Unimodalidad

Property of having a unique mode or maximum value

En matemáticas , unimodalidad significa poseer un modo único . En términos más generales, unimodalidad significa que solo existe un único valor máximo, definido de alguna manera, de algún objeto matemático . ^[1]

Distribución de probabilidad unimodal

Figura 1. Función de densidad de probabilidad de distribuciones normales, un ejemplo de distribución unimodal.

Figura 2. Una distribución bimodal simple.

Figura 3. Distribución bimodal. Nótese que sólo el pico más grande correspondería a una moda en el sentido estricto de la definición de moda.

En estadística , una distribución de probabilidad unimodal o distribución unimodal es una distribución de probabilidad que tiene un único pico. El término "moda" en este contexto se refiere a cualquier pico de la distribución, no solo a la definición estricta de moda que es habitual en estadística.

Si hay una única moda, la función de distribución se denomina "unimodal". Si tiene más modas es "bimodal" (2), "trimodal" (3), etc., o en general, "multimodal". ^[2] La figura 1 ilustra las distribuciones normales , que son unimodales. Otros ejemplos de distribuciones unimodales incluyen la distribución de Cauchy , la distribución t de Student , la distribución de chi-cuadrado y la distribución exponencial . Entre las distribuciones discretas, la distribución binomial y la distribución de Poisson pueden considerarse unimodales, aunque para algunos parámetros pueden tener dos valores adyacentes con la misma probabilidad.

La Figura 2 y la Figura 3 ilustran distribuciones bimodales.

Otras definiciones

También existen otras definiciones de unimodalidad en funciones de distribución.

En distribuciones continuas, la unimodalidad se puede definir a través del comportamiento de la función de distribución acumulativa (cdf). ^[3] Si la cdf es convexa para x  <  m y cóncava para x  >  m , entonces la distribución es unimodal, siendo m la moda. Nótese que bajo esta definición la distribución uniforme es unimodal, ^[4] así como cualquier otra distribución en la que la distribución máxima se logra para un rango de valores, por ejemplo la distribución trapezoidal. Usualmente esta definición permite una discontinuidad en la moda; usualmente en una distribución continua la probabilidad de cualquier valor individual es cero, mientras que esta definición permite una probabilidad distinta de cero, o un "átomo de probabilidad", en la moda.

Los criterios de unimodalidad también se pueden definir a través de la función característica de la distribución ^[3] o a través de su transformada de Laplace-Stieltjes . ^[5]

Otra forma de definir una distribución discreta unimodal es por la ocurrencia de cambios de signo en la secuencia de diferencias de las probabilidades. ^[6] Una distribución discreta con una función de masa de probabilidad , , se llama unimodal si la secuencia tiene exactamente un cambio de signo (cuando los ceros no cuentan). ${\displaystyle \{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}}$ ${\displaystyle \dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots }$

Usos y resultados

Una de las razones de la importancia de la distribución unimodal es que permite obtener varios resultados importantes. A continuación se presentan varias desigualdades que solo son válidas para distribuciones unimodales. Por lo tanto, es importante evaluar si un conjunto de datos determinado proviene o no de una distribución unimodal. En el artículo sobre distribución multimodal se ofrecen varias pruebas de unimodalidad .

Desigualdades

Desigualdad de Gauss

Un primer resultado importante es la desigualdad de Gauss . ^[7] La ​​desigualdad de Gauss proporciona un límite superior a la probabilidad de que un valor se encuentre a una distancia mayor que cualquier distancia dada de su moda. Esta desigualdad depende de la unimodalidad.

Desigualdad de Vysochanskiï-Petunin

Una segunda desigualdad es la desigualdad de Vysochanskiï–Petunin , ^[8] un refinamiento de la desigualdad de Chebyshev . La desigualdad de Chebyshev garantiza que en cualquier distribución de probabilidad, "casi todos" los valores están "cerca" del valor medio. La desigualdad de Vysochanskiï–Petunin refina esto a valores aún más cercanos, siempre que la función de distribución sea continua y unimodal. Sellke y Sellke mostraron resultados adicionales. ^[9]

Moda, mediana y media

Gauss también demostró en 1823 que para una distribución unimodal ^[10]

${\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }$

y

${\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,}$

donde la mediana es ν , la media es μ y ω es la desviación cuadrática media de la moda.

