En geometría , cada poliedro está asociado a una segunda estructura dual , donde los vértices de uno corresponden a las caras del otro, y las aristas entre pares de vértices de uno corresponden a las aristas entre pares de caras del otro. [1] Tales figuras duales siguen siendo poliedros combinatorios o abstractos , pero no todos pueden construirse también como poliedros geométricos. [2] Comenzando con cualquier poliedro dado, el dual de su dual es el poliedro original.
La dualidad preserva las simetrías de un poliedro. Por lo tanto, para muchas clases de poliedros definidos por sus simetrías, los duales pertenecen a una clase de simetría correspondiente. Por ejemplo, los poliedros regulares – los sólidos platónicos (convexos) y los poliedros de Kepler-Poinsot (estrella) – forman pares duales, donde el tetraedro regular es autodual. El dual de un poliedro isogonal (uno en el que dos vértices cualesquiera son equivalentes bajo las simetrías del poliedro) es un poliedro isoédrico (uno en el que dos caras cualesquiera son equivalentes [...]), y viceversa. El dual de un poliedro isotoxal (uno en el que dos aristas cualesquiera son equivalentes [...]) también es isotoxal.
La dualidad está estrechamente relacionada con la reciprocidad polar , una transformación geométrica que, cuando se aplica a un poliedro convexo, convierte el poliedro dual en otro poliedro convexo.
Existen muchos tipos de dualidad. Los más relevantes para los poliedros elementales son la reciprocidad polar y la dualidad topológica o abstracta.
En el espacio euclidiano , el dual de un poliedro se define a menudo en términos de reciprocidad polar alrededor de una esfera. Aquí, cada vértice (polo) está asociado con un plano de cara (plano polar o simplemente polar) de modo que el rayo desde el centro hasta el vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias desde el centro hasta cada uno es igual al cuadrado del radio. [3]
Cuando la esfera tiene radio y está centrada en el origen (de modo que está definida por la ecuación ), entonces el dual polar de un poliedro convexo se define como
donde denota el producto escalar estándar de y .
Generalmente, cuando no se especifica ninguna esfera en la construcción del dual, se utiliza la esfera unitaria, es decir, la que se encuentra en las definiciones anteriores. [4]
Para cada plano de cara de descrito por la ecuación lineal, el vértice correspondiente del poliedro dual tendrá coordenadas . De manera similar, cada vértice de corresponde a un plano de cara de , y cada línea de arista de corresponde a una línea de arista de . La correspondencia entre los vértices, aristas y caras de y invierte la inclusión. Por ejemplo, si una arista de contiene un vértice, la arista correspondiente de estará contenida en la cara correspondiente.
Para un poliedro con un centro de simetría , es común utilizar una esfera centrada en este punto, como en la construcción de Dorman Luke (mencionada más adelante). En su defecto, para un poliedro con una esfera circunscrita, esfera inscrita o esfera media (una con todas las aristas como tangentes), se puede utilizar esto. Sin embargo, es posible reciprocar un poliedro alrededor de cualquier esfera, y la forma resultante del dual dependerá del tamaño y la posición de la esfera; como la esfera varía, también lo hace la forma del dual. La elección del centro para la esfera es suficiente para definir el dual hasta la semejanza.
Si un poliedro en el espacio euclidiano tiene un plano de cara, una línea de arista o un vértice que se encuentra en el centro de la esfera, el elemento correspondiente de su dual tenderá al infinito. Como el espacio euclidiano nunca alcanza el infinito, el equivalente proyectivo, llamado espacio euclidiano extendido, se puede formar añadiendo el "plano en el infinito" requerido. Algunos teóricos prefieren atenerse al espacio euclidiano y decir que no hay dual. Mientras tanto, Wenninger (1983) encontró una forma de representar estos duales infinitos, de una manera adecuada para hacer modelos (de alguna porción finita).
El concepto de dualidad aquí está estrechamente relacionado con la dualidad en geometría proyectiva , donde las líneas y los bordes se intercambian. La polaridad proyectiva funciona bastante bien para poliedros convexos. Pero para figuras no convexas como los poliedros estrella, cuando buscamos definir rigurosamente esta forma de dualidad poliédrica en términos de polaridad proyectiva, aparecen varios problemas. [5] Debido a los problemas de definición de la dualidad geométrica de los poliedros no convexos, Grünbaum (2007) argumenta que cualquier definición adecuada de un poliedro no convexo debe incluir una noción de poliedro dual.
Todo poliedro convexo puede distorsionarse hasta obtener una forma canónica , en la que existe una esfera media (o interesfera) unitaria tangente a cada arista, y tal que la posición media de los puntos de tangencia es el centro de la esfera. Esta forma es única salvo congruencias.
