grupo divisible

Grupo abeliano en el que cada elemento puede, en algún sentido, dividirse por números enteros positivos.

En matemáticas , específicamente en el campo de la teoría de grupos , un grupo divisible es un grupo abeliano en el que cada elemento puede, en algún sentido, dividirse entre números enteros positivos, o más exactamente, cada elemento es un n- ésimo múltiplo de cada número entero positivo n. . Los grupos divisibles son importantes para comprender la estructura de los grupos abelianos, especialmente porque son grupos abelianos inyectivos .

Definición

Un grupo abeliano es divisible si, para cada entero positivo y cada , existe tal que . ^[1] Una condición equivalente es: para cualquier número entero positivo , , ya que la existencia de para cada y implica que , y la otra dirección es verdadera para cada grupo. Una tercera condición equivalente es que un grupo abeliano es divisible si y sólo si es un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos ; por esta razón, a un grupo divisible a veces se le llama grupo inyectivo . ${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle y\in G}$ ${\displaystyle ny=g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nG=G}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle nG\supseteq G}$ ${\displaystyle nG\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Un grupo abeliano es divisible para un número primo si para cada uno existe tal que . De manera equivalente, un grupo abeliano es divisible si y sólo si . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle y\in G}$ ${\displaystyle py=g}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle pG=G}$

Ejemplos

• Los números racionales forman un grupo divisible mediante la suma. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• De manera más general, el grupo aditivo subyacente de cualquier espacio vectorial es divisible. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Todo cociente de un grupo divisible es divisible. Por tanto, es divisible. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$
• El p - componente primario de , que es isomorfo al grupo p - cuasicíclico , es divisible. ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}$
• El grupo multiplicativo de los números complejos es divisible. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$
• Todo grupo abeliano existencialmente cerrado (en el sentido teórico del modelo ) es divisible.

Propiedades

• Si un grupo divisible es un subgrupo de un grupo abeliano, entonces es una suma directa de ese grupo abeliano. ^[2]
• Todo grupo abeliano puede estar incluido en un grupo divisible. ^[3]
• Los grupos divisibles no triviales no se generan de forma finita .
• Además, cada grupo abeliano puede integrarse en un grupo divisible como un subgrupo esencial de una manera única. ^[4]
• Un grupo abeliano es divisible si y sólo si es p -divisible para todo primo p .
• Sea un anillo . Si es un grupo divisible, entonces es inyectivo en la categoría de -módulos . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)}$ ${\displaystyle A}$

Teorema de estructura de grupos divisibles.

Sea G un grupo divisible. Entonces el subgrupo de torsión Tor( G ) de G es divisible. Dado que un grupo divisible es un módulo inyectivo , Tor( G ) es una suma directa de G . Entonces

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

Como cociente de un grupo divisible, G /Tor( G ) es divisible. Además, no sufre torsión . Por tanto, es un espacio vectorial sobre Q y por tanto existe un conjunto I tal que

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

La estructura del subgrupo de torsión es más difícil de determinar, pero se puede demostrar ^{[6] [7]} que para todos los números primos p existe tal que ${\displaystyle I_{p}}$

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

donde está el p -componente primario de Tor( G ). ${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}}$

Por tanto, si P es el conjunto de los números primos,

${\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

Las cardinalidades de los conjuntos I e I _p para p  ∈  P están determinadas únicamente por el grupo G .

envolvente inyectiva

Como se indicó anteriormente, cualquier grupo abeliano A puede estar incluido de manera única en un grupo divisible D como un subgrupo esencial . Este grupo divisible D es la envoltura inyectiva de A , y este concepto es la envoltura inyectiva en la categoría de grupos abelianos.

Grupos abelianos reducidos

Se dice que un grupo abeliano es reducido si su único subgrupo divisible es {0}. Todo grupo abeliano es la suma directa de un subgrupo divisible y un subgrupo reducido. De hecho, existe un único subgrupo divisible más grande de cualquier grupo, y este subgrupo divisible es una suma directa. ^[8] Esta es una característica especial de los anillos hereditarios como los números enteros Z : la suma directa de los módulos inyectivos es inyectiva porque el anillo es noetheriano , y los cocientes de los inyectivos son inyectivos porque el anillo es hereditario, por lo que cualquier submódulo generado por módulos inyectivos es inyectivo. Lo contrario es el resultado de (Matlis 1958): si cada módulo tiene un submódulo inyectivo máximo único, entonces el anillo es hereditario.

