Mie dispersión

Dispersión de una onda plana electromagnética por una esfera.

Mie se dispersa a medida que el diámetro de las partículas cambia de 0,1 longitudes de onda a 1 longitud de onda. El índice de refracción de la esfera es 1,5.

Dispersión de Mie, visión artística (onda plana incidente linealmente polarizada dispersada por resonancia octupolar)

Resonancias de Mie vs. radio

Sección transversal de radar monoestático (RCS) de una esfera metálica perfectamente conductora en función de la frecuencia (calculada según la teoría de Mie). En el límite de dispersión de Rayleigh de baja frecuencia , donde la circunferencia es menor que la longitud de onda, el RCS normalizado es En el límite óptico de alta frecuencia, ${\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 9(kR)^{4}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 1.}$

En electromagnetismo , la solución de Mie a las ecuaciones de Maxwell (también conocida como solución de Lorenz-Mie , solución de Lorenz-Mie-Debye o dispersión de Mie ) describe la dispersión de una onda plana electromagnética por una esfera homogénea . La solución toma la forma de una serie infinita de ondas parciales multipolares esféricas . Lleva el nombre del físico alemán Gustav Mie .

El término solución de Mie también se utiliza para soluciones de las ecuaciones de Maxwell para la dispersión por esferas estratificadas o por cilindros infinitos, u otras geometrías donde se pueden escribir ecuaciones separadas para la dependencia radial y angular de las soluciones. El término teoría de Mie se utiliza a veces para este conjunto de soluciones y métodos; no se refiere a una teoría o ley física independiente. En términos más generales, las fórmulas de "dispersión de Mie" son más útiles en situaciones en las que el tamaño de las partículas dispersantes es comparable a la longitud de onda de la luz, en lugar de mucho más pequeña o mucho más grande.

La dispersión de Mie (a veces denominada dispersión no molecular o dispersión de partículas de aerosol ) tiene lugar en los 4.500 m (15.000 pies) inferiores de la atmósfera , donde pueden encontrarse muchas partículas esencialmente esféricas con diámetros aproximadamente iguales a la longitud de onda del rayo incidente . presente. La teoría de la dispersión de Mie no tiene limitación de tamaño superior y converge al límite de la óptica geométrica para partículas grandes. ^[1]

Introducción

Parte angular de armónicos esféricos vectoriales magnéticos y eléctricos. Las flechas rojas y verdes muestran la dirección del campo. También se presentan las funciones escalares generadoras, solo se muestran los tres primeros órdenes (dipolos, cuadrupolos, octupolos).

En muchos libros se puede encontrar una formulación moderna de la solución de Mie al problema de la dispersión en una esfera, por ejemplo, en Electromagnetic Theory de JA Stratton . ^[2] En esta formulación, la onda plana incidente, así como el campo de dispersión, se expande en armónicos esféricos vectoriales esféricos radiantes . El campo interno se expande en armónicos esféricos vectoriales regulares. Al imponer la condición de contorno en la superficie esférica, se pueden calcular los coeficientes de expansión del campo disperso.

Para partículas mucho más grandes o mucho más pequeñas que la longitud de onda de la luz dispersada existen aproximaciones simples y precisas que son suficientes para describir el comportamiento del sistema. Pero para objetos cuyo tamaño está dentro de unos pocos órdenes de magnitud de la longitud de onda, por ejemplo, gotas de agua en la atmósfera, partículas de látex en pintura, gotas en emulsiones, incluida la leche, y células biológicas y componentes celulares, es necesario un enfoque más detallado. ^[3]

La solución Mie ^[4] lleva el nombre de su desarrollador, el físico alemán Gustav Mie . El físico danés Ludvig Lorenz y otros desarrollaron de forma independiente la teoría de la dispersión de ondas electromagnéticas planas por una esfera dieléctrica .

El formalismo permite calcular los campos eléctricos y magnéticos dentro y fuera de un objeto esférico y generalmente se usa para calcular cuánta luz se dispersa (la sección transversal óptica total ) o hacia dónde va (el factor de forma). Las características notables de estos resultados son las resonancias de Mie, tamaños que se dispersan de manera particularmente fuerte o débil. ^[5] Esto contrasta con la dispersión de Rayleigh para partículas pequeñas y la dispersión de Rayleigh-Gans-Debye (después de Lord Rayleigh , Richard Gans y Peter Debye ) para partículas grandes. La existencia de resonancias y otras características de la dispersión de Mie la convierte en un formalismo particularmente útil cuando se utiliza luz dispersa para medir el tamaño de partículas.