Se puede demostrar para una distribución unimodal que la mediana ν y la media μ se encuentran dentro de (3/5) ^1/2 ≈ 0,7746 desviaciones estándar entre sí. ^[11] En símbolos,

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$

donde | . | es el valor absoluto .

En 2020, Bernard, Kazzi y Vanduffel generalizaron la desigualdad anterior al derivar la distancia máxima entre el promedio cuantil simétrico y la media, ^[12] ${\displaystyle {\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.}$

Cabe señalar que la distancia máxima se minimiza en (es decir, cuando el promedio cuantil simétrico es igual a ), lo que de hecho motiva la elección común de la mediana como estimador robusto para la media. Además, cuando , el límite es igual a , que es la distancia máxima entre la mediana y la media de una distribución unimodal. ${\displaystyle \alpha =0.5}$ ${\displaystyle q_{0.5}=\nu }$ ${\displaystyle \alpha =0.5}$ ${\displaystyle {\sqrt {3/5}}}$

Una relación similar existe entre la mediana y la moda θ : se encuentran dentro de 3 ^1/2 ≈ 1,732 desviaciones estándar una de otra:

${\displaystyle {\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

También se puede demostrar que la media y la moda se encuentran dentro de 3 ^1/2 entre sí:

${\displaystyle {\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

Asimetría y curtosis

Rohatgi y Szekely afirmaron que la asimetría y la curtosis de una distribución unimodal están relacionadas por la desigualdad: ^[13]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2}$

donde κ es la curtosis y γ es la asimetría. Klaassen, Mokveld y van Es demostraron que esto solo se aplica en ciertos contextos, como el conjunto de distribuciones unimodales donde la moda y la media coinciden. ^[14]

Derivaron una desigualdad más débil que se aplica a todas las distribuciones unimodales: ^[14]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488}$

Este límite es preciso, ya que se alcanza mediante la mezcla de pesos iguales de la distribución uniforme en [0,1] y la distribución discreta en {0}.

Función unimodal

Como el término "modal" se aplica a conjuntos de datos y distribuciones de probabilidad, y no en general a funciones , las definiciones anteriores no se aplican. La definición de "unimodal" se amplió también a funciones de números reales .

Una definición común es la siguiente: una función f ( x ) es una función unimodal si, para algún valor m , es monótonamente creciente para x  ≤  m y monótonamente decreciente para x  ≥  m . En ese caso, el valor máximo de f ( x ) es f ( m ) y no hay otros máximos locales.

Demostrar la unimodalidad es a menudo difícil. Una manera de hacerlo consiste en utilizar la definición de esa propiedad, pero resulta ser adecuada sólo para funciones simples. Existe un método general basado en derivadas ^[15] , pero no funciona para todas las funciones a pesar de su simplicidad.

Los ejemplos de funciones unimodales incluyen funciones polinomiales cuadráticas con un coeficiente cuadrático negativo, funciones de mapa de tiendas y más.

Lo anterior a veces se relaciona con:Unimodalidad fuerte , del hecho de que la monotonía implícita esmonotonía fuerte. Una funciónf(x) es unafunción débilmente unimodalsi existe un valormpara el cual es débilmente monótonamente creciente parax ≤ my débilmente monótonamente decreciente parax ≥ m. En ese caso, el valor máximof(m) puede alcanzarse para un rango continuo de valores dex. Un ejemplo de una función débilmente unimodal que no es fuertemente unimodal es cada dos filas enel triángulo de Pascal.

Dependiendo del contexto, la función unimodal también puede referirse a una función que tiene solo un mínimo local, en lugar de un máximo. ^[16] Por ejemplo, el muestreo unimodal local , un método para realizar optimización numérica, a menudo se demuestra con una función de este tipo. Se puede decir que una función unimodal bajo esta extensión es una función con un único extremo local .

Una propiedad importante de las funciones unimodales es que el extremo se puede encontrar utilizando algoritmos de búsqueda como la búsqueda de sección áurea , la búsqueda ternaria o la interpolación parabólica sucesiva . ^[17]

Otras extensiones

Una función f ( x ) es "S-unimodal" (a menudo denominada "mapa S-unimodal") si su derivada de Schwarz es negativa para todo , donde es el punto crítico. ^[18] ${\displaystyle x\neq c}$ ${\displaystyle c}$

En geometría computacional, si una función es unimodal, permite el diseño de algoritmos eficientes para encontrar los extremos de la función. ^[19]

Una definición más general, aplicable a una función f ( X ) de una variable vectorial X es que f es unimodal si existe una función diferenciable biunívoca X = G ( Z ) tal que f ( G ( Z )) sea convexa. Por lo general, se desearía que G ( Z ) sea continuamente diferenciable con una matriz jacobiana no singular.

Las funciones cuasiconvexas y las funciones cuasiconcavas extienden el concepto de unimodalidad a funciones cuyos argumentos pertenecen a espacios euclidianos de dimensiones superiores .

Véase también

• Distribución bimodal
• Conjetura de Read

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Unimodal". MathWorld .
2. Weisstein, Eric W. "Modo". MundoMatemático .
3. A.Ya. Khinchin (1938). "Sobre distribuciones unimodales". Trams. Res. Inst. Math. Mech. (en ruso). 2 (2). Universidad de Tomsk: 1–7.
4. Ushakov, NG (2001) [1994], "Distribución unimodal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
5. Vladimirovich Gnedenko y Victor Yu Korolev (1996). Suma aleatoria: teoremas límite y aplicaciones . CRC-Press. ISBN 0-8493-2875-6.pág. 31
6. Medgyessy, P. (marzo de 1972). "Sobre la unimodalidad de distribuciones discretas". Periodica Mathematica Hungarica . 2 (1–4): 245–257. doi :10.1007/bf02018665. S2CID  119817256.
7. Gauss, CF (1823). "Theoria Combinaciónis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores . 5 .
8. DF Vysochanskij, YI Petunin (1980). "Justificación de la regla 3σ para distribuciones unimodales". Teoría de la probabilidad y estadística matemática . 21 : 25–36.
9. Sellke, TM; Sellke, SH (1997). "Desigualdades de Chebyshev para distribuciones unimodales". Estadístico estadounidense . 51 (1). Asociación Estadounidense de Estadística: 34–40. doi :10.2307/2684690. JSTOR  2684690.
10. Gauss CF Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars prior. Pars posterior. Supplementum. Teoría de la combinación de observaciones menos sujetas a errores. Primera parte. Segunda parte. Suplemento. 1995. Traducido por GW Stewart. Serie Classics in Applied Mathematics, Society for Industrial and Applied Mathematics, Filadelfia
11. Basu, S.; Dasgupta, A. (1997). "La media, la mediana y la moda de distribuciones unimodales: una caracterización". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 41 (2): 210–223. doi :10.1137/S0040585X97975447.
12. Bernard, Carole; Kazzi, Rodrigue; Vanduffel, Steven (2020). "Límites de rango de valor en riesgo para distribuciones unimodales bajo información parcial". Seguros: Matemáticas y Economía . 94 : 9–24. doi : 10.1016/j.insmatheco.2020.05.013 .
13. Rohatgi, Vijay K.; Székely, Gábor J. (1989). "Desigualdades agudas entre asimetría y curtosis". Statistics & Probability Letters . 8 (4): 297–299. doi :10.1016/0167-7152(89)90035-7.
14. Klaassen, Chris AJ; Mokveld, Philip J.; Van Es, Bert (2000). "Asimetría cuadrada menos curtosis limitada por 186/125 para distribuciones unimodales". Statistics & Probability Letters . 50 (2): 131–135. doi :10.1016/S0167-7152(00)00090-0.
15. "Sobre la unimodalidad de la aproximación MÉTRICA sujeta a demandas normalmente distribuidas" (PDF) . Método en el apéndice D, Ejemplo en el teorema 2 página 5 . Consultado el 28 de agosto de 2013 .
16. "Glosario de programación matemática" . Consultado el 29 de marzo de 2020 .
17. Demaine, Erik D.; Langerman, Stefan (2005). "Optimización de una función 2D que satisface propiedades de unimodalidad". En Brodal, Gerth Stølting; Leonardi, Stefano (eds.). Algoritmos – ESA 2005. Apuntes de clase en informática. Vol. 3669. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 887–898. doi :10.1007/11561071_78. ISBN . 978-3-540-31951-1.
18. Véase, por ejemplo, John Guckenheimer; Stewart Johnson (julio de 1990). "Distorsión de mapas S-Unimodales". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 132 (1): 71–130. doi :10.2307/1971501. JSTOR  1971501.
19. Godfried T. Toussaint (junio de 1984). "Complejidad, convexidad y unimodalidad". Revista internacional de informática y ciencias de la información . 13 (3): 197–217. doi :10.1007/bf00979872. S2CID  11577312.