En matemáticas , un módulo de Clifford es una representación de un álgebra de Clifford . En general, un álgebra de Clifford C es un álgebra simple central sobre alguna extensión de cuerpo L del cuerpo K sobre el cual está definida la forma cuadrática Q que define a C.
La teoría abstracta de los módulos de Clifford fue fundada por un artículo de MF Atiyah , R. Bott y Arnold S. Shapiro . Un resultado fundamental sobre los módulos de Clifford es que la clase de equivalencia de Morita de un álgebra de Clifford (la clase de equivalencia de la categoría de módulos de Clifford sobre ella) depende únicamente de la signatura p − q (mod 8) . Esta es una forma algebraica de la periodicidad de Bott .
Necesitaremos estudiar matrices anticonmutativas ( AB = −BA ) porque en las álgebras de Clifford los vectores ortogonales son anticonmutativos.
Para el álgebra de Clifford real , necesitamos p + q matrices mutuamente anticonmutables, de las cuales p tiene +1 como cuadrado y q tiene −1 como cuadrado.
Una base de matrices gamma de este tipo no es única. Siempre se puede obtener otro conjunto de matrices gamma que satisfaga la misma álgebra de Clifford mediante una transformación de semejanza.
donde S es una matriz no singular. Los conjuntos γ a ′ y γ a pertenecen a la misma clase de equivalencia.
Desarrollado por Ettore Majorana , este módulo de Clifford permite la construcción de una ecuación tipo Dirac sin números complejos, y sus elementos se denominan espinores de Majorana .
Los cuatro vectores base son las tres matrices de Pauli y una cuarta matriz antihermítica. La signatura es (+++−). Para las signaturas (+−−−) y (−−−+) que se utilizan a menudo en física, se necesitan matrices complejas de 4×4 o matrices reales de 8×8.
