y el álgebra de Lie correspondientes se denotan O( p , q ), SO( p , q ), Spin( p , q ) y por lo tanto ( p , q ) . Escribimos R ^{p , q} en lugar de R ⁿ para hacer explícita la firma.

Las representaciones de espín son, en cierto sentido, las representaciones más simples de Spin( n , C ) y Spin( p , q ) que no provienen de representaciones de SO( n , C ) y SO( p , q ) . Una representación de espín es, por tanto, un espacio vectorial real o complejo S junto con un homomorfismo de grupo ρ de Spin( n , C ) o Spin( p , q ) al grupo lineal general GL( S ) tal que el elemento −1 no está en el núcleo de ρ .

Si S es tal representación, entonces, de acuerdo con la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie, induce una representación del álgebra de Lie , es decir, un homomorfismo del álgebra de Lie desde so ( n , C ) o so ( p , q ) hasta el álgebra de Lie gl ( S ) de endomorfismos de S con el corchete del conmutador .

Las representaciones de espín se pueden analizar según la siguiente estrategia: si S es una representación de espín real de Spin( p , q ) , entonces su complejización es una representación de espín compleja de Spin( p , q ) ; como representación de so ( p , q ) , se extiende por tanto a una representación compleja de so ( n , C ) . Procediendo a la inversa, primero construimos representaciones de espín complejas de Spin( n , C ) y so ( n , C ) , luego las restringimos a representaciones de espín complejas de so ( p , q ) y Spin( p , q ) , y finalmente analizamos posibles reducciones a representaciones de espín reales.

Representaciones de espín complejas

Sea V = C ⁿ con la forma cuadrática estándar Q de modo que

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(V,Q)={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ).}$

La forma bilineal simétrica de V asociada a Q por polarización se denota ⟨.,.⟩ .

Subespacios isotrópicos y sistemas de raíces

Una construcción estándar de las representaciones de espín de so ( n , C ) comienza con una elección de un par ( W , W ^∗ ) de subespacios totalmente isótropos máximos (con respecto a Q ) de V con W ∩ W ^∗ = 0 . Hagamos tal elección. Si n = 2 m o n = 2 m + 1 , entonces W y W ^∗ ambos tienen dimensión m . Si n = 2 m , entonces V = W ⊕ W ^∗ , mientras que si n = 2 m + 1 , entonces V = W ⊕ U ⊕ W ^∗ , donde U es el complemento ortogonal unidimensional a W ⊕ W ^∗ . La forma bilineal ⟨.,.⟩ asociada a Q induce un emparejamiento entre W y W ^∗ , que debe ser no degenerado, porque W y W ^∗ son subespacios totalmente isótropos y Q es no degenerado. Por lo tanto, W y W ^∗ son espacios vectoriales duales .

Más concretamente, sea a ₁ , ... a _m una base para W . Entonces existe una única base α ₁ , ... α _m de W ^∗ tal que

${\displaystyle \langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Si A es una matriz m × m , entonces A induce un endomorfismo de W con respecto a esta base y la transpuesta A ^T induce una transformación de W ^∗ con

${\displaystyle \langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle }$

para todo w en W y w ^∗ en W ^∗ . Se deduce que el endomorfismo ρ _A de V , igual a A en W , − A ^T en W ^∗ y cero en U (si n es impar), es asimétrico,

${\displaystyle \langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle }$

para todo u , v en V , y por tanto (ver grupo clásico ) un elemento de entonces ( n , C ) ⊂ End( V ) .

El uso de las matrices diagonales en esta construcción define una subálgebra de Cartan h de so ( n , C ) : el rango de so ( n , C ) es m , y las matrices diagonales n × n determinan una subálgebra abeliana m -dimensional.