Si hacemos que dicho poliedro canónico se mueva en sentido inverso alrededor de su esfera media, el poliedro dual compartirá los mismos puntos de tangencia de arista y, por lo tanto, también será canónico. Es el dual canónico y los dos juntos forman un compuesto dual canónico. [6]
Para un poliedro uniforme , cada cara del poliedro dual puede derivarse de la figura del vértice correspondiente del poliedro original utilizando la construcción de Dorman-Luke . [7]
Incluso cuando un par de poliedros no puede obtenerse por reciprocidad entre sí, pueden ser llamados duales entre sí siempre que los vértices de uno correspondan a las caras del otro, y las aristas de uno correspondan a las aristas del otro, de una manera que preserve la incidencia. Tales pares de poliedros siguen siendo topológica o abstractamente duales.
Los vértices y las aristas de un poliedro convexo forman un grafo (el 1-esqueleto del poliedro), incrustado en la superficie del poliedro (una esfera topológica). Este grafo se puede proyectar para formar un diagrama de Schlegel sobre una superficie plana. El grafo formado por los vértices y las aristas del poliedro dual es el grafo dual del grafo original.
De manera más general, para cualquier poliedro cuyas caras forman una superficie cerrada, los vértices y los bordes del poliedro forman un gráfico incrustado en esta superficie, y los vértices y los bordes del poliedro dual (abstracto) forman el gráfico dual del gráfico original.
Un poliedro abstracto es un tipo de conjunto parcialmente ordenado (conjunto parcial) de elementos, de modo que las incidencias, o conexiones, entre elementos del conjunto corresponden a incidencias entre elementos (caras, aristas, vértices) de un poliedro. Cada uno de estos conjuntos parciales tiene un conjunto parcial dual, formado al invertir todas las relaciones de orden. Si el conjunto parcial se visualiza como un diagrama de Hasse , el conjunto parcial dual se puede visualizar simplemente girando el diagrama de Hasse al revés.
De esta manera, todo poliedro geométrico corresponde a un poliedro abstracto y tiene un poliedro dual abstracto. Sin embargo, para algunos tipos de poliedros geométricos no convexos, los poliedros duales pueden no ser realizables geométricamente.
Topológicamente, se dice que un poliedro es autodual si su dual tiene exactamente la misma conectividad entre vértices, aristas y caras. De manera abstracta, tienen el mismo diagrama de Hasse . Geométricamente, no solo es topológicamente autodual, sino que su recíproco polar respecto a un punto determinado, típicamente su centroide, es una figura similar. Por ejemplo, el dual de un tetraedro regular es otro tetraedro regular, reflejado a través del origen .
Todo polígono es topológicamente autodual, puesto que tiene el mismo número de vértices que de aristas, y estos se intercambian por dualidad. Pero no es necesariamente autodual (salvo en caso de movimiento rígido, por ejemplo). Todo polígono tiene una forma regular que es geométricamente autodual respecto de su interesfera: todos los ángulos son congruentes, al igual que todas las aristas, por lo que bajo la dualidad estas congruencias se intercambian. De manera similar, todo poliedro convexo topológicamente autodual puede realizarse mediante un poliedro geométricamente autodual equivalente, su poliedro canónico , recíproco respecto del centro de la esfera media .
Hay una cantidad infinita de poliedros geométricamente autoduales. La familia infinita más simple es la de las pirámides . [8] Otra familia infinita, las pirámides alargadas , consiste en poliedros que pueden describirse aproximadamente como una pirámide colocada sobre un prisma (con el mismo número de lados). Si se añade un tronco (pirámide con la parte superior cortada) debajo del prisma, se genera otra familia infinita, y así sucesivamente. Hay muchos otros poliedros autoduales convexos. Por ejemplo, hay 6 diferentes con 7 vértices y 16 con 8 vértices. [9]
Brückner identificó un icosaedro no convexo autodual con caras hexagonales en 1900. [10] [11] [12] Se han encontrado otros poliedros autoduales no convexos, bajo ciertas definiciones de poliedros no convexos y sus duales.
La dualidad se puede generalizar al espacio n -dimensional y a los politopos duales ; en dos dimensiones éstos se denominan polígonos duales .
Los vértices de un politopo corresponden a los elementos ( n − 1)-dimensionales, o facetas, del otro, y los j puntos que definen un elemento ( j − 1)-dimensional corresponderán a j hiperplanos que se intersecan para dar un elemento ( n − j )-dimensional. El dual de una teselación o panal de abejas n -dimensional se puede definir de manera similar.
En general, las facetas del dual de un politopo serán los duales topológicos de las figuras de vértice del politopo. Para los recíprocos polares de los politopos regulares y uniformes , las facetas duales serán los recíprocos polares de la figura de vértice del original. Por ejemplo, en cuatro dimensiones, la figura de vértice de la celda de 600 es el icosaedro ; el dual de la celda de 600 es la celda de 120 , cuyas facetas son dodecaedros , que son los duales del icosaedro.
La clase primaria de politopos autoduales son los politopos regulares con símbolos palindrómicos de Schläfli . Todos los polígonos regulares, {a} son autoduales, poliedros de la forma {a,a}, 4-politopos de la forma {a,b,a}, 5-politopos de la forma {a,b,b,a}, etc.
Los politopos regulares autoduales son:
Los panales euclidianos regulares autoduales (infinitos) son:
Los panales hiperbólicos regulares autoduales (infinitos) son:
