El duocilindro , también llamado doble cilindro o bidisco , es un objeto geométrico incrustado en un espacio euclidiano de 4 dimensiones , definido como el producto cartesiano de dos discos de radios respectivos r 1 y r 2 :
Es similar a un cilindro en 3 espacios, que es el producto cartesiano de un disco con un segmento de recta . Pero a diferencia del cilindro, ambas hipersuperficies (de un duocilindro regular ) son congruentes .
Su dual es un duohusillo, construido a partir de dos círculos, uno en el plano xy y el otro en el plano zw .
El duocilindro está limitado por dos variedades de 3 mutuamente perpendiculares con superficies en forma de toro , descritas respectivamente por las fórmulas:
y
El duocilindro se llama así porque estas dos variedades tridimensionales delimitantes pueden considerarse como cilindros tridimensionales "doblados" en un espacio de cuatro dimensiones , de modo que forman bucles cerrados en los planos xy y zw . El duocilindro tiene simetría rotacional en ambos planos.
Un duocilindro regular consta de dos celdas congruentes, una cara toroidal cuadrada y plana (la cresta), cero aristas y cero vértices.
La cresta del duocilindro es la variedad 2 que es el límite entre las dos células toroidales delimitantes (sólidas). Tiene la forma de un toroide de Clifford , que es el producto cartesiano de dos círculos. Intuitivamente, se puede construir de la siguiente manera: enrolle un rectángulo bidimensional hasta formar un cilindro, de modo que sus bordes superior e inferior se unan. Luego haga rodar el cilindro en el plano perpendicular al hiperplano tridimensional en el que se encuentra el cilindro, de modo que sus dos extremos circulares se encuentren.
La forma resultante es topológicamente equivalente a un toro 2 euclidiano (una forma de donut). Sin embargo, a diferencia de este último, todas las partes de su superficie están idénticamente deformadas. En el donut (superficie 2D, incrustado en 3D), la superficie alrededor del 'agujero del donut' se deforma con una curvatura negativa (como una silla de montar), mientras que la superficie exterior se deforma con una curvatura positiva (como una esfera).
La cresta del duocilindro puede considerarse como la forma global real de las pantallas de videojuegos como Asteroids , donde salir del borde de un lado de la pantalla conduce al otro lado. No se puede incrustar sin distorsión en un espacio tridimensional, porque requiere dos grados de libertad ("direcciones") además de su superficie bidimensional inherente para que ambos pares de bordes se unan.
El duocilindro se puede construir a partir de las 3 esferas "cortando" el bulto de las 3 esferas a cada lado de la cresta. La analogía de esto en las 2 esferas es dibujar círculos de latitud menores a ±45 grados y cortar el bulto entre ellos, dejando una pared cilíndrica, y cortar las partes superiores, dejando partes superiores planas. Esta operación es equivalente a eliminar vértices/pirámides seleccionados de politopos , pero como las 3 esferas son suaves/regulares, debes generalizar la operación.
El ángulo diédrico entre las dos hipersuperficies tridimensionales a cada lado de la cresta es de 90 grados.
Las proyecciones paralelas del duocilindro en el espacio tridimensional y sus secciones transversales en el espacio tridimensional forman cilindros. Las proyecciones en perspectiva del duocilindro forman formas toroidales con el "agujero de rosquilla" rellenado.
El duocilindro es la forma limitante de los duoprismas cuando el número de lados de los prismas poligonales constituyentes se acerca al infinito. Por tanto, los duoprismas sirven como buenas aproximaciones politópicas del duocilindro.
En el espacio tridimensional, un cilindro puede considerarse intermedio entre un cubo y una esfera . En el 4-espacio hay tres productos cartesianos que en el mismo sentido son intermedios entre el teseracto (1- bola × 1-bola × 1-bola × 1-bola) y la hiperesfera (4- bola ). Ellos son:
El duocilindro es el único de los tres anteriores que es regular. Estas construcciones corresponden a las cinco particiones de 4, el número de dimensiones.
( Copia de Wayback Machine )