Sea ε ₁ , ... ε _m la base de h ^∗ tal que, para una matriz diagonal A , ε _k ( ρ _A ) es la k ésima entrada diagonal de A . Claramente, esta es una base para h ^∗ . Dado que la forma bilineal identifica so ( n , C ) con , explícitamente, ${\displaystyle \wedge ^{2}V}$

${\displaystyle x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y,\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),}$^[1]

Ahora es fácil construir el sistema raíz asociado a h . Los espacios raíz (espacios propios simultáneos para la acción de h ) están abarcados por los siguientes elementos:

${\displaystyle a_{i}\wedge a_{j},\;i\neq j,}$con raíz (valor propio simultáneo) ${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$

${\displaystyle a_{i}\wedge \alpha _{j}}$(que está en h si i = j ) con raíz ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\wedge \alpha _{j},\;i\neq j,}$con raíz ${\displaystyle -\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j},}$

y, si n es impar, y u es un elemento distinto de cero de U ,

${\displaystyle a_{i}\wedge u,}$con raíz ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\wedge u,}$con raíz ${\displaystyle -\varepsilon _{i}.}$

Así, con respecto a la base ε ₁ , ... ε _m , las raíces son los vectores en h ^∗ que son permutaciones de

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0,\dots ,0)}$

junto con las permutaciones de

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\dots ,0)}$

si n = 2 m + 1 es impar.

Un sistema de raíces positivas está dado por ε _i + ε _j ( i ≠ j ), ε _i − ε _j ( i < j ) y (para n impar) ε _i . Las raíces simples correspondientes son

${\displaystyle \varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots ,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{matrix}}\right.}$

Las raíces positivas son combinaciones lineales enteras no negativas de las raíces simples.

Representaciones de espín y sus pesos

Una construcción de las representaciones de espín de so ( n , C ) utiliza el álgebra exterior (s)

${\displaystyle S=\wedge ^{\bullet }W}$y/o ${\displaystyle S'=\wedge ^{\bullet }W^{*}.}$

Existe una acción de V sobre S tal que para cualquier elemento v = w + w ^∗ en W ⊕ W ^∗ y cualquier ψ en S la acción está dada por:

${\displaystyle v\cdot \psi =2^{\frac {1}{2}}(w\wedge \psi +\iota (w^{*})\psi ),}$

donde el segundo término es una contracción ( multiplicación interior ) definida utilizando la forma bilineal, que empareja W y W ^∗ . Esta acción respeta las relaciones de Clifford v ² = Q ( v ) 1 , y por lo tanto induce un homomorfismo del álgebra de Clifford Cl _n C de V a End( S ) . Se puede definir una acción similar en S ′ , de modo que tanto S como S ′ sean módulos de Clifford .

El álgebra de Lie so ( n , C ) es isomorfa al álgebra de Lie complejizada spin _n ^C en Cl _n C a través de la aplicación inducida por la cobertura Spin( n ) → SO( n ) ^[2]

${\displaystyle v\wedge w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].}$

De ello se deduce que tanto S como S ′ son representaciones de so ( n , C ) . En realidad son representaciones equivalentes , por lo que nos centraremos en S .

La descripción explícita muestra que los elementos α _i ∧ a _i de la subálgebra de Cartan h actúan sobre S por

${\displaystyle (\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ).}$

Una base para S está dada por elementos de la forma

${\displaystyle a_{i_{1}}\wedge a_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge a_{i_{k}}}$

para 0 ≤ k ≤ m e i ₁ < ... < i _k . Estos claramente abarcan espacios de peso para la acción de h : α _i ∧ a _i tiene valor propio −1/2 en el vector base dado si i = i _j para algún j , y tiene valor propio 1/2 en caso contrario.

De ello se deduce que los pesos de S son todas las combinaciones posibles de

${\displaystyle {\bigl (}\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

y cada espacio de peso es unidimensional. Los elementos de S se denominan espinores de Dirac .

Cuando n es par, S no es una representación irreducible : y son subespacios invariantes. Los pesos se dividen en aquellos con un número par de signos negativos y aquellos con un número impar de signos negativos. Tanto S ₊ como S− son representaciones irreducibles de dimensión 2 ^{m −1} cuyos elementos se denominan espinores de Weyl . También se conocen como representaciones _de espín quirales o representaciones de medio espín. Con respecto al sistema de raíces positivas anterior, los _pesos más altos de S ₊ y S− son ${\displaystyle S_{+}=\wedge ^{\mathrm {even} }W}$ ${\displaystyle S_{-}=\wedge ^{\mathrm {odd} }W}$

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$y ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

respectivamente. La acción de Clifford identifica Cl _n C con End( S ) y la subálgebra par se identifica con los endomorfismos que preservan S ₊ y S ₋ . El otro módulo de Clifford S ′ es isomorfo a S en este caso.