El teorema de Ulm proporciona una clasificación completa de los grupos abelianos periódicos reducidos contables .

Generalización

Varias definiciones distintas generalizan grupos divisibles a módulos divisibles. Las siguientes definiciones se han utilizado en la literatura para definir un módulo divisible M sobre un anillo R :

1. rM  =  M para todos los r distintos de cero en R . ^[9] (A veces se requiere que r no sea un divisor de cero, y algunos autores ^[10] requieren que R sea un dominio ).
2. Para cada ideal principal izquierdo Ra , cualquier homomorfismo de Ra en M se extiende a un homomorfismo de R en M. ^{[11] [12]} (Este tipo de módulo divisible también se denomina módulo principalmente inyectivo ).
3. Para cada L ideal izquierdo finitamente generado de R , cualquier homomorfismo de L a M se extiende a un homomorfismo de R a M. ^{[ cita necesaria ]}

Las dos últimas condiciones son "versiones restringidas" del criterio de Baer para módulos inyectivos . Dado que los módulos inyectivos izquierdos extienden los homomorfismos de todos los ideales izquierdos a R , los módulos inyectivos son claramente divisibles en los sentidos 2 y 3.

Si R es además un dominio, entonces las tres definiciones coinciden. Si R es un dominio ideal principal izquierdo, entonces los módulos divisibles coinciden con los módulos inyectivos. ^[13] Así, en el caso del anillo de números enteros Z , que es un dominio ideal principal, un módulo Z (que es exactamente un grupo abeliano) es divisible si y sólo si es inyectivo.

Si R es un dominio conmutativo , entonces los módulos R inyectivos coinciden con los módulos R divisibles si y sólo si R es un dominio de Dedekind . ^[13]

Ver también

• Objeto inyectivo
• módulo inyectivo

Notas

1. Griffith, página 6
2. Salón, p.197
3. Griffith, página 17
4. Griffith, página 19
5. Lang, pág. 106
6. Kaplansky 1965.
7. Fuchs 1970.
8. Griffith, página 7
9. Feigelstock 2006.
10. Cartan y Eilenberg 1999.
11. Lam 1999.
12. Nicholson y Yousif 2003.
13. Lam 1999, págs.70—73.

Referencias

• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999), Álgebra homológica , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. xvi+390, ISBN 0-691-04991-2, señor  1731415Con apéndice de David A. Buchsbaum; Reimpresión del original de 1956.
• Feigelstock, Shalom (2006), "Divisible es inyectivo", Soochow J. Math. , 32 (2): 241–243, ISSN  0250-3255, SEÑOR  2238765
• Griffith, Phillip A. (1970). Teoría de grupos abelianos infinitos . Conferencias de Matemáticas de Chicago. Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-30870-7.
• Hall, Marshall, hijo (1959). La teoría de los grupos . Nueva York: Macmillan.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace ) Capítulo 13.3.
• Kaplansky, Irving (1965). Infinitos Grupos Abelianos . Prensa de la Universidad de Michigan.
• Fuchs, László (1970). Grupos Abelianos Infinitos Vol 1 . Prensa académica.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas N° 189, vol. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, señor  1653294
• Serge Lang (1984). Álgebra, segunda edición . Menlo Park, California: Addison-Wesley.
• Matlis, Eben (1958). "Módulos inyectivos sobre anillos noetherianos". Revista Pacífico de Matemáticas . 8 (3): 511–528. doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN  0030-8730. SEÑOR  0099360.
• Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Anillos Quasi-Frobenius , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Cambridge: Cambridge University Press, págs. xviii+307, doi :10.1017/CBO9780511546525, ISBN 0-521-81593-2, señor  2003785