Aproximaciones

Aproximación de Rayleigh (dispersión)

El cambio de color del cielo al atardecer (rojo más cerca del sol, azul más lejos) es causado por la dispersión Rayleigh por partículas de gas atmosférico, que son mucho más pequeñas que las longitudes de onda de la luz visible. El color gris/blanco de las nubes se debe a la dispersión de Mie por las gotas de agua, que son de un tamaño comparable a las longitudes de onda de la luz visible.

La dispersión de Rayleigh describe la dispersión elástica de la luz por esferas que son mucho más pequeñas que la longitud de onda de la luz. La intensidad I de la radiación dispersada está dada por

${\displaystyle I=I_{0}\left({\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2R^{2}}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{4}\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\right)^{2}\left({\frac {d}{2}}\right)^{6},}$

donde I ₀ es la intensidad de la luz antes de la interacción con la partícula, R es la distancia entre la partícula y el observador, θ es el ángulo de dispersión, λ es la longitud de onda de la luz considerada, n es el índice de refracción de la partícula y d es el diámetro de la partícula.

De la ecuación anterior se puede ver que la dispersión de Rayleigh depende en gran medida del tamaño de la partícula y de las longitudes de onda. La intensidad de la radiación dispersada de Rayleigh aumenta rápidamente a medida que aumenta la relación entre el tamaño de las partículas y la longitud de onda. Además, la intensidad de la radiación dispersada de Rayleigh es idéntica en dirección directa e inversa.

El modelo de dispersión de Rayleigh se descompone cuando el tamaño de las partículas supera aproximadamente el 10% de la longitud de onda de la radiación incidente. En el caso de partículas con dimensiones mayores, se puede utilizar el modelo de dispersión de Mie para encontrar la intensidad de la radiación dispersada. La intensidad de la radiación dispersa de Mie viene dada por la suma de una serie infinita de términos y no por una simple expresión matemática. Se puede demostrar, sin embargo, que la dispersión en este rango de tamaños de partículas difiere de la dispersión de Rayleigh en varios aspectos: es aproximadamente independiente de la longitud de onda y es mayor en la dirección directa que en la inversa. Cuanto mayor es el tamaño de las partículas, más luz se dispersa hacia adelante.

El color azul del cielo se debe a la dispersión de Rayleigh, ya que el tamaño de las partículas de gas en la atmósfera es mucho menor que la longitud de onda de la luz visible. La dispersión de Rayleigh es mucho mayor en la luz azul que en otros colores debido a su longitud de onda más corta. A medida que la luz solar atraviesa la atmósfera, su componente azul es Rayleigh fuertemente dispersado por los gases atmosféricos, pero los componentes de longitud de onda más larga (por ejemplo, rojo/amarillo) no lo son. Por lo tanto, la luz del sol que llega directamente del Sol parece ligeramente amarilla, mientras que la luz dispersada por el resto del cielo parece azul. Durante los amaneceres y atardeceres, el efecto de la dispersión de Rayleigh en el espectro de la luz transmitida es mucho mayor debido a la mayor distancia que tienen que recorrer los rayos de luz a través del aire de alta densidad cerca de la superficie de la Tierra.

Por el contrario, las gotas de agua que forman las nubes son de un tamaño comparable a las longitudes de onda de la luz visible, y la dispersión se describe mediante el modelo de Mie en lugar del de Rayleigh. Aquí, todas las longitudes de onda de la luz visible se dispersan aproximadamente de la misma manera, por lo que las nubes parecen blancas o grises.

Aproximación de Rayleigh-Gans

La aproximación de Rayleigh-Gans es una solución aproximada a la dispersión de la luz cuando el índice de refracción relativo de la partícula es cercano al del medio ambiente y su tamaño es mucho menor en comparación con la longitud de onda de la luz dividida por | n  − 1|, donde n es el índice de refracción : ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}|n-1|&\ll 1\\kd|n-1|&\ll 1\end{aligned}}}$

donde es el vector de onda de la luz ( ), y se refiere a la dimensión lineal de la partícula. La primera condición a menudo se denomina ópticamente blanda y la aproximación se cumple para partículas de forma arbitraria. ^[3] ${\textstyle k}$ ${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle d}$

Aproximación de difracción anómala de van de Hulst

La aproximación de la difracción anómala es válida para esferas grandes (en comparación con la longitud de onda) y ópticamente blandas; Suave en el contexto de la óptica implica que el índice de refracción de la partícula (m) difiere sólo ligeramente del índice de refracción del entorno, y la partícula somete a la onda a sólo un pequeño cambio de fase. La eficiencia de extinción en esta aproximación viene dada por

${\displaystyle Q=2-{\frac {4}{p}}\sin p+{\frac {4}{p^{2}}}(1-\cos p),}$

donde Q es el factor de eficiencia de la dispersión, que se define como la relación entre la sección transversal de dispersión y la sección transversal geométrica π a ² .