Cuando n es impar, S es una representación irreducible de so ( n , C ) de dimensión 2 ^m : la acción de Clifford de un vector unitario u ∈ U está dada por

${\displaystyle u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.}$

y por lo tanto los elementos de so ( n , C ) de la forma u ∧ w o u ∧ w ^∗ no conservan las partes pares e impares del álgebra exterior de W . El peso más alto de S es

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

La acción de Clifford no es fiel en S : Cl _n C puede identificarse con End( S ) ⊕ End( S ′), donde u actúa con el signo opuesto en S ′. Más precisamente, las dos representaciones están relacionadas por la involución de paridad α de Cl _n C (también conocida como el automorfismo principal), que es la identidad en la subálgebra par, y menos la identidad en la parte impar de Cl _n C . En otras palabras, hay un isomorfismo lineal de S a S ′, que identifica la acción de A en Cl _n C en S con la acción de α ( A ) en S ′.

Formas bilineales

Si λ es un peso de S , entonces − λ es un peso . De ello se deduce que S es isomorfo a la representación dual S ^∗ .

Cuando n = 2 m + 1 es impar, el isomorfismo B : S → S ^∗ es único hasta la escala por el lema de Schur , ya que S es irreducible, y define una forma bilineal invariante no degenerada β en S mediante

${\displaystyle \beta (\varphi ,\psi )=B(\varphi )(\psi ).}$

Aquí invariancia significa que

${\displaystyle \beta (\xi \cdot \varphi ,\psi )+\beta (\varphi ,\xi \cdot \psi )=0}$

para todo ξ en so ( n , C ) y φ , ψ en S — en otras palabras, la acción de ξ es sesgada con respecto a β . De hecho, es más cierto: S ^∗ es una representación del álgebra de Clifford opuesta y, por lo tanto, dado que Cl _n C solo tiene dos módulos simples no triviales S y S ′, relacionados por la involución de paridad α , existe un antiautomorfismo τ de Cl _n C tal que

${\displaystyle \quad \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\beta (\varphi ,\tau (A)\cdot \psi )\qquad (1)}$

para cualquier A en Cl _n C . De hecho, τ es reversión (el antiautomorfismo inducido por la identidad en V ) para m par, y conjugación (el antiautomorfismo inducido por menos la identidad en V ) para m impar. Estos dos antiautomorfismos están relacionados por la involución de paridad α , que es el automorfismo inducido por menos la identidad en V . Ambos satisfacen τ ( ξ ) = − ξ para ξ en entonces ( n , C ).

Cuando n = 2 m , la situación depende más sensiblemente de la paridad de m . Para m par, un peso λ tiene un número par de signos negativos si y solo si − λ los tiene; de ​​ello se deduce que hay isomorfismos separados B _± : S _± → S _± ^∗ de cada representación de medio espín con su dual, cada uno determinado de forma única hasta la escala. Estos pueden combinarse en un isomorfismo B : S → S ^∗ . Para m impar, λ es un peso de S ₊ si y solo si − λ es un peso de S ₋ ; por lo tanto, hay un isomorfismo de S ₊ a S ₋ ^∗ , de nuevo único hasta la escala, y su transpuesta proporciona un isomorfismo de S ₋ a S ₊ ^∗ . Estos pueden combinarse nuevamente en un isomorfismo B : S → S ^∗ .

Tanto para m par como para m impar, la libertad en la elección de B puede restringirse a una escala global insistiendo en que la forma bilineal β correspondiente a B satisface (1), donde τ es un antiautomorfismo fijo (ya sea reversión o conjugación).

Simetría y el cuadrado tensorial

Las propiedades de simetría de β : S ⊗ S → C se pueden determinar usando álgebras de Clifford o teoría de representación. De hecho, se puede decir mucho más: el cuadrado tensorial S ⊗ S debe descomponerse en una suma directa de k -formas en V para varios k , porque sus pesos son todos los elementos en h ^∗ cuyos componentes pertenecen a {−1,0,1}. Ahora, las funciones lineales equivariantes S ⊗ S → ∧ ^k V ^∗ corresponden biyectivamente a funciones invariantes ∧ ^k V ⊗ S ⊗ S → C y dichas funciones no nulas se pueden construir mediante la inclusión de ∧ ^k V en el álgebra de Clifford. Además, si β ( φ , ψ ) = ε β ( ψ , φ ) y τ tiene signo ε _k en ∧ ^k V entonces

${\displaystyle \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\varepsilon \varepsilon _{k}\beta (A\cdot \psi ,\varphi )}$

para A en ∧ ^k V .

Si n = 2 m + 1 es impar, entonces se deduce del lema de Schur que

${\displaystyle S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}}$

(ambos lados tienen dimensión 2 ^{2 m} y las representaciones de la derecha son inequivalentes). Debido a que las simetrías están gobernadas por una involución τ que es conjugación o reversión, la simetría del componente ∧ ^2j V ^∗ se alterna con j . La combinatoria elemental da

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)}$

y el signo determina qué representaciones ocurren en S ² S y cuáles ocurren en ∧ ² S . ^[3] En particular

${\displaystyle \beta (\phi ,\psi )=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (\psi ,\phi ),}$y

${\displaystyle \beta (v\cdot \phi ,\psi )=(-1)^{m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi ,\phi )=(-1)^{m}\beta (\phi ,v\cdot \psi )}$

para v ∈ V (que es isomorfo a ∧ ^{2 m} V ), lo que confirma que τ es reversión para m par y conjugación para m impar.

Si n = 2 m es par, entonces el análisis es más complejo, pero el resultado es una descomposición más refinada: S ² S _± , ∧ ² S _± y S ₊ ⊗ S ₋ pueden descomponerse cada uno como una suma directa de k -formas (donde para k = m hay una descomposición adicional en m -formas autoduales y antiautoduales).

El resultado principal es una realización de so ( n , C ) como un subálgebra de un álgebra de Lie clásica en S , dependiendo de n módulo 8, de acuerdo con la siguiente tabla:

Para n ≤ 6, estas incrustaciones son isomorfismos (sobre sl en lugar de gl para n = 6):

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )\qquad (=\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\qquad (={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(5,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(6,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {C} ).}$

Representaciones reales

Las representaciones de espín complejas de so ( n , C ) producen representaciones reales S de so ( p , q ) al restringir la acción a las subálgebras reales. Sin embargo, existen estructuras de "realidad" adicionales que son invariantes bajo la acción de las álgebras de Lie reales. Estas son de tres tipos.

1. Existe una función antilineal compleja invariante r : S → S con r ² = id _S . El conjunto de puntos fijos de r es entonces un subespacio vectorial real S _R de S con S _R ⊗ C = S . Esto se denomina estructura real .
2. Existe una función antilineal compleja invariante j : S → S con j ² = −id _S . De ello se deduce que la tripleta i , j y k := ij convierte a S en un espacio vectorial cuaterniónico S _H . Esto se denomina estructura cuaterniónica .
3. Existe una función antilineal compleja invariante b : S → S ^∗ que es invertible. Esto define una forma bilineal pseudohermítica en S y se denomina estructura hermítica .

El tipo de estructura invariante bajo so ( p , q ) depende únicamente de la signatura p − q módulo 8, y se da en la siguiente tabla.

Aquí R , C y H denotan estructuras reales, hermíticas y cuaterniónicas respectivamente, y R + R y H + H indican que las representaciones de medio espín admiten estructuras reales o cuaterniónicas respectivamente.

Descripción y tablas

Para completar la descripción de la representación real, debemos describir cómo interactúan estas estructuras con las formas bilineales invariantes. Como n = p + q ≅ p − q mod 2, hay dos casos: la dimensión y la signatura son pares, y la dimensión y la signatura son impares.

El caso impar es más simple, sólo hay una representación compleja de espín S , y no ocurren estructuras hermíticas. Aparte del caso trivial n = 1, S es siempre de dimensión par, digamos dim S = 2 N . Las formas reales de so (2 N , C ) son so ( K ​​, L ) con K + L = 2 N y entonces ^∗ ( N , H ), mientras que las formas reales de sp (2 N , C ) son sp (2 N , R ) y sp ( K , L ) con K + L = N . La presencia de una acción de Clifford de V sobre S fuerza K = L en ambos casos a menos que pq = 0, en cuyo caso KL =0, que se denota simplemente so (2 N ) o sp ( N ). Por lo tanto, las representaciones de espín impares se pueden resumir en la siguiente tabla.

(†) N es par para n > 3 y para n = 3 , esto es sp (1) .

El caso de dimensión par es similar. Para n > 2 , las representaciones complejas de semiespín son de dimensión par. Además, tenemos que lidiar con las estructuras hermíticas y las formas reales de sl (2 N , C ) , que son sl (2 N , R ) , su ( K , L ) con K + L = 2 N , y sl ( N , H ) . Las representaciones de espín par resultantes se resumen a continuación.

(*) Para pq = 0 , tenemos en cambio entonces (2 N ) + entonces (2 N )

(†) N es par para n > 4 y para pq = 0 (que incluye n = 4 con N = 1 ), tenemos en cambio sp ( N ) + sp ( N )

Los isomorfismos de baja dimensión en el caso complejo tienen las siguientes formas reales.

Los únicos isomorfismos especiales de álgebras de Lie reales que faltan en esta tabla son y ${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).}$

Notas

1. Lawson & Michelsohn 1989 Capítulo I.6, p.41. Si seguimos la convención de Fulton & Harris 1991 Capítulo 20, p.303, entonces aparece un factor 2 y las siguientes fórmulas deben modificarse en consecuencia
2. ya que si es la cubierta, entonces , entonces y como es un escalar, obtenemos ${\displaystyle \alpha :q\to (v\to q.v.q^{-1})}$ ${\displaystyle d\alpha :q\to (v\to q.v-v.q)}$ ${\displaystyle d\alpha (v.w)=2\varphi _{v\wedge w}}$ ${\displaystyle v.w+w.v}$ ${\displaystyle d\alpha (1/4[v,w])=\varphi _{v\wedge w}}$
3. Este signo también se puede determinar a partir de la observación de que si φ es un vector de peso máximo para S, entonces φ ⊗ φ es un vector de peso máximo para ∧ ^m V ≅ ∧ ^{m +1} V , por lo que este sumando debe aparecer en S ² S .

Referencias

• Brauer, Richard ; Weyl, Hermann (1935), "Espinores en n dimensiones", American Journal of Mathematics , 57 (2), American Journal of Mathematics, Vol. 57, No. 2: 425–449, doi :10.2307/2371218, JSTOR  2371218.
• Cartan, Élie (1966), La teoría de los espinores , París, Hermann (reimpreso en 1981, Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9.
• Chevalley, Claude (1954), La teoría algebraica de los espinores y las álgebras de Clifford , Columbia University Press (reimpreso en 1996, Springer), ISBN 978-3-540-57063-9.
• Deligne, Pierre (1999), "Notas sobre espinores", en P. Deligne; P. Etingof; DS Freed; LC Jeffrey; D. Kazhdan; JW Morgan; DR Morrison; E. Witten (eds.), Campos cuánticos y cuerdas: un curso para matemáticos , Providence: American Mathematical Society, págs. 99-135Consulte también el sitio web del programa para obtener una versión preliminar.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Teoría de la representación. Un primer curso , Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas de matemáticas, vol. 129, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97495-4, Sr.  1153249.
• Harvey, F. Reese (1990), Espinores y calibraciones , Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4.
• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Geometría de espín , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.
• Weyl, Hermann (1946), Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones (2.ª ed.), Princeton University Press (reimpreso en 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.