El término p = 4πa( n − 1)/λ tiene como significado físico el retardo de fase de la onda que pasa por el centro de la esfera, donde a es el radio de la esfera, n es la relación de los índices de refracción dentro y fuera de la esfera. esfera, y λ la longitud de onda de la luz.

Este conjunto de ecuaciones fue descrito por primera vez por van de Hulst en (1957). ^[5]

Matemáticas

Dispersión de la onda plana, la dirección de incidencia es paralela al eje z , la polarización es paralela al eje x , el radio de la nanopartícula es un

La dispersión por una nanopartícula esférica se resuelve exactamente independientemente del tamaño de la partícula. Consideramos la dispersión por una onda plana que se propaga a lo largo del eje z polarizada a lo largo del eje x . Las permeabilidades dieléctricas y magnéticas de una partícula son y , y y para el medio ambiente. ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$

Para resolver el problema de dispersión, ^[3] escribimos primero las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas, ya que los campos dentro y fuera de las partículas deben satisfacerla. Ecuación de Helmholtz:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\quad \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2}\mathbf {H} =0.}$

Además de la ecuación de Helmholtz, los campos deben cumplir las condiciones y , . Los armónicos esféricos vectoriales poseen todas las propiedades necesarias, que se presentan a continuación: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$ — armónicos magnéticos (TE),

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$ — armónicos eléctricos (TM),

dónde

${\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

${\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

y  — polinomios de Legendre asociados , y  — cualquiera de las funciones esféricas de Bessel . ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

A continuación, ampliamos la onda plana incidente en armónicos vectoriales esféricos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\text{inc}}&=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right),\\\mathbf {H} _{\text{inc}}&={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right).\end{aligned}}}$

Aquí el superíndice significa que en la parte radial de las funciones se encuentran funciones esféricas de Bessel del primer tipo. Los coeficientes de expansión se obtienen tomando integrales de la forma ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

${\displaystyle {\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{\text{inc}}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\right|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}.}$

En este caso, todos los coeficientes en son cero, ya que la integral sobre el ángulo en el numerador es cero. ${\displaystyle m\neq 1}$ ${\displaystyle \varphi }$

Entonces se imponen las siguientes condiciones:

1. Condiciones de interfaz en el límite entre la esfera y el entorno (que nos permiten relacionar los coeficientes de expansión de los campos incidente, interno y disperso)
2. La condición de que la solución esté acotada en el origen (por lo tanto, en la parte radial de las funciones generadoras , se seleccionan funciones esféricas de Bessel del primer tipo para el campo interno), ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$
3. Para un campo disperso, la asintótica en el infinito corresponde a una onda esférica divergente (en este sentido, para un campo disperso en la parte radial de las funciones generadoras se eligen funciones esféricas de Hankel del primer tipo). ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

Los campos dispersos se escriben en términos de una expansión armónica vectorial como

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right).}$

Aquí el superíndice significa que en la parte radial de las funciones  hay funciones de Hankel esféricas del primer tipo (las del segundo tipo tendrían ), y , ${\displaystyle (3)}$ ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$ ${\displaystyle (4)}$ ${\displaystyle E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}}$

Campos internos:

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right).}$

${\textstyle k={\frac {\omega }{c}}n}$es el vector de onda fuera de la partícula,  es el vector de onda en el medio procedente del material de la partícula y son los índices de refracción del medio y de la partícula. ${\textstyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{1}}$

Después de aplicar las condiciones de la interfaz, obtenemos expresiones para los coeficientes:

${\displaystyle c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

dónde

${\displaystyle \rho =ka,}$

${\displaystyle \rho _{1}=k_{1}a}$siendo el radio de la esfera. ${\displaystyle a}$

${\displaystyle j_{n}}$y  representan las funciones esféricas de Bessel y Hankel de primer tipo, respectivamente. ${\displaystyle h_{n}}$

Secciones transversales de dispersión y extinción.

Espectro de descomposición multipolar de la sección transversal de dispersión por nanoesferas de oro con un radio de 100 nm

Espectro de descomposición multipolar de la sección transversal de dispersión por nanoesfera con radio de 100 nm e índice de refracción n = 4

Espectro de descomposición multipolar de la sección transversal de dispersión por nanoesferas de silicio con un radio de 100 nm

Los valores comúnmente calculados utilizando la teoría de Mie incluyen coeficientes de eficiencia de extinción , dispersión y absorción . ^{[6] [7]} Estos coeficientes de eficiencia son relaciones entre la sección transversal del proceso respectivo, y el área protegida de partículas, donde a es el radio de la partícula. Según la definición de extinción, ${\displaystyle Q_{e}}$ ${\displaystyle Q_{s}}$ ${\displaystyle Q_{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}={\frac {\sigma _{i}}{\pi a^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma _{e}=\sigma _{s}+\sigma _{a}}$y . ${\displaystyle Q_{e}=Q_{s}+Q_{a}}$

Los coeficientes de dispersión y extinción se pueden representar como la serie infinita:

${\displaystyle Q_{s}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\left(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle Q_{e}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$

Las contribuciones en estas sumas, indexadas por n , corresponden a los órdenes de una expansión multipolar donde n = 1 es el término dipolar, n = 2 es el término cuadripolar, y así sucesivamente.

Aplicación a partículas más grandes.

Si el tamaño de una partícula es igual a varias longitudes de onda en el material, entonces los campos dispersos tienen algunas características. Además, hablaremos de la forma del campo eléctrico, ya que el campo magnético se obtiene tomando el rizo .

Todos los coeficientes de Mie dependen de la frecuencia y tienen máximos cuando el denominador está cerca de cero (la igualdad exacta a cero se logra para frecuencias complejas). En este caso, es posible que la contribución de un armónico específico domine en la dispersión. Entonces, a grandes distancias de la partícula, el patrón de radiación del campo disperso será similar al patrón de radiación correspondiente de la parte angular de los armónicos esféricos vectoriales. Los armónicos corresponden a dipolos eléctricos (si la contribución de este armónico domina en la expansión del campo eléctrico, entonces el campo es similar al campo dipolo eléctrico), corresponden al campo eléctrico del dipolo magnético, y - cuadrupolos eléctricos y magnéticos. , y - octupolos, etc. Los máximos de los coeficientes de dispersión (así como el cambio de su fase a ) se denominan resonancias multipolares y los ceros se pueden llamar anápolos . ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}}$ ${\displaystyle \pi }$

La dependencia de la sección transversal de dispersión de la longitud de onda y la contribución de resonancias específicas depende en gran medida del material de la partícula. Por ejemplo, para una partícula de oro con un radio de 100 nm, en el rango óptico predomina la contribución del dipolo eléctrico a la dispersión, mientras que para una partícula de silicio se producen resonancias magnéticas dipolares y cuadripolares pronunciadas. Para las partículas metálicas, el pico visible en la sección transversal de dispersión también se denomina resonancia de plasmón localizada .

En el límite de partículas pequeñas o longitudes de onda largas , la contribución del dipolo eléctrico domina en la sección transversal de dispersión.

Otras direcciones de la onda plana incidente.

En el caso de una onda plana polarizada x , incidente a lo largo del eje z , las descomposiciones de todos los campos contenían sólo armónicos con m = 1, pero para una onda incidente arbitraria este no es el caso. ^[8] Para una onda plana rotada, los coeficientes de expansión se pueden obtener, por ejemplo, utilizando el hecho de que durante la rotación, los armónicos esféricos vectoriales se transforman entre sí mediante matrices D de Wigner .

En este caso, el campo disperso se descompondrá en todos los armónicos posibles:

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf {M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ))}$

Entonces la sección transversal de dispersión se expresará en términos de los coeficientes de la siguiente manera: ^[9]

${\displaystyle C_{\text{sca}}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{(2n+1)}}\times \left[\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}\left(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2}\right)+2|D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}\right].}$

efecto Kerker

El efecto Kerker es un fenómeno de direccionalidad de dispersión, que se produce cuando se presentan respuestas multipolares diferentes y no despreciables.

Caso particular (dipolar) del efecto Kerker. El campo eléctrico total de los dipolos magnéticos y eléctricos cruzados que irradian en fase. El patrón de radiación es asimétrico, en una dirección los campos se destruyen mutuamente y en la otra se suman.

En 1983, en el trabajo de Kerker , Wang y Giles , ^[10] se investigó la dirección de dispersión de las partículas . En particular, se demostró que en el caso de partículas hipotéticas la dispersión hacia atrás está completamente suprimida. Esto puede verse como una extensión a una superficie esférica de los resultados de Giles y Wild para la reflexión en una superficie plana con índices de refracción iguales donde la reflexión y la transmisión son constantes e independientes del ángulo de incidencia. ^[11] ${\displaystyle \mu \neq 1}$ ${\displaystyle \mu =\varepsilon }$

Además, las secciones transversales de dispersión en las direcciones hacia adelante y hacia atrás se expresan simplemente en términos de coeficientes de Mie: ^{[12] [13]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{sca}}^{\text{backward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n})\right|^{2}\\C_{\text{sca}}^{\text{forward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n})\right|^{2}\end{aligned}}}$

Para determinadas combinaciones de coeficientes, las expresiones anteriores se pueden minimizar.

Entonces, por ejemplo, cuando se pueden despreciar los términos con ( aproximación dipolar ), , corresponde al mínimo en la retrodispersión (los dipolos magnéticos y eléctricos son iguales en magnitud y están en fase, esto también se llama primera condición de Kerker o intensidad de retroceso cero ^{[ 14]} ). Y  corresponde al mínimo en la dispersión directa, esto también se denomina segunda condición de Kerker (o condición de intensidad directa cercana a cero ). Del teorema óptico se demuestra que esto no es posible para una partícula pasiva. ^[15] Para la solución exacta del problema, es necesario tener en cuenta las contribuciones de todos los multipolos. La suma de los dipolos eléctricos y magnéticos forma la fuente de Huygens ^[16] ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle (a_{1}-b_{1})=0}$ ${\displaystyle (a_{1}+b_{1})=0}$ ${\displaystyle (a_{1}=-b_{1})}$

Para las partículas dieléctricas, la dispersión máxima hacia adelante se observa en longitudes de onda más largas que la longitud de onda de la resonancia dipolar magnética, y la dispersión máxima hacia atrás en las más cortas. ^[17]

Posteriormente se encontraron otras variedades del efecto. Por ejemplo, el efecto Kerker transversal, con una supresión simultánea casi completa de los campos dispersos hacia adelante y hacia atrás (patrones de dispersión lateral), ^[18] efecto Kerker optomecánico, ^[19] en la dispersión acústica, ^[20] y también se encuentra en las plantas. ^[21]

También hay un vídeo breve en YouTube con una explicación del efecto.

Función de Dyadic Green de una esfera

La función de Green es una solución a la siguiente ecuación:

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),}$

donde  - matriz de identidad para y para . Como todos los campos son vectoriales, la función de Green es una matriz de 3 por 3 y se llama diádica. Si se induce polarización en el sistema, cuando los campos se escriben como ${\displaystyle {\hat {\bf {1}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle r<a}$ ${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon }$ ${\displaystyle r>a}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')}$

Al igual que los campos, la función de Green se puede descomponer en armónicos vectoriales esféricos. ^[22] Función de Dyadic Green de un espacio libre а: ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})\\{}={}&{\frac {\mathbf {e_{r}} \otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad {\begin{cases}\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r<r'\\\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r>r'\end{cases}}\end{aligned}}}$

En presencia de una esfera, la función de Green también se descompone en armónicos vectoriales esféricos. Su apariencia depende del entorno en el que se encuentran los puntos y . ^[24] ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$

Cuando ambos puntos están fuera de la esfera ( ): ${\displaystyle r>a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(0)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+b_{n}^{(0)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

donde los coeficientes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\b_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

Cuando ambos puntos están dentro de la esfera ( ): ${\displaystyle r<a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1}})+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)+d_{n}^{(1)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right),\end{aligned}}}$

Coeficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\d_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

La fuente está dentro de la esfera y el punto de observación está fuera ( ): ${\displaystyle r>a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

coeficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\b_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

La fuente está fuera de la esfera y el punto de observación está dentro ( ): ${\displaystyle r<a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])\right)\end{aligned}}}$

coeficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\d_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

Códigos computacionales

Las soluciones de Mie se implementan en una serie de programas escritos en diferentes lenguajes informáticos como Fortran , MATLAB y Mathematica . Estas soluciones se aproximan a una serie infinita y proporcionan como resultado el cálculo de la función de fase de dispersión, las eficiencias de extinción, dispersión y absorción, y otros parámetros como parámetros de asimetría o par de radiación. El uso actual del término "solución de Mie" indica una aproximación en serie a una solución de las ecuaciones de Maxwell. Hay varios objetos conocidos que permiten tal solución: esferas, esferas concéntricas, cilindros infinitos, grupos de esferas y grupos de cilindros. También se conocen soluciones en serie para la dispersión de partículas elipsoidales. A continuación se proporciona una lista de códigos que implementan estas soluciones especializadas:

• Códigos para dispersión electromagnética por esferas : soluciones para una sola esfera, esferas recubiertas, esfera multicapa y grupo de esferas;
• Códigos para dispersión electromagnética por cilindros : soluciones para un solo cilindro, cilindros multicapa y grupos de cilindros.

Una generalización que permite un tratamiento de partículas con formas más generales es el método de la matriz T , que también se basa en una aproximación en serie a las soluciones de las ecuaciones de Maxwell.

Consulte también enlaces externos para otros códigos y calculadoras.

Aplicaciones

La teoría de Mie es muy importante en óptica meteorológica , donde las relaciones entre diámetro y longitud de onda del orden de la unidad y mayores son características de muchos problemas relacionados con la neblina y la dispersión de las nubes . Otra aplicación es la caracterización de partículas mediante mediciones de dispersión óptica. La solución Mie también es importante para comprender la apariencia de materiales comunes como la leche , el tejido biológico y la pintura de látex .

ciencia atmosférica

La dispersión de Mie ocurre cuando los diámetros de las partículas atmosféricas son similares o mayores que las longitudes de onda de la luz. El polvo , el polen , el humo y las gotas microscópicas de agua que forman las nubes son causas comunes de la dispersión de Mie. La dispersión de Mie ocurre principalmente en las partes inferiores de la atmósfera, donde las partículas más grandes son más abundantes y domina en condiciones de nubosidad.

Detección y cribado del cáncer.

La teoría de Mie se ha utilizado para determinar si la luz dispersada desde el tejido corresponde a núcleos de células sanas o cancerosas mediante interferometría de baja coherencia con resolución de ángulo .

Análisis de laboratorio clínico.

La teoría de Mie es un principio central en la aplicación de ensayos nefelométricos , ampliamente utilizados en medicina para medir diversas proteínas plasmáticas . Mediante nefelometría se puede detectar y cuantificar una amplia gama de proteínas plasmáticas .

Partículas magnéticas

En las esferas magnéticas se producen una serie de efectos inusuales de dispersión electromagnética. Cuando la permitividad relativa es igual a la permeabilidad , la ganancia de retrodispersión es cero. Además, la radiación dispersada está polarizada en el mismo sentido que la radiación incidente. En el límite de partículas pequeñas (o de longitud de onda larga), pueden darse condiciones para una dispersión directa nula, para una polarización completa de la radiación dispersada en otras direcciones y para una asimetría entre la dispersión directa y la retrodispersión. El caso especial en el límite de partículas pequeñas proporciona casos especiales interesantes de polarización completa y asimetría entre dispersión directa y retrodispersión. ^[10]

metamaterial

La teoría de Mie se ha utilizado para diseñar metamateriales . Por lo general, consisten en compuestos tridimensionales de inclusiones metálicas o no metálicas incrustadas periódica o aleatoriamente en una matriz de baja permitividad. En tal esquema, los parámetros constitutivos negativos están diseñados para aparecer alrededor de las resonancias de Mie de las inclusiones: la permitividad efectiva negativa está diseñada alrededor de la resonancia del coeficiente de dispersión del dipolo eléctrico de Mie, mientras que la permeabilidad efectiva negativa está diseñada alrededor de la resonancia del coeficiente de dispersión del dipolo eléctrico de Mie. coeficiente de dispersión del dipolo magnético y material doblemente negativo (DNG) está diseñado alrededor de la superposición de resonancias de los coeficientes de dispersión del dipolo eléctrico y magnético de Mie. La partícula suele tener las siguientes combinaciones:

1. un conjunto de partículas magnetodieléctricas con valores de permitividad y permeabilidad relativas mucho mayores que una y próximos entre sí;
2. dos partículas dieléctricas diferentes con igual permitividad pero diferente tamaño;
3. dos partículas dieléctricas diferentes con igual tamaño pero diferente permitividad.

En teoría, las partículas analizadas por la teoría de Mie suelen ser esféricas pero, en la práctica, las partículas suelen fabricarse como cubos o cilindros para facilitar su fabricación. Para cumplir con los criterios de homogeneización, que pueden expresarse en la forma de que la constante de red es mucho menor que la longitud de onda operativa, la permitividad relativa de las partículas dieléctricas debe ser mucho mayor que 1, por ejemplo, para lograr una permitividad efectiva negativa (permeabilidad). ^{[25] [26] [27]} ${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}>78(38)}$

Tamaño de partículas

La teoría de Mie se aplica a menudo en el análisis de difracción láser para inspeccionar el efecto del tamaño de las partículas. ^[28] Mientras que las primeras computadoras de la década de 1970 solo podían calcular datos de difracción con la aproximación de Fraunhofer más simple, Mie se usa ampliamente desde la década de 1990 y se recomienda oficialmente para partículas por debajo de 50 micrómetros en la directriz ISO 13320:2009. ^[29]

La teoría de Mie se ha utilizado en la detección de concentraciones de petróleo en aguas contaminadas. ^{[30] [31]}

La dispersión de Mie es el método principal para dimensionar burbujas de aire sonoluminiscentes individuales en agua ^{[32] [33] [34]} y es válida para cavidades en materiales, así como partículas en materiales, siempre que el material circundante sea esencialmente no absorbente. .

parasitología

También se ha utilizado para estudiar la estructura del Plasmodium falciparum , una forma particularmente patógena de malaria . ^[35]

Extensiones

En 1986, PA Bobbert y J. Vlieger ampliaron el modelo de Mie para calcular la dispersión de una esfera en un medio homogéneo colocado sobre una superficie plana. Al igual que el modelo de Mie, el modelo extendido se puede aplicar a esferas con un radio cercano a la longitud de onda de la luz incidente. ^[36] Existe un código C++ que implementa el modelo Bobbert-Vlieger (BV). ^[37] Los avances recientes están relacionados con la dispersión por elipsoide. ^{[38] [39] [40]} Los estudios contemporáneos se basan en investigaciones bien conocidas de Rayleigh. ^[41]

Ver también

• Códigos para dispersión electromagnética por esferas.
• Electromagnetismo computacional
• Dispersión de la luz por partículas.
• Lista de códigos de transferencia radiativa atmosférica
• Propiedades ópticas del agua y el hielo.

Referencias

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3. , CF; Huffmann, DR (2010). Absorción y dispersión de la luz por pequeñas partículas . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-3-527-40664-7.
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11. CL Giles, WJ Wild, "Reflexión y transmisión de Fresnel en un límite plano desde medios de índices de refracción iguales", Applied Physics Letters , 40, 210-212, 1982
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Otras lecturas

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enlaces externos

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• JMIE (código 2D C++ para calcular los campos analíticos alrededor de un cilindro infinito, desarrollado por Jeffrey M. McMahon)
• ScatLab. Software de dispersión Mie para Windows.
• ESTRATIFICAR el código MatLab de dispersión de esferas multicapa en los casos en que la fuente sea un dipolo puntual y una onda plana. Descripción en arXiv:2006.06512
• Scattnlay, un paquete de solución Mie C++ de código abierto con contenedores de Python y JavaScript . Proporciona resultados de simulación de campo lejano y cercano para esferas multicapa.
• La calculadora de dispersión Mie en línea proporciona simulación de propiedades de dispersión (incluida la descomposición multipolar) y mapas de campo cercano para esferas masivas, núcleo-capa y multicapa. Los parámetros del material incluyen todos los archivos nk-data del sitio web refractiveindex.info. El código fuente es parte del proyecto Scattnlay.
• Está disponible la calculadora de soluciones Mie online, con documentación en alemán e inglés.
• La calculadora de dispersión Mie en línea produce hermosos gráficos en una variedad de parámetros.
• phpMie Calculadora de dispersión Mie en línea escrita en PHP .
• La resonancia de Mie media la difusión de la luz y el láser aleatorio.
• Solución de Mie para partículas esféricas.
• PyMieScatt, un paquete de solución Mie escrito en Python .
• pyMieForAll, un paquete de solución C++ Mie de código abierto con contenedor Python .